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छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=1513), जिससे (x=27) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=1513), giving (x=27). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
यदि इकाई अंक (x) है, तो दहाई अंक (x-2) है। (x(x-2)=24) से (x=6), इसलिए संख्या (46) है। / If the units digit is (x), then the tens digit is (x-2). From (x(x-2)=24), (x=6), so the number is (46).
एक वर्गाकार मैदान की अंदरूनी सीमा पर समान चौड़ाई की पट्टी छोड़ी गई है। इस पट्टी की चौड़ाई x मीटर है। यदि मैदान की बाहरी भुजा 68 मीटर और अंदर बचे वर्ग की भुजा 44 मीटर है, तो x का मान क्या होगा?
पट्टी दोनों विपरीत दिशाओं में एक-एक बार घटती है, इसलिए अंदर की भुजा 68 - 2x होगी। अतः 68 - 2x = 44, जिससे 2x = 24 और x = 12 मीटर प्राप्त होता है। 24 मीटर पूरे घटाव को दर्शाता है, इसलिए उसे सीधे x मानना गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: समान चौड़ाई की अंदरूनी सीमा में बाहरी और अंदरूनी भुजाओं का अंतर हमेशा 2x होता है। / The border is removed once from each of the two opposite sides, so the inner side is 68 - 2x. Thus, 68 - 2x = 44, giving 2x = 24 and x = 12 metres. The total difference of 24 metres cannot be taken directly as x because it represents two border widths. Exam tip: For a uniform inner border of width x, the difference between the outer and inner sides is always 2x.
50 मीटर लंबाई और 36 मीटर चौड़ाई वाले आयताकार बगीचे के चारों ओर समान चौड़ाई x मीटर का रास्ता बना है। रास्ते सहित पूरे आयत का क्षेत्रफल 2760 वर्ग मीटर है। x का मान क्या है?
रास्ता चारों ओर है, इसलिए बाहरी आयाम (50+2x) मीटर और (36+2x) मीटर होंगे। अतः (50+2x)(36+2x)=2760। x=5 रखने पर 60×46=2760 प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 5 मीटर है। x=4 या 6 रखने पर क्षेत्रफल क्रमशः 2552 और 2912 वर्ग मीटर आता है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर रास्ते की चौड़ाई x होने पर प्रत्येक आयाम में 2x जोड़ें। / Since the path surrounds the garden on all four sides, the outer dimensions are (50+2x) m and (36+2x) m. Therefore, (50+2x)(36+2x)=2760. Substituting x=5 gives 60×46=2760, so the width of the path is 5 m. The nearby values x=4 and x=6 give areas of 2552 and 2912 square metres, respectively. Exam tip: for a path of width x around all four sides, add 2x to each original dimension.
एक आयताकार बगीचे के चारों ओर 4 मीटर चौड़ा समान रास्ता बना है। बगीचे की लंबाई 46 मीटर और चौड़ाई 32 मीटर है। रास्ते सहित पूरे आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना होगा?
रास्ता बगीचे के चारों ओर है, इसलिए बाहरी लंबाई में दोनों सिरों की चौड़ाई जोड़नी होगी: \(46+2\times4=54\) मीटर। इसी प्रकार बाहरी चौड़ाई \(32+2\times4=40\) मीटर होगी। अतः रास्ते सहित क्षेत्रफल \(54\times40=2160\) वर्ग मीटर है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A केवल अनुमानित या गलत आयामों से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर रास्ते की चौड़ाई हो तो प्रत्येक आयाम में \(2\times\) रास्ते की चौड़ाई जोड़ें। / Since the path surrounds the garden on all four sides, add twice its width to each garden dimension: the outer length is \(46+2\times4=54\) m and the outer breadth is \(32+2\times4=40\) m. Therefore, the total area is \(54\times40=2160\) square metres, so option B is correct. Option A results from using incorrect outer dimensions. Exam tip: for a path around all four sides, add \(2\times\) the path width to both dimensions before multiplying.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+25)=2100), जिससे (x=35) और लंबाई (60) है। तार की लंबाई (2(35+60)=190) सेमी है। / If breadth is (x), then (x(x+25)=2100), giving (x=35) and length (60). The wire length is (2(35+60)=190) cm.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=2025\), इसलिए (x=45) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=180) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=2025\), so (x=45). The wire length is the perimeter (4x=180) cm.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 15 मीटर अधिक है। यदि लंबाई में 6 मीटर और चौड़ाई में 5 मीटर की वृद्धि की जाए, तो नया क्षेत्रफल 1944 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई लगभग कितनी है?
मूल चौड़ाई को x मीटर मानें। तब मूल लंबाई x+15 मीटर होगी। वृद्धि के बाद लंबाई x+21 और चौड़ाई x+5 हो जाएगी, इसलिए \((x+21)(x+5)=1944\)। विस्तार करने पर \(x^2+26x-1839=0\) मिलता है। इसका धनात्मक हल \(x=-13+2\sqrt{502}\approx31.81\) है। ऋणात्मक हल लंबाई या चौड़ाई के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: आयामों से जुड़े प्रश्नों में पहले चर निर्धारित करके बदले हुए आयामों का गुणनफल क्षेत्रफल के बराबर रखें। / Let the original breadth be x m. Then the original length is x+15 m. After the increases, the length is x+21 m and the breadth is x+5 m, so \((x+21)(x+5)=1944\). On simplifying, \(x^2+26x-1839=0\), whose positive solution is \(x=-13+2\sqrt{502}\approx31.81\). The negative solution is not valid for a length or breadth. Exam tip: In dimension-change problems, define one dimension as x and equate the product of the changed dimensions to the new area.
चौड़ाई (x) और लंबाई (x+18) हो तो वृद्धि ((x+8)(x+26)-x(x+18)=1056) है। इससे (x=54) मिलता है। / If breadth is (x) and length is (x+18), the increase is ((x+8)(x+26)-x(x+18)=1056). This gives (x=54).
घटाने के बाद वर्ग की भुजा \(x-7\) सेमी होगी। इसलिए \((x-7)^2=1296=36^2\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x-7=36\), अतः \(x=43\) सेमी। \(x-7=-36\) लेने पर \(x=-29\) सेमी मिलता है, जो भुजा की लंबाई नहीं हो सकती। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल से पहले नई भुजा ज्ञात करें, फिर घटाई गई लंबाई वापस जोड़ें। / After the reduction, the side of the square is \(x-7\) cm. Thus, \((x-7)^2=1296=36^2\). Since a side length is positive, \(x-7=36\), giving \(x=43\) cm. The other algebraic root, \(x-7=-36\), gives \(x=-29\) cm, which is not a valid side length. Exam tip: find the reduced side from the area first, then add back the amount reduced.
मूल क्षेत्रफल \(x^2\) और नई क्षेत्रफल \((x+10)^2\) होगा। इसलिए \((x+10)^2-x^2=1700\), अर्थात \(20x+100=1700\)। इससे \(20x=1600\) और \(x=80\) मीटर प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में बढ़े हुए क्षेत्रफल को पहले \((x+10)^2-x^2\) के रूप में लिखें; केवल \(10^2\) को क्षेत्रफल-वृद्धि मानना गलत होगा। / The original area is \(x^2\), and the new area is \((x+10)^2\). Hence, \((x+10)^2-x^2=1700\), which gives \(20x+100=1700\). Therefore, \(20x=1600\) and \(x=80\) metres, so option B is correct. Exam tip: represent the increase as the difference of the two areas; it is not merely \(10^2\).
((x+8)(x-8)=1936) से \(x^2-64=1936\) और \(x^2=2000\) बनता है। इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई सही हल नहीं है। / ((x+8)(x-8)=1936) gives \(x^2-64=1936\) and \(x^2=2000\). Therefore, none of the given options is a correct solution.
((x+9)(x-9)=2119) से \(x^2-81=2119\), इसलिए \(x^2=2200\) बनता है। यह पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / ((x+9)(x-9)=2119) gives \(x^2-81=2119\), so \(x^2=2200\). This is not a perfect square, so none of the given options is correct.
बेटी की आयु (x) हो तो (x(x+34)=1760), जिससे (x=22) है। आयु के प्रश्न में ऋणात्मक हल छोड़ दें। / If the daughter's age is (x), then (x(x+34)=1760), giving (x=22). In age problems, ignore the negative root.
मान लें कि पुत्र की आयु \(x\) वर्ष है। तब पिता की आयु \(x+36\) वर्ष होगी। अतः \(x(x+36)=1980\), अर्थात् \(x^2+36x-1980=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-30)(x+66)=0\) है। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=30\) और पिता की आयु \(30+36=66\) वर्ष है। परीक्षा-युक्ति: आयु-समस्याओं में द्विघात समीकरण के ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the son's age be \(x\) years. Then the father's age is \(x+36\) years. Therefore, \(x(x+36)=1980\), giving \(x^2+36x-1980=0\). Factoring yields \((x-30)(x+66)=0\). Since age cannot be negative, \(x=30\), so the father's age is \(30+36=66\) years. Exam tip: In age problems, reject any negative root of the quadratic equation.
((x-15)2=2209) और (x-15=47), इसलिए (x=62) है। वर्गमूल के बाद शर्त के अनुसार चिन्ह चुनें। / ((x-15)2=2209) and (x-15=47), so (x=62). After taking square root, choose the sign according to the condition.
((x+14)2=2500) और (x+14=50), इसलिए (x=36) है। धनात्मक स्थिति स्पष्ट हो तो धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+14)2=2500) and (x+14=50), so (x=36). If the positive case is clear, take the positive square root.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-512=1809\), इसलिए \(x^2=2321\)। अतः धनात्मक मान \(x=\sqrt{2321}\) होगा, जो लगभग 48.18 है। विकल्प 48 निकट है, लेकिन \(48^2-512=1792\), 1809 नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण बनाकर स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाएँ, फिर धनात्मक वर्गमूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-512=1809\), so \(x^2=2321\). Therefore, the positive value is \(x=\sqrt{2321}\), approximately 48.18. Although 48 is close, \(48^2-512=1792\), not 1809. Exam tip: Form the equation first, isolate the square, and then take the positive square root when the question asks for the positive value.
\(x^2+444=1900\) से \(x^2=1456\) नहीं, बल्कि सही घटाव (1900-444=1456) है जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए कोई विकल्प सही नहीं हो सकता। / \(x^2+444=1900\) gives \(x^2=1456\), which is not a perfect square. Therefore, none of the options can be correct.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2+x=1892\), अर्थात् \(x^2+x-1892=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-43)(x+44)=0\) है, इसलिए \(x=43\) या \(x=-44\)। धनात्मक संख्या \(43\) है। जाँच के लिए \(43^2+43=1849+43=1892\); जबकि 42 और 44 यह योग नहीं देते। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्राप्त मूलों के चिह्न अवश्य जाँचें और केवल धनात्मक मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+x=1892\), so \(x^2+x-1892=0\). Factoring gives \((x-43)(x+44)=0\), hence \(x=43\) or \(x=-44\). Therefore, the positive number is \(43\). Verification: \(43^2+43=1849+43=1892\); 42 and 44 do not produce this sum. Exam tip: Check the signs of both roots and select only the positive root when the question specifies it.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-27x=1000\), अर्थात् \(x^2-27x-1000=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{27\pm\sqrt{27^2+4(1000)}}{2}=\frac{27\pm\sqrt{4729}}{2}\)। इनमें धनात्मक हल \(\frac{27+\sqrt{4729}}{2}\) है, जबकि दूसरा हल ऋणात्मक है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में पहले समीकरण बनाकर फिर दिए गए ‘धनात्मक’ प्रतिबंध के अनुसार उपयुक्त मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-27x=1000\), so \(x^2-27x-1000=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{27\pm\sqrt{27^2+4(1000)}}{2}=\frac{27\pm\sqrt{4729}}{2}\). The positive root is \(\frac{27+\sqrt{4729}}{2}\); the other root is negative. Therefore, option B is correct. Exam tip: form the quadratic equation carefully and use the stated positivity condition to reject the negative root.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2=24x+640\), अर्थात \(x^2-24x-640=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-40)(x+16)=0\) है, इसलिए \(x=40\) या \(x=-16\)। धनात्मक संख्या 40 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण बनाकर दोनों मूल ज्ञात करें और फिर प्रश्न में माँगी गई धनात्मक संख्या चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=24x+640\), so \(x^2-24x-640=0\). Factoring gives \((x-40)(x+16)=0\), hence \(x=40\) or \(x=-16\). Therefore, the positive number is 40. Exam tip: Form the quadratic equation first, find both roots, and then select the root matching the condition in the question.
मूल संख्या को \(x\) मानने पर \((x-8)(x+19)=2368\)। विस्तार करने पर \(x^2+11x-2520=0\), अर्थात् \((x-45)(x+56)=0\)। इसलिए \(x=45\) या \(x=-56\), लेकिन संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 45 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले शब्दों को बीजीय व्यंजक में बदलकर द्विघात समीकरण बनाइए और फिर दिए गए प्रतिबंध, जैसे धनात्मकता, का प्रयोग कीजिए। / Let the original number be \(x\). Then \((x-8)(x+19)=2368\). Expanding gives \(x^2+11x-2520=0\), or \((x-45)(x+56)=0\). Thus \(x=45\) or \(x=-56\); since the number is positive, the answer is 45. Exam tip: Translate each phrase into an algebraic expression first, solve the resulting quadratic, and then apply any condition such as positivity.
मूल संख्या को \(x\) मानने पर \((x-9)(x+16)=1650\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+7x-1650=0\), अर्थात् \((x-39)(x+46)=0\)। इसलिए \(x=39\) या \(x=-46\) है; धनात्मक मूल संख्या \(39\) होगी। परीक्षा में ‘9 कम’ के लिए \(x-9\) और ‘16 अधिक’ के लिए \(x+16\) लिखना न भूलें। / Let the original number be \(x\). Then \((x-9)(x+16)=1650\), which gives \(x^2+7x-1650=0\), or \((x-39)(x+46)=0\). Thus, \(x=39\) or \(x=-46\); the positive original number is \(39\). In such questions, translate ‘9 less’ as \(x-9\) and ‘16 more’ as \(x+16\) before expanding.
मूल संख्या को (x) मानें। तब (x+6)(x+13)=1394। विस्तार करने पर (x-2+19x-1394=0 मिलता है, अर्थात (x+47)(x-28)=0। इसलिए (x=28 या x=-47)। दिए गए विकल्पों में सही उत्तर 28 है। ऋणात्मक मूल (-47 भी समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन विकल्पों में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले संख्या को (x) मानकर दोनों शर्तों को बीजीय रूप में लिखें और गुणनफल का समीकरण बनाएँ। / Let the original number be (x). Then (x+6)(x+13)=1394. On expanding, (x-2+19x-1394=0, which factors as (x+47)(x-28)=0. Thus (x=28 or x=-47). Among the given options, the correct answer is 28. The negative root (-47 also satisfies the equation, but it is not listed. Exam tip: In word problems, represent the unknown by (x), translate each condition algebraically, and then form the quadratic equation.
एक परीक्षा में विद्यार्थियों की संख्या \(x\) है और प्रत्येक विद्यार्थी को \((x-11)\) प्रश्न दिए गए हैं। यदि दिए गए प्रश्नों की कुल संख्या \(1092\) है, तो विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
कुल प्रश्नों की संख्या के आधार पर \(x(x-11)=1092\)। अतः \(x^2-11x-1092=0\), जिसे \((x-39)(x+28)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=39\) या \(x=-28\)। विद्यार्थियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 39 है। जाँच: \(39\times(39-11)=39\times28=1092\)। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / The total number of questions gives \(x(x-11)=1092\). Thus, \(x^2-11x-1092=0\), which factors as \((x-39)(x+28)=0\). Therefore, \(x=39\) or \(x=-28\). Since the number of students cannot be negative, the valid answer is 39. Check: \(39\times(39-11)=39\times28=1092\). In such word problems, always reject a negative root when the variable represents a count.
कुल कुर्सियों के आधार पर \(x(x+23)=1674\)। अतः \(x^2+23x-1674=0\), जिसे \((x-31)(x+54)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=31\) या \(x=-54\)। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 31 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी व्यवस्था संबंधी समस्याओं में कुल वस्तुओं को ‘पंक्तियों की संख्या × प्रत्येक पंक्ति में वस्तुओं की संख्या’ के बराबर रखें। / The total-chair condition gives \(x(x+23)=1674\). Thus, \(x^2+23x-1674=0\), which factors as \((x-31)(x+54)=0\). Therefore, \(x=31\) or \(x=-54\). Since the number of rows cannot be negative, the valid answer is 31. Exam tip: In arrangement problems, express the total as ‘number of rows × items in each row’.
कुल किताबों के आधार पर समीकरण \(x(x+21)=1530\) होगा। अतः \(x^2+21x-1530=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-30)(x+51)=0\) है, इसलिए \(x=30\) या \(x=-51\)। अलमारियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 30 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करके केवल संदर्भानुकूल धनात्मक मूल लें। / The total-number condition gives \(x(x+21)=1530\), so \(x^2+21x-1530=0\). Factoring gives \((x-30)(x+51)=0\), hence \(x=30\) or \(x=-51\). Since the number of shelves cannot be negative, the valid answer is 30. Exam tip: In word problems, reject any algebraic root that is not meaningful in the given context.
कुल काम (x(x+14)=1176) है, जिससे (x=28) मिलता है। कुल काम के लिए दिन और प्रतिदिन काम को गुणा करें। / Total work is (x(x+14)=1176), giving (x=28). For total work, multiply days and work per day.
दूरी = गति × समय के अनुसार, (x(x+18)=1008)। अतः \(x^2+18x-1008=0\)। इसका गुणनखंडन ((x-24)(x+42)=0) है, इसलिए (x=24) या (x=-42)। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः सही उत्तर 24 घंटे है। परीक्षा-युक्ति: समय और दूरी जैसे परिमाणों में केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें। / Using distance = speed × time, (x(x+18)=1008), so \(x^2+18x-1008=0\)। Factoring gives ((x-24)(x+42)=0), yielding (x=24) or (x=-42)। Since time cannot be negative, the valid answer is 24 hours. Exam tip: In travel problems, reject any negative root because physical quantities such as time must be positive.
