Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) और गुणनफल \(\frac{k}{4}\) है। \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\) से (k=3) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) and the product is \(\frac{k}{4}\). From \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\), (k=3).
बराबर धनात्मक मूल (4) और (4) होंगे। योग (8) है इसलिए (-b=8) से (b=-8) है। / The equal positive roots are (4) and (4). The sum is (8), so (-b=8) gives (b=-8).
मूल (-3) और (-6) होंगे क्योंकि गुणनफल (18) है। उनका योग (-9) है इसलिए (p=9) है। / The roots are (-3) and (-6) because the product is (18). Their sum is (-9), so (p=9).
मूल (t) और (2t) मानें तो (3t=9) से (t=3) है। मूल (3) और (6) होंगे इसलिए (c=18) है। / Let the roots be (t) and (2t). From (3t=9), (t=3), so the roots are (3) and (6), hence (c=18).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
समीकरण के मूल (3) और (-7) हैं। इसलिए (\left|\alpha-\beta\right|=\left|3-(-7)\right|=10) है। / The roots are (3) and (-7). Therefore (\left|\alpha-\beta\right|=\left|3-(-7)\right|=10).
यह ((x-6)2=0) है इसलिए दोनों मूल (6) और (6) हैं। अतः \(\alpha-\beta=0\) है। / This is ((x-6)2=0), so both roots are (6) and (6). Hence \(\alpha-\beta=0\).
पुराने मूलों का योग (6) है। नया योग (\(\alpha+3\)+\(\beta+3\)=6+6=12) होगा। / The old sum of roots is (6). The new sum is (\(\alpha+3\)+\(\beta+3\)=6+6=12).
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
पुराने मूल (8) और (-2) हैं। नए मूल (6) और (-4) होंगे इसलिए गुणनफल (-24) है। / The old roots are (8) and (-2). The new roots are (6) and (-4), so the product is (-24).
पुराने मूल (8) और (-2) हैं। नए मूल (9) और (-1) होंगे इसलिए समीकरण \(x^2-8x-9=0\) है। / The old roots are (8) and (-2). The new roots are (9) and (-1), so the equation is \(x^2-8x-9=0\).
यहां मूलों का योग (S) और गुणनफल (P) है। इसलिए (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=S-2-4P) है। / Here the sum of roots is (S) and product is (P). Therefore (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=S-2-4P).
मूलों का योग (7) और अंतर (1) है इसलिए मूल (4) और (3) हैं। उनका गुणनफल (q=12) है। / The sum of roots is (7) and the difference is (1), so the roots are (4) and (3). Their product is (q=12).
(x=2) रखने पर (4+3a=0) से \(a=-\frac{4}{3}\) है। गुणनफल (a) है इसलिए दूसरा मूल \(-\frac{2}{3}\) होगा। / Putting (x=2) gives (4+3a=0), so \(a=-\frac{4}{3}\). The product is (a), so the other root is \(-\frac{2}{3}\).
बराबर ऋणात्मक मूल (-5) और (-5) होंगे क्योंकि गुणनफल (25) है। योग (-10) है इसलिए (p=10) है। / The equal negative roots are (-5) and (-5) because the product is (25). The sum is (-10), so (p=10).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\) है। मान (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{7}{4}) है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\). The value is (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\(\alpha\beta\)2}=\frac{7}{4}).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-21\) और \(\alpha+\beta=4\) इसलिए मान (-84) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-21\) and \(\alpha+\beta=4\), so the value is (-84).
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=12\) है। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=12+2(8)+4=32) है। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=12\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=12+2(8)+4=32).
A. योग (a+2) और गुणनफल (2a) है/Sum is (a+2) and product is (2a)
Explanation
Simple Explanation
मूल (2) और (a) का योग (a+2) तथा गुणनफल (2a) है। इसलिए दिया गया मोनिक समीकरण सही बनता है। / The roots (2) and (a) have sum (a+2) and product (2a). Therefore the given monic equation is correct.
\(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\) है। (\alpha-3+\beta-3=103-3(21)(10)=370) होगा। / \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\). (\alpha-3+\beta-3=103-3(21)(10)=370).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहां \(\frac{\frac{10}{3}}{1}=\frac{10}{3}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{\frac{10}{3}}{1}=\frac{10}{3}\).
मूलों का योग (-7) है इसलिए (p=7) और गुणनफल (q=12) है। अतः (p+q=19) है। / The sum of roots is (-7), so (p=7), and the product gives (q=12). Hence (p+q=19).
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। \(3\cdot5=\frac{15}{a}\) से (a=1) मिलता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). From \(3\cdot5=\frac{15}{a}\), we get (a=1).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=81-80=1) है। अंतर वाले प्रश्न में यह पहचान तेज रहती है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=81-80=1). This identity is quick for difference questions.
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। मान (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{34}{15}) होगा। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). The value is (\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{34}{15}).
