Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरे समीकरण को (25) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना हल को छोटा करता है। / Dividing the whole equation by (25) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first shortens the solution.
यह ((x-c)2-d-2=0) है, इसलिए \(x-c=\pm d\) और \(x=c\pm d\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को जल्दी पहचानें। / It is ((x-c)2-d-2=0), so \(x-c=\pm d\) and \(x=c\pm d\). In exams, quickly recognize the difference of squares.
यह समीकरण ((x-r)(x-t)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (r) और (t) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी शून्य गुणनफल नियम लगाएं। / The equation is equivalent to ((x-r)(x-t)=0), so the roots are (r) and (t). In exams, apply zero product rule to symbolic factors too.
(\(x-\sqrt{11}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{11}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{11}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{11}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
क्योंकि (11=\(\sqrt{11}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{11}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{11}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (11=\(\sqrt{11}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{11}x\), it is (\(x-\sqrt{11}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(6x-2+x-2=(3x+2)(2x-1)), इसलिए \(x=\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (6x-2+x-2=(3x+2)(2x-1)), so \(x=\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
दूसरा मूल (13) है, इसलिए \(q=8\times13=104\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (13), so \(q=8\times13=104\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
मूलों का योग (21) है, इसलिए दूसरा मूल (21-8=13) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का उपयोग करें। / The sum of roots is (21), so the other root is (21-8=13). In exams, use the sum when one root is given.
पहले समीकरण के मूल \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\) और दूसरे के मूल \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The first equation has roots \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (400-4m=0) से (m=100) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (400-4m=0) gives (m=100). In exams, equal roots indicate (D=0).
(\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}), इसलिए \(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को हर के साथ सही लिखें। / Since (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}), \(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{3}\). In exams, write the square root with the denominator correctly.
पहले \(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{8}{9}=0\) बनता है, फिर (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{8}{9}=0\) is obtained, then (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+4}{5}=4\), इसलिए (p=16) है। परीक्षा में \(-\frac{b}{a}\) से योग निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+4}{5}=4\), so (p=16). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for the sum.
(D=4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) से ((k+3)2=k-2-16), इसलिए (6k+25=0) और \(k=-\frac{25}{6}\) है। परीक्षा में विस्तार के बाद स्थिर पद ध्यान से जोड़ें। / (D=4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) gives ((k+3)2=k-2-16), so (6k+25=0) and \(k=-\frac{25}{6}\). In exams, handle the constant term carefully after expansion.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) से (6k+25=0) नहीं बल्कि (6k+25) गलत होगा; सही फैलाने पर (6k+25) नहीं बनता। परीक्षा में विस्तार दोबारा जांचें। / For equal roots, (D=0), so (4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) must be expanded carefully; a wrong expansion changes the answer. In exams, recheck parameter expansion.
(20x-2-43x+21=(5x-7)(4x-3)), इसलिए मूल \(\frac{7}{5}\) और \(\frac{3}{4}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को उल्टा न लिखें। / (20x-2-43x+21=(5x-7)(4x-3)), so the roots are \(\frac{7}{5}\) and \(\frac{3}{4}\). In exams, do not invert fractional roots.
यहां (ac=420) और (-28+(-15)=-43), इसलिए सही विभाजन (-28x-15x) है। परीक्षा में (ac) बड़ा हो तो भी योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Here (ac=420) and (-28+(-15)=-43), so the correct split is (-28x-15x). In exams, even when (ac) is large, match both sum and product.
(14x-2-25x+6=(7x-3)(2x-2)), इसलिए मूल \(\frac{3}{7}\) और (1) हैं। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हो तो उसे हटाकर भी जांचें। / (14x-2-25x+6=(7x-3)(2x-2)), so the roots are \(\frac{3}{7}\) and (1). In exams, also check by removing any common factor if present.
यहां (D=(-13)2-4(1)(22)=81), इसलिए \(x=\frac{13\pm9}{2}\) है। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल होता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(22)=81), so \(x=\frac{13\pm9}{2}\). In exams, if (D) is a perfect square, the answer simplifies quickly.
((x-4)(x-9)=x-2-13x+36), इसलिए \(x^2-13x+36=14\) से \(x^2-13x+22=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-4)(x-9)=x-2-13x+36), so \(x^2-13x+36=14\) gives \(x^2-13x+22=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
((x-4)=0) या ((x-9)=0), इसलिए (x=4) या (x=9) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-4)=0) or ((x-9)=0), so (x=4) or (x=9). In exams, set each factor equal to zero separately.
(D=4(k+4)2-4k-2=0) से ((k+4)2=k-2), इसलिए (8k+16=0) और (k=-2) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+4)2-4k-2=0) gives ((k+4)2=k-2), so (8k+16=0) and (k=-2). In exams, expand squares carefully.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\), इसलिए मान \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\), so the value is \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\). In exams, convert expressions into sum and product.
मूल (2,8) हैं, इसलिए नए मूल (5,11) होंगे और समीकरण ((x-5)(x-11)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,8), so new roots are (5,11), and the equation is ((x-5)(x-11)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
(4x-2-8x+9=4(x-1)2+5), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति दिखती है। / (4x-2-8x+9=4(x-1)2+5), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of roots.
यहां (D=(-8)2-4(4)(9)=-80<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-8)2-4(4)(9)=-80<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
यहां (D=(-7)2-4(1)(3)=37), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-7)2-4(1)(3)=37), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=25\) और \(p=3r=\frac{15\sqrt{2}}{2}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=25\) and \(p=3r=\frac{15\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=-16\), इसलिए मान (-96) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=-16\), so the value is (-96). In exams, factor the expression first.
\(x^2+8x=-5\) में (16) जोड़ने पर ((x+4)2=11) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (16) to \(x^2+8x=-5\) gives ((x+4)2=11). In exams, add the same number to both sides.
