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मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2=30x+2800\), इसलिए \(x^2-30x-2800=0\)। गुणनखंड करने पर \((x-70)(x+40)=0\), अतः \(x=70\) या \(x=-40\)। प्रश्न में धनात्मक संख्या माँगी गई है, इसलिए सही उत्तर 70 है। परीक्षा में द्विघात समीकरण के दोनों मूल निकालकर दी गई शर्त, जैसे धनात्मकता, अवश्य जाँचें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=30x+2800\), so \(x^2-30x-2800=0\). Factoring gives \((x-70)(x+40)=0\), hence \(x=70\) or \(x=-40\). Since the question asks for the positive number, the answer is 70. In an exam, find both roots and then apply the condition stated in the question, such as positivity.
धनात्मक संख्या को x मानने पर \((x-14)(x+25)=2700\)। कोष्ठक खोलने और सरल करने पर \(x^2+11x-3050=0\), अर्थात \((x-50)(x+61)=0\)। इसलिए \(x=50\) या \(x=-61\), लेकिन प्रश्न में संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 50 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण से मिले मूलों को प्रश्न की शर्तों, जैसे धनात्मकता, के अनुसार अवश्य जाँचें। / Let the positive number be x. Then \((x-14)(x+25)=2700\). On expanding and simplifying, \(x^2+11x-3050=0\), which factors as \((x-50)(x+61)=0\). Thus, \(x=50\) or \(x=-61\); since the number is specified as positive, the correct answer is 50. Exam tip: Always check the roots of a quadratic against the conditions stated in the word problem, such as positivity.
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x-11)(x+20)=2112\), अर्थात \(x^2+9x-2332=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-44)(x+53)=0\) है, इसलिए \(x=44\) या \(x=-53\)। प्रश्न में धनात्मक मूल संख्या माँगी गई है, अतः सही उत्तर 44 है। परीक्षा-युक्ति: ‘कम’ के साथ ऋणात्मक और ‘अधिक’ के साथ धनात्मक चिन्ह लगाएँ, फिर दिए गए धनात्मक प्रतिबंध को लागू करें। / Let the original number be \(x\). Then \((x-11)(x+20)=2112\), which gives \(x^2+9x-2332=0\). Factoring, \((x-44)(x+53)=0\), so \(x=44\) or \(x=-53\). Since the question asks for the positive original number, the answer is 44. Exam tip: use a minus sign for ‘less than’ and a plus sign for ‘more than’, then apply the stated positivity condition.
मूल संख्या को \(x\) मानने पर \((x+8)(x+15)=2340\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+23x-2220=0\), अर्थात \((x-37)(x+60)=0\)। इसलिए \(x=37\) या \(x=-60\) हो सकता है, लेकिन प्रश्न में संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 37 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्राप्त दोनों मूलों को जाँचकर दी गई शर्त के अनुसार सही मूल चुनें। / Let the original number be \(x\). Then \((x+8)(x+15)=2340\), which gives \(x^2+23x-2220=0\), or \((x-37)(x+60)=0\). Thus, \(x=37\) or \(x=-60\); since the number is specified as positive, the correct answer is 37. Exam tip: Always check both roots and select the one satisfying the condition stated in the question.
एक परीक्षा में कुल 1600 प्रश्न-पत्र वितरित किए गए। यदि विद्यार्थियों की संख्या \(x\) है और प्रत्येक विद्यार्थी को \(x-18\) प्रश्न-पत्र दिए गए हैं, तो विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
कुल प्रश्न-पत्रों के आधार पर \(x(x-18)=1600\)। अतः \(x^2-18x-1600=0\), जिसे गुणनखंडित करने पर \((x-50)(x+32)=0\) मिलता है। इसलिए \(x=50\) या \(x=-32\)। विद्यार्थियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 50 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / The total number of question papers gives \(x(x-18)=1600\). Thus, \(x^2-18x-1600=0\), which factors as \((x-50)(x+32)=0\). Therefore, \(x=50\) or \(x=-32\). Since the number of students cannot be negative, the valid answer is 50. Exam tip: reject any root that is not meaningful in the given context.
कुल पौधों के आधार पर समीकरण \(x(x-16)=1536\) होगा। अतः \(x^2-16x-1536=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-48)(x+32)=0\) है, इसलिए \(x=48\) या \(x=-32\)। कतारों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=48\) सही है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में ऋणात्मक मूल को व्यावहारिक संदर्भ के कारण अस्वीकार करें। / The total-number condition gives \(x(x-16)=1536\), so \(x^2-16x-1536=0\). Factoring yields \((x-48)(x+32)=0\), giving \(x=48\) or \(x=-32\). Since the number of rows cannot be negative, \(x=48\) is correct. Exam tip: In word problems, reject roots that are not meaningful for the given quantity.
कुल कुर्सियों के आधार पर समीकरण x(x+30)=2275 होगा। अतः x-2+30x-2275=0। इसका गुणनखंडन (x-35)(x+65)=0 है, इसलिए x=35 या x=-65। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 35 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करके केवल धनात्मक मूल लें। / The total number of chairs gives the equation x(x+30)=2275, or x-2+30x-2275=0. Factoring, (x-35)(x+65)=0, so x=35 or x=-65. Since the number of rows cannot be negative, the valid answer is 35. Exam tip: In arrangement word problems, reject any negative root and retain the positive value that fits the context.
एक पुस्तकालय में \(x\) अलमारियाँ हैं और प्रत्येक अलमारी में \(x+27\) पुस्तकें हैं। यदि पुस्तकों की कुल संख्या 1980 है, तो अलमारियों की संख्या कितनी है?
कुल पुस्तकों के आधार पर समीकरण \(x(x+27)=1980\) होगा, अर्थात् \(x^2+27x-1980=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-33)(x+60)=0\) है, इसलिए \(x=33\) या \(x=-60\)। अलमारियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=33\) सही है। परीक्षा-युक्ति: शब्द-समस्याओं में प्राप्त ऋणात्मक मूल को प्रसंग के अनुसार अस्वीकार करें। / The total number of books gives the equation \(x(x+27)=1980\), or \(x^2+27x-1980=0\). Factoring gives \((x-33)(x+60)=0\), so \(x=33\) or \(x=-60\). Since the number of shelves cannot be negative, \(x=33\) is valid. Exam tip: In word problems, reject a negative root when the variable represents a count or measurement.
कुल प्रश्नों की संख्या से \(x(x+22)=1400\) प्राप्त होता है। अतः \(x^2+22x-1400=0\), जिसे गुणनखंडित करने पर \((x-28)(x+50)=0\) मिलता है। इसलिए \(x=28\) या \(x=-50\); लेकिन दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 28 है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जीवन की समस्याओं में प्राप्त हलों में से संदर्भ के अनुकूल, अर्थात धनात्मक, मान चुनें। / The total number of questions gives \(x(x+22)=1400\). Thus, \(x^2+22x-1400=0\), which factors as \((x-28)(x+50)=0\). Therefore, \(x=28\) or \(x=-50\); since the number of days cannot be negative, the valid answer is 28. Exam tip: In word problems, reject algebraic roots that are impossible in the given context.
कुल काम (x(x+18)=1440) है, जिससे (x=30) मिलता है। कुल काम के लिए दिन और प्रतिदिन काम को गुणा करें। / Total work is (x(x+18)=1440), giving (x=30). For total work, multiply days and work per day.
दूरी = चाल × समय के आधार पर x(x+20)=1125 होगा। अतः x²+20x−1125=0। इसका गुणनखंड (x−25)(x+45)=0 है, इसलिए x=25 या x=−45। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः x=25 घंटे सही है। परीक्षा-युक्ति: समय, दूरी और चाल से जुड़े प्रश्नों में सबसे पहले इकाइयाँ समान करके दूरी = चाल × समय का संबंध लिखें। / Using distance = speed × time, we get x(x+20)=1125, or x²+20x−1125=0. Factoring gives (x−25)(x+45)=0, so x=25 or x=−45. Since time cannot be negative, x=25 hours is the valid answer. Exam tip: In speed–distance–time problems, first write distance = speed × time and reject any negative time root.
एक नाव धारा के अनुकूल (216) किमी जाती है। शांत जल में गति (x) किमी प्रति घंटा और धारा की गति (5) किमी प्रति घंटा है। यदि समय (8) घंटा है, तो (x) क्या है?
धारा के अनुकूल गति (x+5) है और (8(x+5)=216), इसलिए (x=22) है। नाव के प्रश्न में दिशा के अनुसार गति बदलती है। / Downstream speed is (x+5), and (8(x+5)=216), so (x=22). In boat problems, speed changes with direction.
दूरी = गति × समय के अनुसार \(x(x-85)=1056\), अर्थात \(x^2-85x-1056=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-96)(x+11)=0\) है, इसलिए \(x=96\) या \(x=-11\)। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=96\) किमी/घंटा। इसलिए समय \(x-85=96-85=11\) घंटे होगा। परीक्षा-युक्ति: गति, समय और दूरी के प्रश्नों में पहले \(D=ST\) का संबंध लिखें और अव्यावहारिक ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Using distance = speed × time, \(x(x-85)=1056\), so \(x^2-85x-1056=0\). Factoring gives \((x-96)(x+11)=0\), hence \(x=96\) or \(x=-11\). Speed cannot be negative, so \(x=96\) km/h. Therefore, the time is \(x-85=96-85=11\) hours. Exam tip: In speed–time–distance problems, first write \(D=ST\) and reject any negative value that is physically impossible.
दूरी = गति × समय के सूत्र से \(x(x-92)=800\)। अतः \(x^2-92x-800=0\), जिसे \((x-100)(x+8)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=100\) या \(x=-8\)। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 100 किमी प्रति घंटा है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को भौतिक अर्थ न होने के कारण अवश्य अस्वीकार करें। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-92)=800\). Thus, \(x^2-92x-800=0\), which factors as \((x-100)(x+8)=0\). Therefore, \(x=100\) or \(x=-8\). Since speed cannot be negative, the valid speed is 100 km per hour. In such problems, always reject a negative root when it has no physical meaning.
आधार दूरी (x) हो तो (x-2+842=(x+42)2), जिससे (x=63) है। कर्ण हमेशा सबसे बड़ी लंबाई होती है। / If the base distance is (x), then (x-2+842=(x+42)2), giving (x=63). The hypotenuse is always the greatest length.
समकोण त्रिभुज से (x-2+1202=(x+50)2), जिससे (x=119) है। सीढ़ी के प्रश्न में सीढ़ी कर्ण होती है। / From the right triangle, (x-2+1202=(x+50)2), giving (x=119). In ladder problems, the ladder is the hypotenuse.
मान लीजिए छोटी लम्ब भुजा की लंबाई \(x\) सेमी है। तब दूसरी लम्ब भुजा \(x+37\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+37)^2=185^2\), अर्थात \(x^2+37x-16428=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-111)(x+148)=0\) है। अतः \(x=111\) सेमी, क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती; \(x=-148\) अमान्य है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले छोटी भुजा को \(x\) मानकर बड़ी भुजा को \(x+\) अंतर लिखें। / Let the shorter leg be \(x\) cm. Then the longer leg is \(x+37\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+37)^2=185^2\), which simplifies to \(x^2+37x-16428=0\). Factoring gives \((x-111)(x+148)=0\). Therefore, \(x=111\) cm, since a length cannot be negative; \(x=-148\) is rejected. Exam tip: represent the longer side as \(x+\) the given difference before applying the Pythagorean theorem.
पाइथागोरस से (x-2+(x+30)2=1502), जिससे (x=90) है। कर्ण को सबसे बड़ी भुजा मानकर समीकरण बनाएं। / By Pythagoras, (x-2+(x+30)2=1502), giving (x=90). Form the equation by taking the hypotenuse as the largest side.
वर्ग का क्षेत्रफल \((\text{भुजा})^2\) होता है, इसलिए \((x-12)^2=1849=43^2\)। अतः \(x-12=43\) या \(x-12=-43\)। टाइल की भुजा धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x-12=43\) और \(x=55\)। ऋणात्मक मूल लेने पर भुजा \(-43\) सेमी हो जाएगी, जो संभव नहीं है। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक लंबाई की शर्त अवश्य जाँचें। / The area of a square is the square of its side, so \((x-12)^2=1849=43^2\). Thus, \(x-12=43\) or \(x-12=-43\). Since a tile cannot have a negative side length, \(x-12=43\), giving \(x=55\). The negative algebraic root would make the side \(-43\) cm, which is not physically valid. In an exam, always apply the positive-length condition when taking a square root.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा) होता है, इसलिए (x+17)2=3249=572। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण (x+17)=57, अतः x=57-17=40। विकल्प D में 57 को गलती से x का मान माना गया है; 57 वास्तव में वर्ग की भुजा है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल दिए होने पर पहले भुजा का धनात्मक वर्गमूल निकालें। / The area of a square is (side)2, so (x+17)2=3249=572. Since a side length is positive, x+17=57; hence x=57-17=40. Option D is incorrect because 57 is the side length, not the value of x. Exam tip: When the area of a square is given, first take its positive square root to find the side.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 56 मीटर है तथा आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर और लंबाई \((x+66)\) मीटर है। आयत की चौड़ाई \(x\) का मान क्या है?
वर्ग का क्षेत्रफल \(56^2=3136\) वर्ग मीटर है। अतः समान क्षेत्रफल के कारण \(x(x+66)=3136\), यानी \(x^2+66x-3136=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-32)(x+98)=0\) है, इसलिए \(x=32\) या \(x=-98\)। लंबाई और चौड़ाई का मान धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x=32\) मीटर सही है। परीक्षा में क्षेत्रफल-आधारित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को ज्यामितीय अर्थ के आधार पर अवश्य अस्वीकार करें। / The square’s area is \(56^2=3136\) square metres. Equating the two areas gives \(x(x+66)=3136\), or \(x^2+66x-3136=0\). Factoring, \((x-32)(x+98)=0\), so \(x=32\) or \(x=-98\). Since a rectangle’s breadth must be positive, \(x=32\) m is the valid answer. In word problems, always reject roots that do not have a meaningful physical interpretation.
एक भुजा (x) हो तो दूसरी (101-x) होगी और (x(101-x)=2508) बनेगा। हल (44) और (57) हैं, इसलिए छोटी भुजा (44) है। / If one side is (x), the other is (101-x), and (x(101-x)=2508). The solutions are (44) and (57), so the shorter side is (44).
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+27\) सेमी होगी और \(x(x+27)=2170\)। अतः \(x^2+27x-2170=0\), जिसका धनात्मक हल \(x=35\) है। इसलिए चौड़ाई 35 सेमी और लंबाई 62 सेमी है। परिमाप \(2(35+62)=194\) सेमी होगा। परीक्षा-युक्ति: आयत के ऐसे प्रश्नों में पहले क्षेत्रफल से द्विघात समीकरण बनाकर धनात्मक मूल चुनें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+27\) cm, so \(x(x+27)=2170\), or \(x^2+27x-2170=0\). The positive solution is \(x=35\), giving breadth 35 cm and length 62 cm. Hence, the perimeter is \(2(35+62)=194\) cm. Exam tip: In rectangle word problems, form the quadratic equation from the area and retain only the positive dimension.
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+15)2=752), जिससे (x=45) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+15)2=752), giving (x=45). Use Pythagoras for a rectangle with a diagonal.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+19\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+19)=2772\), अर्थात् \(x^2+19x-2772=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-44)(x+63)=0\) है। अतः \(x=44\) सेमी (ऋणात्मक मूल मान्य नहीं) और लंबाई \(44+19=63\) सेमी होगी। परीक्षा-युक्ति: आयत की लंबाई और चौड़ाई के लिए केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+19\) cm. Using the area, \(x(x+19)=2772\), so \(x^2+19x-2772=0\). Factoring gives \((x-44)(x+63)=0\). Thus \(x=44\) cm, since a negative dimension is not possible, and the length is \(44+19=63\) cm. Exam tip: Reject negative roots when solving quadratic equations involving physical dimensions.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+23)=2220), जिससे (x=37) है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / If breadth is (x), then (x(x+23)=2220), giving (x=37). For a rectangle, use the product of length and breadth for area.
छोटी संख्या को x मानें। तब दूसरी संख्या 90 − x होगी। अतः \(x^2+(90-x)^2=4068\)। इसे सरल करने पर \(2x^2-180x+4032=0\), अर्थात् \(x^2-90x+2016=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-42)(x-48)=0\) है, इसलिए संख्याएँ 42 और 48 हैं। अतः छोटी संख्या 42 है। परीक्षा-युक्ति: योग और वर्गों का योग दिए हों, तो \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) का उपयोग करके भी संख्याएँ शीघ्र ज्ञात की जा सकती हैं। / Let the smaller number be x; then the other number is 90 − x. Thus, \(x^2+(90-x)^2=4068\), which simplifies to \(2x^2-180x+4032=0\), or \(x^2-90x+2016=0\). Factoring gives \((x-42)(x-48)=0\), so the two numbers are 42 and 48. Therefore, the smaller number is 42. Exam tip: When the sum and the sum of squares are given, you can also use \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) to find the numbers efficiently.
छोटी संख्या (x) और बड़ी (x+19) हो तो (x(x+19)=1632) बनता है। इससे छोटी संख्या (32) और बड़ी संख्या (51) मिलती है। / If the smaller number is (x) and the larger is (x+19), then (x(x+19)=1632). This gives smaller number (32) and larger number (51).
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=3044) से (x=38), इसलिए बड़ी संख्या (40) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=3044), (x=38), so the larger number is (40).
छोटी संख्या को x मानें। तब अगली लगातार विषम संख्या x+2 होगी। इसलिए \(x^2+(x+2)^2=2314\), अर्थात \(2x^2+4x-2310=0\) या \(x^2+2x-1155=0\)। इसका गुणनखंडन करने पर \((x-33)(x+35)=0\) मिलता है। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=33\) लिया जाएगा; \(x=-35\) मान्य नहीं है। अतः सही उत्तर 33 है। परीक्षा-युक्ति: लगातार विषम संख्याओं का अंतर 2 रखें और द्विघात समीकरण का ऋणात्मक मूल जाँचकर त्याग दें। / Let the smaller number be x. The next consecutive odd number is x+2. Thus, \(x^2+(x+2)^2=2314\), which simplifies to \(2x^2+4x-2310=0\) or \(x^2+2x-1155=0\). Factoring gives \((x-33)(x+35)=0\). Since the numbers are positive, \(x=33\) is valid, while \(x=-35\) is not. Therefore, the correct answer is 33. Exam tip: For consecutive odd numbers, use a difference of 2 and reject any non-positive root.
