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A. गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं/The order of factors may change but the prime factors remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, such as \(2\times3\times5\) and \(5\times2\times3\).
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a different factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times2\times3\)। चरण 3: परीक्षा में क्रम देखकर अलग गुणनखंडन न मानें।
\(54=2\times3^3\) and \(10=2\times5\), so \(540=2^2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave composite factors like 54 and 10 in the final form. चरण 1: \(540=54\times10\) लिखें। चरण 2: \(54=2\times3^3\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(540=2^2\times3^3\times5\)। चरण 3: अंतिम रूप में 54 और 10 जैसे संयुक्त गुणनखंड न रखें।
\(84=2^2\times3\times7\) and \(9=3^2\), so \(756=2^2\times3^3\times7\).
Step 3
Exam Tip
Combine repeated prime factors using powers. चरण 1: \(756=84\times9\) लिखें। चरण 2: \(84=2^2\times3\times7\) और \(9=3^2\), इसलिए \(756=2^2\times3^3\times7\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में जोड़ें।
\(98=2\times7^2\) and \(10=2\times5\), so \(980=2^2\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Composite factors like 98 and 10 should not remain in the final prime form. चरण 1: \(980=98\times10\) लिखें। चरण 2: \(98=2\times7^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(980=2^2\times5\times7^2\)। चरण 3: अंतिम अभाज्य रूप में 98 और 10 जैसे संयुक्त गुणनखंड नहीं रहने चाहिए।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^2\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2^2\times3^2=4\times9=36\), so the answer is 36. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(2^2\times3^2=4\times9=36\), इसलिए उत्तर 36 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^4\), \(3^3\), (5), and (7).
Step 3
Exam Tip
\(16\times27\times5\times7=15120\), so the answer is 15120. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^4\), \(3^3\), (5) और (7) हैं। चरण 3: \(16\times27\times5\times7=15120\), इसलिए उत्तर 15120 है।
Use this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(1512=18\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(1512\div18=84\) है। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लगाएं।
When the question has two numbers, this formula gives the answer quickly. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(15\times210=3150\)। चरण 3: सवाल में दो संख्याएं हों तो यह सूत्र जल्दी उत्तर देता है।
To get the number from prime factorisation, simplify powers first. चरण 1: पहले \(2^3=8\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times7=504\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए घातों को पहले सरल करें।
\(8=2^3\) and \(189=3^3\times7\), so \(1512=2^3\times3^3\times7\).
Step 3
Exam Tip
The number of times 3 appears as a factor is its power. चरण 1: \(1512=8\times189\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(189=3^3\times7\), इसलिए \(1512=2^3\times3^3\times7\)। चरण 3: 3 जितनी बार गुणनखंड में आए, वही उसकी घात होती है।
\(9=3^2\) and \(105=3\times5\times7\), so \(945=3^3\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep composite factors like 9 or 105 in the final answer. चरण 1: \(945=9\times105\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(945=3^3\times5\times7\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में 9 या 105 जैसे संयुक्त गुणनखंड न रखें।
When converting prime factorisation into a number, multiply all factors. चरण 1: \(2^3=8\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times5=360\)। चरण 3: दिए गए अभाज्य गुणनखंडन को संख्या में बदलते समय सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
In (m), the distinct prime factors are 2, 3, and 5.
Step 3
Exam Tip
In \(2^4\), count 2 only once in the distinct list. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, घातों को नहीं। चरण 2: (m) में 2, 3 और 5 तीन अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: \(2^4\) में 2 को अलग सूची में एक बार ही गिनें।
They have no common prime factor, so they are co-prime.
Step 3
Exam Tip
Co-prime numbers have HCF 1. चरण 1: \(16=2^4\) और \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: इनमें कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं। चरण 3: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है।
Therefore, the LCM is (221). चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (221) होगा।
In prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), and (11) are prime, so \(2^2\times3\times11\) is correct.
Step 3
Exam Tip
4, 6, and 12 are composite, so they should not remain in the final form. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (2), (3) और (11) अभाज्य हैं, इसलिए \(2^2\times3\times11\) सही है। चरण 3: 4, 6 और 12 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप में नहीं रहने चाहिए।
The smaller powers are \(2^3\) and \(3^1\), so \(8\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, take smaller powers of only common factors. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^3\) और \(3^1\) हैं, इसलिए \(8\times3=24\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में केवल समान गुणनखंडों की छोटी घात लें।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and \(5^1\).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times5=360\), so the answer is 360. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), \(3^2\) और \(5^1\) हैं। चरण 3: \(8\times9\times5=360\), इसलिए उत्तर 360 है।
In prime factorisation with powers, evaluate powers first. चरण 1: \(2^5=32\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(32\times9=288\)। चरण 3: घात वाले अभाज्य गुणनखंडन में पहले घातों का मान निकालें।
Total (4+2+1=7), so the answer is 7. चरण 1: दोहराव गिनने पर घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4 गुणनखंड, \(3^2\) से 2 गुणनखंड और (5) से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (4+2+1=7), इसलिए उत्तर 7 है।
\(108=4\times27=2^2\times3^3\), so the given form \(2^a\times3^2\) does not match 108.
Step 3
Exam Tip
The power of 3 should also be 3; therefore no value of (a) alone can make it correct. चरण 1: 108 का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(108=4\times27=2^2\times3^3\), इसलिए दिए गए रूप \(2^a\times3^2\) संख्या 108 से मेल नहीं खाता। चरण 3: सही मिलान के लिए 3 की घात भी 3 होनी चाहिए; इसलिए कोई दिया गया (a) अकेले सही नहीं बना सकता।
The prime factors of the first number are 2 and 5.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors of the second number are 3 and 7.
Step 3
Exam Tip
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 3 और 7 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
\(18=2\times3^2\) and \(35=5\times7\), so they are co-prime.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of co-prime numbers equals their product.
Step 3
Exam Tip
\(18\times35=630\), so the answer is 630. चरण 1: \(18=2\times3^2\) और \(35=5\times7\), इसलिए दोनों सह-अभाज्य हैं। चरण 2: सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। चरण 3: \(18\times35=630\), इसलिए उत्तर 630 है।
\(4^5\) and \(32^2\) can give the value, but 4 and 32 are not prime. चरण 1: 1024 को 2 से बार-बार भाग दें। चरण 2: \(1024=2^{10}\) होता है। चरण 3: \(4^5\) और \(32^2\) मान तो दे सकते हैं, पर 4 और 32 अभाज्य नहीं हैं।
In questions with powers, simplify the powers first. चरण 1: \(3^4=81\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(81\times25=2025\)। चरण 3: घातों वाले प्रश्न में पहले घातों को सरल करना चाहिए।
\(27=3^3\) and \(25=5^2\), so \(675=3^3\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
27 and 25 are composite, so write their prime powers in the final form. चरण 1: \(675=27\times25\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\) और \(25=5^2\), इसलिए \(675=3^3\times5^2\)। चरण 3: 27 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में उनकी घातें लिखें।
Total (2+3+1=6), so the answer is 6. चरण 1: दोहराव सहित कुल संख्या के लिए घातों को जोड़ें। चरण 2: \(2^2\) से 2, \(3^3\) से 3 और (5) से 1 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (2+3+1=6), इसलिए उत्तर 6 है।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The smaller powers are \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2^3\times3^2=8\times9=72\), so the answer is 72. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लें। चरण 2: छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(2^3\times3^2=8\times9=72\), इसलिए उत्तर 72 है।
\(32\times81=2592\), so the answer is 2592. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए बड़ी घातें लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\) और \(3^4\) हैं। चरण 3: \(32\times81=2592\), इसलिए उत्तर 2592 है।
\(105=3\times5\times7\), so \(1155=3\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
The distinct prime factors are 3, 5, 7, and 11. चरण 1: \(1155=105\times11\) लिखें। चरण 2: \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(1155=3\times5\times7\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7 और 11 हैं।
Use the HCF-LCM relation in the correct situation. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(21\times420=8820\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के संबंध को सही स्थिति में प्रयोग करें।
While dividing, check that the answer is a whole number. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(=3780\div315=12\)। चरण 3: भाग करते समय जांचें कि उत्तर पूर्ण संख्या आए।
In perfect squares, the powers of the base factors get doubled. चरण 1: \(2025=45\times45\) लिखें। चरण 2: \(45=3^2\times5\), इसलिए \(2025=3^4\times5^2\)। चरण 3: पूर्ण वर्गों में आधार के गुणनखंडों की घात दोगुनी हो जाती है।
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। चरण 3: संयुक्त संख्या के भी दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है।
\(2^2\times5=4\times5=20\), so the HCF is 20. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और \(5^1\) हैं। चरण 3: \(2^2\times5=4\times5=20\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 20 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), (3), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
\(8\times3\times25\times7=4200\), so the answer is 4200. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), (3), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: \(8\times3\times25\times7=4200\), इसलिए उत्तर 4200 है।
\(168=2^3\times3\times7\), so \(1848=2^3\times3\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
168 is composite, so do not keep it in the final form. चरण 1: \(1848=168\times11\) लिखें। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\), इसलिए \(1848=2^3\times3\times7\times11\)। चरण 3: 168 संयुक्त है, इसलिए उसे अंतिम रूप में न रखें।
A. हर संयुक्त संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every composite number has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
The main idea of the theorem is prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number greater than 1 can be written in a fixed way as prime factors.
Step 3
Exam Tip
The order may change, but the prime factors do not change. चरण 1: प्रमेय का मुख्य विचार अभाज्य गुणनखंडन है। चरण 2: 1 से बड़ी हर संयुक्त संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में निश्चित रूप से लिखा जा सकता है। चरण 3: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते।
Simplifying powers first makes multiplication easier. चरण 1: \(2^6=64\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(64\times3\times25=4800\)। चरण 3: पहले घातों को सरल करने से गुणा आसान हो जाता है।
Having no common prime factor means the numbers are co-prime.
Step 2
Why this answer is correct
Co-prime numbers have HCF 1.
Step 3
Exam Tip
Prime factorisation helps identify co-primality quickly. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड न होने का अर्थ है कि संख्याएं सह-अभाज्य हैं। चरण 2: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से सह-अभाज्यता जल्दी पहचानी जा सकती है।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: \(2^4=16\) निकालें। चरण 2: \(16\times3\times7=336\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
\(108=2^2\times3^3\) and \(10=2\times5\), so \(1080=2^3\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Comparing with the given form gives (a=3). चरण 1: \(1080=108\times10\) लिखें। चरण 2: \(108=2^2\times3^3\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(1080=2^3\times3^3\times5\)। चरण 3: दिए गए रूप से तुलना करने पर (a=3) है।
In multiplication, powers with the same base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 2 and in (b) is 1.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 will be (2+1=3). चरण 1: गुणन में समान आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 2 है और (b) में 3 की घात 1 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (2+1=3) होगी।
While multiplying, add the exponents of the same prime base.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 5 in (a) is 2 and in (b) is 3.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 5 will be (2+3=5). चरण 1: गुणा करते समय समान अभाज्य आधार की घातें जोड़ते हैं। चरण 2: (a) में 5 की घात 2 और (b) में 5 की घात 3 है। चरण 3: (ab) में 5 की घात (2+3=5) होगी।
The product of 2 and 5 is 10, so the number must be divisible by 10.
Step 3
Exam Tip
Divisibility can be quickly identified from prime factors. चरण 1: \(2^3\) और \(5^2\) में 2 और 5 दोनों गुणनखंड मौजूद हैं। चरण 2: 2 और 5 का गुणनफल 10 है, इसलिए संख्या 10 से विभाज्य होगी। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड देखकर विभाज्यता जल्दी पहचानी जा सकती है।
\(27=3^3\) and \(49=7^2\), so \(1323=3^3\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
27 and 49 are composite, so write prime powers in the final form. चरण 1: \(1323=27\times49\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\) और \(49=7^2\), इसलिए \(1323=3^3\times7^2\)। चरण 3: 27 और 49 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में अभाज्य घातें लिखें।
So the power of 2 in (xy) is (3+2=5). चरण 1: (xy) में समान आधार 2 की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 2 की घात 3 है और (y) में 2 की घात 2 है। चरण 3: इसलिए (xy) में 2 की घात (3+2=5) होगी।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The smaller powers are \(2^2\), \(3^1\), and \(5^1\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times3\times5=60\), so the HCF is 60. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लें। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\), \(3^1\) और \(5^1\) हैं। चरण 3: \(4\times3\times5=60\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 60 है।
