Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले से (x=22-4y)। रखने पर (66-12y-2y=4), इसलिए \(y=\frac{31}{7}\) और \(x=\frac{30}{7}\), अनुपात (30:31) है। / From the first equation, (x=22-4y). Substitution gives fractional values, and the ratio is (30:31); verify before choosing.
दूसरे में से पहला घटाने पर (3x=21), इसलिए (x=7)। फिर \(y=\frac{13}{3}\), इसलिए अनुपात (21:13) होगा। / Subtracting the first equation from the second gives (3x=21), so (x=7). Then \(y=\frac{13}{3}\), so the ratio is (21:13).
दूसरे समीकरण से (y=6x-23) रखकर (x=6), (y=4) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को सरल रूप में लिखें। / From the second equation, put (y=6x-23) to get (x=6), (y=4). In exams, write the ratio in simplest form.
उन्मूलन से (x=6) और (y=8) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को सरल रूप में लिखना न भूलें। / Elimination gives (x=6) and (y=8). In exams, do not forget to write the ratio in simplest form.
शून्यक (t) और (3t) मानें, तो \(3t^2=9\) से \(t=\sqrt{3}\) है। योग \(4\sqrt{3}\) है इसलिए \(k=-4\sqrt{3}\)। / Let the zeroes be (t) and (3t), so \(3t^2=9\) gives \(t=\sqrt{3}\). The sum is \(4\sqrt{3}\), hence \(k=-4\sqrt{3}\).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=26\) और \(\alpha\beta=165\), इसलिए मान \(\frac{676-330}{165}=\frac{346}{165}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=26\) and \(\alpha\beta=165\), so the value is \(\frac{676-330}{165}=\frac{346}{165}\). In exams, convert expressions into sum and product.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=22\) और \(\alpha\beta=117\), इसलिए मान \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=22\) and \(\alpha\beta=117\), so the value is \(\frac{484-234}{117}=\frac{250}{117}\). In exams, convert expressions into sum and product.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=18\) और \(\alpha\beta=77\), इसलिए मान \(\frac{324-154}{77}=\frac{170}{77}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=18\) and \(\alpha\beta=77\), so the value is \(\frac{324-154}{77}=\frac{170}{77}\). In exams, convert expressions into sum and product.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\), इसलिए मान \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\), so the value is \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\). In exams, convert expressions into sum and product.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\), इसलिए मान \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\), so the value is \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\). In exams, convert expressions into sum and product.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\), इसलिए मान \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\), so the value is \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\). In exams, convert expressions into sum and product.
मूल (5) और (4) हैं इसलिए योग (9) और अंतर \(\pm1\) हो सकता है। इसलिए मान (9) या (-9) है। / The roots are (5) and (4), so the sum is (9) and the difference can be \(\pm1\). Hence the value is (9) or (-9).
B. \(\frac{7}{3}\) या \(-\frac{7}{3}\)/\(\frac{7}{3}\) or \(-\frac{7}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
मूल (5) और (2) हैं इसलिए योग (7) और अंतर \(\pm3\) हो सकता है। इसलिए मान \(\frac{7}{3}\) या \(-\frac{7}{3}\) है। / The roots are (5) and (2), so the sum is (7) and the difference can be \(\pm3\). Hence the value is \(\frac{7}{3}\) or \(-\frac{7}{3}\).
मूल (3) और (5) हैं इसलिए \(\alpha-1\) और \(\beta-1\) (2) और (4) होंगे। मान \(\frac{2}{4}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}\) है। / The roots are (3) and (5), so \(\alpha-1\) and \(\beta-1\) are (2) and (4). The value is \(\frac{2}{4}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}\).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\) है। परीक्षा में समान करणी काट सकते हैं। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\). In exams common radical factors can be cancelled.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-3=2) और अंश \(8+2\sqrt{15}\) बनता है। सरल रूप \(4+\sqrt{15}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (5-3=2) and numerator \(8+2\sqrt{15}\). The simplified form is \(4+\sqrt{15}\).
महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\) होगा। / HCF is \(2^4\times3^2\times5\), and LCM is \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\) मिलता है। / On division, subtract powers to get \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ। / In ratios, subtract exponents of the same base.
महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^5\times5^2\times13\) होगा। / HCF is \(2^3\times3^2\times5\), and LCM is \(2^6\times3^5\times5^2\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^3\times5\times13\) मिलता है। / On division, subtract powers to get \(2^3\times3^3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ। / In ratios, subtract exponents of the same base.
यदि (N) ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो \(2^5\times3^2\times7\) और \(2^3\times3^4\times5\) दोनों से विभाजित होती है, तथा (M) इन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है, तो \(\frac{N}{M}\) क्या होगा?
सबसे छोटी विभाज्य संख्या (N) लघुत्तम समापवर्त्य होगी और (M) महत्तम समापवर्तक होगा। / The smallest divisible number (N) is the LCM, and (M) is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(N=2^5\times3^4\times5\times7\) और \(M=2^3\times3^2\), इसलिए \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\)। / \(N=2^5\times3^4\times5\times7\) and \(M=2^3\times3^2\), so \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ। / While dividing, subtract powers of the same base.
महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^3\times7\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^5\times5\times7^2\) होगा। / HCF is \(2^2\times3^3\times7\), and LCM is \(2^5\times3^5\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^2\times5\times7\) मिलता है। / On division, subtract powers to get \(2^3\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात वाले प्रश्न में अभाज्य घातों का घटाव बहुत उपयोगी है। / Exponent subtraction is very useful in ratio questions.
यदि \(H=2^2\times3\times5\) और \(L=2^6\times3^3\times5^2\times7\) क्रमशः दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य हैं, तो \(\frac{L}{H}\) क्या होगा?
\(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। / In \(\frac{L}{H}\), divide the LCM by the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले भाग में घटाव का नियम लगाएँ। / Use exponent subtraction in division.
महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^2\times13\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^5\times5\times13\) है। / HCF is \(2^2\times3^2\times13\), and LCM is \(2^4\times3^5\times5\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^3\times5\) है। / On division, subtract the powers of the same bases, giving \(2^2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य घातों में भाग करते समय घातों का घटाव करें। / In prime-power division, subtract exponents.
