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चौड़ाई (x) हो, तो (x(x+4)=240), इसलिए (x=12) और लंबाई (16) है। \(परिधि (2(12+16)=56) नहीं, सही (56\) m) है। \(/ Let breadth be (x), then (x(x+4)=240), so (x=12) and length is (16). The perimeter is (2(12+16)=56\) m), so choose (56 m).
यदि लंबाई (x) है, तो चौड़ाई (23-x) होगी और (x(23-x)=120)। मूल (8) और (15) हैं, इसलिए लंबाई (15 cm) है। \(/ If the length is (x), the breadth is (23-x) and (x(23-x)=120). The roots are (8) and (15), so the length is (15\) cm).
धारा की चाल (x) हो, तो शांत जल की चाल (x+8) होगी। \(\frac{40}{2x+8}=\frac{24}{8}\) से (x=4)। / Let the stream speed be (x), so still-water speed is (x+8). From \(\frac{40}{2x+8}=\frac{24}{8}\), we get (x=4).
\(20t-5t^2=15\) से \(t^2-4t+3=0\)। इसलिए (t=1) और (t=3), जो ऊपर जाते और नीचे आते समय हैं। / From \(20t-5t^2=15\), we get \(t^2-4t+3=0\). Hence (t=1) and (t=3), representing upward and downward motion.
अंक (x) और (11-x) हों, तो (x(11-x)=30), जिससे (x=5) या (x=6)। संभावित संख्याएँ (56) और (65) हैं, इसलिए बड़ी संख्या (65) है। / Let the digits be (x) and (11-x), then (x(11-x)=30), giving (x=5) or (x=6). The possible numbers are (56) and (65), so the larger one is (65).
मैदान की भुजा (x m) हो, तो बाहरी भुजा (x+4) होगी और ((x+4)2=196)। इसलिए (x=10)। / Let the side of the field be (x m\(), so the outer side is (x+4) and ((x+4)^2=196). Hence (x=10).\)
मान लें कि छोटी भुजा की लंबाई \(x\text{ cm}\) है। तब दूसरी भुजा \((x+5)\text{ cm}\) होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+5)^2=25^2\), अर्थात \(x^2+5x-300=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(-20\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः छोटी भुजा \(15\text{ cm}\) है। परीक्षा-युक्ति: अंतिम उत्तर चुनने से पहले दोनों भुजाओं \(15\text{ cm}\) और \(20\text{ cm}\) का वर्ग-जांच अवश्य करें। / Let the shorter leg be \(x\text{ cm}\); then the longer leg is \((x+5)\text{ cm}\). By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+5)^2=25^2\), which simplifies to \(x^2+5x-300=0\). Factoring gives \((x-15)(x+20)=0\), so \(x=15\) or \(-20\). Since a length cannot be negative, the shorter leg is \(15\text{ cm}\). Exam tip: verify the result using \(15^2+20^2=25^2\).
विद्यार्थी (n) हों, तो (\frac{n(n-1)}{2}=190)। इससे \(n^2-n-380=0\), इसलिए (n=20)। / Let the number of students be (n), then (\frac{n(n-1)}{2}=190). This gives \(n^2-n-380=0\), so (n=20).
तेज पाइप का समय (x h) हो, तो \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\)। इससे \(x^2-7x-30=0\), इसलिए (x=10)। / Let the faster pipe take (x h\(), then (\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}). This gives (x^2-7x-30=0), so (x=10).\)
मूल चाल (x) हो, तो \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+10}=3\)। इससे \(x^2+10x-1200=0\), इसलिए (x=30)। / Let the original speed be (x), then \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+10}=3\). This gives \(x^2+10x-1200=0\), so (x=30).
मान लें चौड़ाई (x m) है, तब (x(x+5)=300), इसलिए (x=15)। परीक्षा में ऋणात्मक माप को अस्वीकार करें। / Let the breadth be (x m\(), so (x(x+5)=300), giving (x=15). In exams, reject the negative dimension.\)
एक वर्गाकार मैदान की चारों ओर समान चौड़ाई (x) मीटर की सीमा बनी हुई है। सीमा के अंदर बने वर्ग की भुजा 60 मीटर और मैदान की बाहरी भुजा 92 मीटर है। सीमा की चौड़ाई (x) कितनी है?
सीमा की चौड़ाई दोनों विपरीत दिशाओं में घटती है, इसलिए अंदर की भुजा (92-2x) मीटर होगी। अतः (92-2x=60) , जिससे (2x=32) और (x=16) मीटर प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग के चारों ओर बनी सीमा में बाहरी और अंदरूनी भुजाओं का अंतर हमेशा (2x) होता है; केवल (92-60=32) को उत्तर न मानें। / The border occupies width (x) on both opposite sides, so the inner side is (92-2x) metres. Thus, (92-2x=60) , giving (2x=32) and (x=16) metres. Hence, option C is correct. Exam tip: for a border around a square, the difference between the outer and inner sides is (2x) , not (x) ; therefore, 32 m is the total reduction, not the border width.
64 मीटर लंबे और 44 मीटर चौड़े एक बगीचे के चारों ओर समान चौड़ाई का x मीटर चौड़ा रास्ता बना है। बगीचे सहित रास्ते का कुल क्षेत्रफल 3996 वर्ग मीटर है। x का मान क्या है?
रास्ते सहित बाहरी आयाम \(64+2x\) मीटर और \(44+2x\) मीटर होंगे। इसलिए \((64+2x)(44+2x)=3996\)। इसे सरल करने पर \(x^2+54x-295=0\), अर्थात् \((x-5)(x+59)=0\)। अतः \(x=5\) या \(x=-59\), लेकिन चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=5\) मीटर सही है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर समान चौड़ाई के रास्ते में प्रत्येक आयाम में \(2x\) जोड़ा जाता है। / The outer dimensions, including the path, are \(64+2x\) metres and \(44+2x\) metres. Thus, \((64+2x)(44+2x)=3996\). On simplification, \(x^2+54x-295=0\), which factors as \((x-5)(x+59)=0\). The roots are \(5\) and \(-59\), but a width cannot be negative, so \(x=5\) metres. Exam tip: for a uniform path around all four sides, add \(2x\) to each original dimension.
एक आयताकार बगीचे के चारों ओर बाहर की ओर समान चौड़ाई का 5 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। बगीचे की लंबाई 60 मीटर और चौड़ाई 42 मीटर है। रास्ते सहित बाहरी आयत का कुल क्षेत्रफल कितना होगा?
रास्ता चारों ओर है, इसलिए बाहरी लंबाई में 5 + 5 = 10 मीटर और बाहरी चौड़ाई में भी 10 मीटर जुड़ेंगे। अतः बाहरी आयाम 60 + 10 = 70 मीटर और 42 + 10 = 52 मीटर होंगे। कुल क्षेत्रफल \(70 \times 52 = 3640\) वर्ग मीटर है, इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा में चारों ओर की चौड़ाई जोड़ते समय चौड़ाई को दोनों विपरीत दिशाओं के लिए दो गुना करना याद रखें। / Since the path surrounds the garden on all four sides, 5 + 5 = 10 m must be added to both dimensions. Thus, the outer length is 60 + 10 = 70 m and the outer width is 42 + 10 = 52 m. The total area is \(70 \times 52 = 3640\) square metres, so option C is correct. Exam tip: for a path around all sides, add twice the path width to each original dimension.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+30)=2800), जिससे (x=40) और लंबाई (70) है। तार की लंबाई (2(40+70)=220) सेमी है। / If breadth is (x), then (x(x+30)=2800), giving (x=40) and length (70). The wire length is (2(40+70)=220) cm.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=3025\), इसलिए (x=55) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=220) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=3025\), so (x=55). The wire length is the perimeter (4x=220) cm.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 20 मीटर अधिक है। यदि लंबाई में 8 मीटर और चौड़ाई में 6 मीटर की वृद्धि की जाए, तो नया क्षेत्रफल 3360 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई कितनी थी?
मूल चौड़ाई को (x) मीटर मानें। तब मूल लंबाई (x+20) मीटर होगी। वृद्धि के बाद लंबाई (x+28) और चौड़ाई (x+6) हो जाएगी। इसलिए (x+28)(x+6)=3360
oर x-2+34x-3192=0। इसके मूल x=42 और x=-76 हैं। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x=42 मीटर सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: आयामों से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा ज्यामितीय संदर्भ के आधार पर अस्वीकार करें। / Let the original breadth be (x) m. Then the original length is (x+20) m. After the increases, the dimensions become (x+28) m and (x+6) m. Thus, (x+28)(x+6)=3360
, which gives x-2+34x-3192=0. Its roots are x=42 and x=-76. Since a rectangle cannot have a negative dimension, the original breadth is 42 m. Exam tip: In geometrical word problems, reject any negative root because dimensions must be positive.
चौड़ाई (x) और लंबाई (x+22) हो तो वृद्धि ((x+10)(x+32)-x(x+22)=1520) है। इससे (x=60) मिलता है। / If breadth is (x) and length is (x+22), the increase is ((x+10)(x+32)-x(x+22)=1520). This gives (x=60).
घटाई गई भुजा \((x-9)\) सेमी होगी। इसलिए \((x-9)^2=1681=41^2\)। चूँकि भुजा धनात्मक होती है और घटाने के बाद भी लंबाई धनात्मक है, \(x-9=41\), न कि \(-41\)। अतः \(x=50\) सेमी। परीक्षा-युक्ति: लंबाई से जुड़े द्विघात समीकरण में केवल धनात्मक और संदर्भानुकूल मूल स्वीकार करें। / The reduced side is \((x-9)\) cm, so \((x-9)^2=1681=41^2\). Since a side length is positive and the reduced side must also be positive, \(x-9=41\), not \(-41\). Hence, \(x=50\) cm. Exam tip: In quadratic equations involving lengths, retain only the positive root that fits the situation.
मूल क्षेत्रफल \(x^2\) और नई भुजा का क्षेत्रफल \((x+12)^2\) होगा। इसलिए \((x+12)^2-x^2=2448\), अर्थात \(24x+144=2448\)। इससे \(24x=2304\) और \(x=96\) मीटर प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 96 है। परीक्षा-सुझाव: ऐसी समस्याओं में \((a+b)^2-a^2=2ab+b^2\) का प्रयोग करके गणना शीघ्र की जा सकती है। / The original area is \(x^2\), and the new area is \((x+12)^2\). Hence, \((x+12)^2-x^2=2448\), which gives \(24x+144=2448\). Therefore, \(24x=2304\) and \(x=96\) metres. Thus, 96 is correct. Exam tip: For such questions, use \((a+b)^2-a^2=2ab+b^2\) to simplify the calculation quickly.
((x+10)(x-10)=1500) से \(x^2-100=1500\), इसलिए (x=40) है। ऐसे प्रश्न में अंतर के वर्ग का सूत्र मदद करता है। / ((x+10)(x-10)=1500) gives \(x^2-100=1500\), so (x=40). The difference of squares idea helps in such questions.
प्रश्न के अनुसार \((x+12)(x-12)=2160\)। अंतर के वर्ग का सूत्र लगाने पर \(x^2-144=2160\), अतः \(x^2=2304=48^2\)। इसलिए \(x=48\) या \(-48\), लेकिन आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती; अतः सही उत्तर 48 वर्ष है। जाँच: \((48+12)(48-12)=60\times36=2160\)। परीक्षा-युक्ति: आयु के प्रश्नों में प्राप्त ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / According to the statement, \((x+12)(x-12)=2160\). Using the difference-of-squares identity, \(x^2-144=2160\), so \(x^2=2304=48^2\). Thus \(x=48\) or \(-48\), but age cannot be negative; hence the present age is 48 years. Check: \((48+12)(48-12)=60\times36=2160\). Exam tip: reject the negative root in age-based problems.
बेटी की आयु (x) हो तो (x(x+38)=2240), जिससे (x=32) है। आयु के प्रश्न में ऋणात्मक हल छोड़ दें। / If the daughter's age is (x), then (x(x+38)=2240), giving (x=32). In age problems, ignore the negative root.
मान लें कि पुत्र की आयु \(x\) वर्ष है। तब पिता की आयु \(x+42\) वर्ष होगी और \(x(x+42)=2160\)। अतः \(x^2+42x-2160=0\), जिसका गुणनखंडन \((x-30)(x+72)=0\) है। आयु धनात्मक होने के कारण \(x=30\) लिया जाएगा, इसलिए पिता की आयु \(30+42=72\) वर्ष है। विकल्प 60 में आयु-अंतर और गुणनफल दोनों शर्तें पूरी नहीं होतीं। परीक्षा-युक्ति: आयु वाले प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार कर केवल धनात्मक मूल लें। / Let the son's age be \(x\) years. Then the father's age is \(x+42\) years, so \(x(x+42)=2160\). This gives \(x^2+42x-2160=0\), which factors as \((x-30)(x+72)=0\). Since age must be positive, \(x=30\), and the father's age is \(30+42=72\) years. Option 60 does not satisfy both the age difference and the product conditions. Exam tip: In age problems, reject the negative root and retain only the positive age.
((x-22)2=2500) और (x-22=50), इसलिए (x=72) है। वर्गमूल के बाद शर्त के अनुसार चिन्ह चुनें। / ((x-22)2=2500) and (x-22=50), so (x=72). After taking square root, choose the sign according to the condition.
((x+18)2=4096) और (x+18=64), इसलिए (x=46) है। धनात्मक स्थिति स्पष्ट हो तो धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+18)2=4096) and (x+18=64), so (x=46). If the positive case is clear, take the positive square root.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-975=2625\), इसलिए \(x^2=2625+975=3600\)। अतः \(x=\pm60\), लेकिन धनात्मक संख्या \(60\) है। परीक्षा-युक्ति: “वर्ग में से घटाना” को समीकरण में \(x^2-975\) के रूप में लिखें और धनात्मक मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-975=2625\), so \(x^2=2625+975=3600\). Hence \(x=\pm60\), but the positive number is \(60\). Exam tip: Translate “subtracting from the square” as \(x^2-975\), and select the positive root when asked for a positive number.
मान लें संख्या x है। तब x² + 399 = 3208, इसलिए x² = 3208 − 399 = 2809। चूँकि 2809 = 53², अतः x = ±53 होगा; माँगी गई धनात्मक संख्या 53 है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल लेते समय दोनों चिह्न आते हैं, लेकिन प्रश्न में धनात्मक संख्या माँगी हो तो धनात्मक मान चुनें। / Let the number be x. Then x² + 399 = 3208, so x² = 3208 − 399 = 2809. Since 2809 = 53², x = ±53; therefore, the required positive number is 53. Exam tip: Taking a square root gives both signs, but select the positive value when the question asks for a positive number.
मान लें संख्या x है। तब x² + x = 2352, अर्थात् x² + x − 2352 = 0। इसका गुणनखंडन (x − 48)(x + 49) = 0 है, इसलिए x = 48 या x = −49। धनात्मक संख्या 48 है। परीक्षा में उत्तर जाँचने के लिए 48² + 48 = 2304 + 48 = 2352 करें; 49 का योग 2450 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। / Let the number be x. Then x² + x = 2352, so x² + x − 2352 = 0. Factoring gives (x − 48)(x + 49) = 0, hence x = 48 or x = −49. Since the question asks for the positive number, the answer is 48. As an exam check, 48² + 48 = 2304 + 48 = 2352, whereas 49 gives 2450.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-40x=3825\), अर्थात् \(x^2-40x-3825=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-85)(x+45)=0\) है, इसलिए \(x=85\) या \(x=-45\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, सही उत्तर \(85\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के दोनों हल प्राप्त करने के बाद प्रश्न में दी गई शर्त, जैसे धनात्मक संख्या, अवश्य जाँचें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-40x=3825\), so \(x^2-40x-3825=0\). Factoring gives \((x-85)(x+45)=0\), hence \(x=85\) or \(x=-45\). Since the number is positive, the valid answer is \(85\). Exam tip: After solving a quadratic equation, always apply the condition given in the question, such as positivity, to select the valid root.
