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एक नाव धारा के अनुकूल (154) किमी जाती है। शांत जल में गति (x) किमी प्रति घंटा और धारा की गति (4) किमी प्रति घंटा है। यदि समय (7) घंटा है, तो (x) क्या है?
धारा के अनुकूल गति (x+4) है और (7(x+4)=154), इसलिए (x=18) है। नाव के प्रश्न में दिशा के अनुसार गति बदलती है। / Downstream speed is (x+4), and (7(x+4)=154), so (x=18). In boat problems, speed changes with direction.
दूरी = गति × समय के आधार पर \(x(x-89)=990\)। इससे \(x^2-89x-990=0\), अर्थात् \((x-99)(x+10)=0\)। गति धनात्मक होने के कारण \(x=99\) किमी/घंटा लिया जाएगा; \(x=-10\) मान्य नहीं है। इसलिए समय \(x-89=99-89=10\) घंटे है। परीक्षा-युक्ति: गति और समय वाले प्रश्नों में पहले \(D=S\times T\) लगाकर द्विघात समीकरण बनाएँ और अव्यावहारिक ऋणात्मक मान को अस्वीकार करें। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-89)=990\). Thus, \(x^2-89x-990=0\), which factors as \((x-99)(x+10)=0\). Since speed must be positive, \(x=99\) km/h; the root \(x=-10\) is not physically meaningful. Therefore, the time is \(x-89=99-89=10\) hours. Exam tip: In speed–time problems, first use \(D=S\times T\), then reject any negative value that is not physically meaningful.
A. \(36+12\sqrt{14}\) किमी प्रति घंटा/\(36+12\sqrt{14}\) km per hour
Explanation
Simple Explanation
दूरी = गति × समय के अनुसार \(x(x-72)=720\)। अतः \(x^2-72x-720=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=36\pm12\sqrt{14}\) प्राप्त होता है। ऋणात्मक मूल \(36-12\sqrt{14}\) गति के लिए मान्य नहीं है, इसलिए गति \(36+12\sqrt{14}\) किमी प्रति घंटा, अर्थात लगभग 80.9 किमी प्रति घंटा है। विकल्प 80 सही नहीं है, क्योंकि इससे दूरी \(80\times8=640\) किमी होगी। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले दूरी = गति × समय का समीकरण बनाकर, फिर केवल धनात्मक और संदर्भानुकूल मूल चुनें। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-72)=720\), so \(x^2-72x-720=0\). Applying the quadratic formula gives \(x=36\pm12\sqrt{14}\). The negative root \(36-12\sqrt{14}\) is not a valid speed, so the speed is \(36+12\sqrt{14}\) km per hour, approximately 80.9 km per hour. Option 80 is incorrect because it would give a distance of \(80\times8=640\) km. Exam tip: Form the distance = speed × time equation first, then retain only the positive root that fits the context.
आधार दूरी (x) हो तो (x-2+962=(x+32)2), जिससे (x=128) है। कर्ण हमेशा सबसे बड़ी लंबाई होती है। / If the base distance is (x), then (x-2+962=(x+32)2), giving (x=128). The hypotenuse is always the greatest length.
समकोण त्रिभुज से (x-2+802=(x+20)2), जिससे (x=150) है। सीढ़ी के प्रश्न में सीढ़ी कर्ण होती है। / From the right triangle, (x-2+802=(x+20)2), giving (x=150). In ladder problems, the ladder is the hypotenuse.
छोटी लम्ब भुजा को \(x\) सेमी मानें। तब दूसरी लम्ब भुजा \(x+17\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+17)^2=145^2\), अर्थात् \(2x^2+34x-20736=0\)। द्विघात सूत्र लगाने पर \(x=\frac{-17\pm\sqrt{41761}}{2}\) प्राप्त होता है। लंबाई धनात्मक होने के कारण मान्य उत्तर \(\frac{\sqrt{41761}-17}{2}\) सेमी, लगभग 93.68 सेमी, है। विकल्प B में चिह्न की गलती है और वह इस समीकरण का मूल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले छोटी भुजा \(x\) मानकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the shorter leg be \(x\) cm; then the longer leg is \(x+17\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+17)^2=145^2\), which simplifies to \(2x^2+34x-20736=0\). Applying the quadratic formula gives \(x=\frac{-17\pm\sqrt{41761}}{2}\). Since a length must be positive, the valid answer is \(\frac{\sqrt{41761}-17}{2}\) cm, approximately 93.68 cm. Option B results from using the wrong sign and is not a root of the equation. Exam tip: define the shorter leg first, use the Pythagorean theorem, and reject any negative length.
पाइथागोरस से (x-2+(x+24)2=1202), जिससे (x=72) है। कर्ण को सबसे बड़ी भुजा मानकर समीकरण बनाएं। / By Pythagoras, (x-2+(x+24)2=1202), giving (x=72). Form the equation by taking the hypotenuse as the largest side.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2 होता है। इसलिए (x-13)2=1600=402। चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, (x-13)=40, अतः x=53। दूसरा बीजीय मूल (x-13)=-40 लेने पर भुजा ऋणात्मक हो जाएगी, इसलिए वह मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: लंबाई या दूरी से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को सामान्यतः अस्वीकार करें। / The area of a square is (side)2. Thus, (x-13)2=1600=402. Since a side length must be positive, x-13=40, giving x=53. The other algebraic possibility, x-13=-40, would make the side negative and is therefore invalid. Exam tip: reject negative roots when the variable represents a length, distance, or measurement. Option 47 is incorrect because it gives a side of 34 cm, whose area is not 1600 square cm.
वर्ग का क्षेत्रफल \(=\) (भुजा)\(^2\) होता है, इसलिए \((x+12)^2=1764=42^2\)। चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, \(x+12=42\), अतः \(x=30\)। विकल्प D में 42 भुजा की लंबाई है, \(x\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: वर्ग के क्षेत्रफल से भुजा निकालते समय धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square is \((\text{side})^2\), so \((x+12)^2=1764=42^2\). Since a side length must be positive, \(x+12=42\), giving \(x=30\). Option D is the side length, not the value of \(x\). Exam tip: take the positive square root when finding a geometrical length.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 48 मीटर है, जबकि आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर और लंबाई \((x+28)\) मीटर है। \(x\) का मान क्या है?
समान क्षेत्रफल के कारण \(x(x+28)=48^2=2304\)। अतः \(x^2+28x-2304=0\), जिसे \((x-36)(x+64)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=36\) या \(x=-64\)। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए मान्य उत्तर \(x=36\) है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में पहले समान क्षेत्रफल का समीकरण बनाकर, फिर ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Since the areas are equal, \(x(x+28)=48^2=2304\). Thus, \(x^2+28x-2304=0\), which factors as \((x-36)(x+64)=0\). The roots are \(x=36\) and \(x=-64\). Since a breadth cannot be negative, the valid value is \(x=36\). Exam tip: In area-based word problems, form the equality first and reject any negative root that is not physically meaningful.
एक भुजा (x) हो तो दूसरी (93-x) होगी और (x(93-x)=2016) बनेगा। हल (36) और (56) हैं, इसलिए छोटी भुजा (36) है। / If one side is (x), the other is (93-x), and (x(93-x)=2016). The solutions are (36) and (56), so the shorter side is (36).
(x(x+15)=2494) से चौड़ाई (43) और लंबाई (58) नहीं बल्कि (43) और (58) का गुणनफल (2494) है। परिमाप (2(43+58)=202) नहीं, इसलिए सही विकल्प (202) होना चाहिए। / From (x(x+15)=2494), breadth is (43) and length is (58). The perimeter is (2(43+58)=202), so the correct option should be (202).
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+7)2=972), जिससे (x=65) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+7)2=972), giving (x=65). Use Pythagoras for a rectangle with a diagonal.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब उसकी लंबाई \(x+16\) सेमी होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+16)=2145\), अर्थात \(x^2+16x-2145=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-39)(x+55)=0\) है। इसलिए \(x=39\) सेमी लिया जाएगा, क्योंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः लंबाई \(39+16=55\) सेमी है। परीक्षा में आयामों से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Its length is then \(x+16\) cm. Using the area, \(x(x+16)=2145\), so \(x^2+16x-2145=0\). Factoring gives \((x-39)(x+55)=0\). Since a breadth cannot be negative, \(x=39\) cm. Therefore, the length is \(39+16=55\) cm. Exam tip: reject any negative root when the variable represents a physical dimension.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+21)=1870), जिससे (x=34) है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / If breadth is (x), then (x(x+21)=1870), giving (x=34). For a rectangle, use the product of length and breadth for area.
मान लें कि संख्याएँ \(x\) और \(80-x\) हैं। तब \(x^2+(80-x)^2=3232\), जिससे \(2x^2-160x+3168=0\) या \(x^2-80x+1584=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-36)(x-44)=0\) है, इसलिए संख्याएँ 36 और 44 हैं तथा छोटी संख्या 36 है। 44 बड़ी संख्या है, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा-युक्ति: योग और वर्गों का योग दिए होने पर \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) का उपयोग करके भी संख्याओं का गुणनफल शीघ्र निकाला जा सकता है। / Let the numbers be \(x\) and \(80-x\). Then \(x^2+(80-x)^2=3232\), which gives \(2x^2-160x+3168=0\), or \(x^2-80x+1584=0\). Factoring, \((x-36)(x-44)=0\), so the numbers are 36 and 44. Therefore, the smaller number is 36; 44 is the larger number, not the required answer. Exam tip: When the sum and the sum of squares are given, use \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) to find the product quickly.
छोटी संख्या (x) और बड़ी (x+17) हो तो (x(x+17)=1260) बनता है। इससे छोटी संख्या (28) और बड़ी संख्या (45) मिलती है। / If the smaller number is (x) and the larger is (x+17), then (x(x+17)=1260). This gives smaller number (28) and larger number (45).
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=2452) से (x=34), इसलिए बड़ी संख्या (36) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=2452), (x=34), so the larger number is (36).
मान लेते हैं कि छोटी संख्या \(x\) है। तब दूसरी क्रमागत विषम संख्या \(x+2\) होगी। इसलिए \(x^2+(x+2)^2=2050\), अर्थात \(2x^2+4x-2046=0\) या \(x^2+2x-1023=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-31)(x+33)=0\) है। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=31\) लिया जाएगा। अतः सही उत्तर 31 है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत विषम संख्याओं का अंतर 2 होता है, 1 नहीं। / Let the smaller integer be \(x\). The next consecutive odd integer is therefore \(x+2\). Thus, \(x^2+(x+2)^2=2050\), which gives \(2x^2+4x-2046=0\) or \(x^2+2x-1023=0\). Factoring, \((x-31)(x+33)=0\), so \(x=31\) or \(x=-33\). Since the integers are positive, \(x=31\). Therefore, the correct answer is 31. Exam tip: consecutive odd integers differ by 2, not by 1.
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=1201), जिससे (x=24) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=1201), giving (x=24). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
एक वर्गाकार मैदान की बाहरी भुजा 52 मीटर है। चारों ओर समान चौड़ाई की पट्टी छोड़ने पर अंदर बनने वाले वर्ग की भुजा 36 मीटर रह जाती है। पट्टी की चौड़ाई \(x\) कितनी है?
पट्टी दोनों विपरीत दिशाओं में एक-एक बार घटती है, इसलिए अंदर की भुजा \(52-2x\) होगी। अतः \(52-2x=36\), जिससे \(2x=16\) और \(x=8\) मीटर मिलता है। क्षेत्रफल के रूप में लिखने पर \((52-2x)^2=36^2\) भी प्राप्त होता है; इसका ज्यामितीय रूप से मान्य मूल \(x=8\) है। परीक्षा-युक्ति: बाहरी और अंदरूनी भुजाओं का अंतर निकालकर 2 से भाग दें। / The strip is removed from both opposite sides, so the inner side is \(52-2x\). Therefore, \(52-2x=36\), giving \(2x=16\) and \(x=8\) m. Using areas gives the equivalent quadratic equation \((52-2x)^2=36^2\); the geometrically valid root is \(x=8\). Exam tip: divide the difference between the outer and inner side lengths by 2. For example, 10 m would reduce the inner side to 32 m, not 36 m.
एक आयताकार बगीचा 42 मीटर लंबा और 28 मीटर चौड़ा है। उसके बाहर चारों ओर समान चौड़ाई का x मीटर का रास्ता बना है। बगीचे और रास्ते का कुल क्षेत्रफल 1848 वर्ग मीटर है। x का मान क्या है?
रास्ते सहित बाहरी आयाम \((42+2x)\) मीटर और \((28+2x)\) मीटर होंगे। इसलिए \((42+2x)(28+2x)=1848\), जिससे \(4x^2+140x-672=0\) या \(x^2+35x-168=0\) प्राप्त होता है। अतः \(x=\frac{-35\pm\sqrt{1897}}{2}\)। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=\frac{-35+\sqrt{1897}}{2}\approx4.28\) मीटर मान्य है। ऋणात्मक मूल को भौतिक लंबाई के रूप में नहीं लिया जा सकता। परीक्षा-युक्ति: रास्ते की चौड़ाई चारों ओर होने पर दोनों आयामों में \(2x\) जोड़ा जाता है। / The outer dimensions, including the path, are \((42+2x)\) m and \((28+2x)\) m. Thus, \((42+2x)(28+2x)=1848\), which gives \(4x^2+140x-672=0\), or \(x^2+35x-168=0\). Hence, \(x=\frac{-35\pm\sqrt{1897}}{2}\). Since a width must be positive, the valid value is \(x=\frac{-35+\sqrt{1897}}{2}\approx4.28\) m. The negative root is not physically meaningful. Exam tip: when a path surrounds a rectangle externally, add \(2x\) to both its length and breadth.
एक आयताकार बगीचे के चारों ओर 3 मीटर चौड़ाई का समान रास्ता बना हुआ है। बगीचा 34 मीटर लंबा और 22 मीटर चौड़ा है। रास्ते सहित बगीचे का कुल क्षेत्रफल कितना होगा?
रास्ता बगीचे के चारों ओर है, इसलिए लंबाई और चौड़ाई दोनों में रास्ते की चौड़ाई दो बार जुड़ती है। बाहरी लंबाई \(34+2(3)=40\) मीटर और बाहरी चौड़ाई \(22+2(3)=28\) मीटर होगी। अतः कुल क्षेत्रफल \(40\times28=1120\) वर्ग मीटर है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B में बाहरी आयामों या गुणा की गलत गणना हुई है। परीक्षा-युक्ति: चारों ओर के रास्ते में प्रत्येक आयाम में \(2\times\) रास्ते की चौड़ाई जोड़ें। / Since the path surrounds the garden, its width is added twice to both the length and the breadth. The outer length is \(34+2(3)=40\) m and the outer breadth is \(22+2(3)=28\) m. Therefore, the total area is \(40\times28=1120\) square metres, so option C is correct. Option B results from an incorrect calculation of the outer dimensions or their product. Exam tip: for a path around all four sides, add twice the path width to each dimension.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+16)=1344), जिससे (x=32) और लंबाई (48) है। तार की लंबाई (2(32+48)=160) सेमी है। / If breadth is (x), then (x(x+16)=1344), giving (x=32) and length (48). The wire length is (2(32+48)=160) cm.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=1296\), इसलिए (x=36) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=144) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=1296\), so (x=36). The wire length is the perimeter (4x=144) cm.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 9 मीटर अधिक है। यदि लंबाई 4 मीटर और चौड़ाई 3 मीटर बढ़ा दी जाए, तो नया क्षेत्रफल 1190 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई कितनी है?
मूल चौड़ाई को \(x\) मीटर मानें। तब मूल लंबाई \(x+9\) मीटर होगी। बढ़ाने के बाद नई लंबाई \(x+13\) और नई चौड़ाई \(x+3\) होगी। इसलिए \((x+13)(x+3)=1190\), अर्थात् \(x^2+16x-1151=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-16\pm\sqrt{4860}}{2}=-8\pm9\sqrt{15}\) मिलता है। लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x=-8+9\sqrt{15}\) मीटर लिया जाएगा; ऋणात्मक मूल मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: आयामों में वृद्धि होने पर पहले नए आयाम लिखकर क्षेत्रफल का समीकरण बनाइए। / Let the original breadth be \(x\) m. Then the original length is \(x+9\) m. After the increases, the new length and breadth are \(x+13\) and \(x+3\) m, respectively. Thus, \((x+13)(x+3)=1190\), which gives \(x^2+16x-1151=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-16\pm\sqrt{4860}}{2}=-8\pm9\sqrt{15}\). Since a breadth must be positive, the valid value is \(x=-8+9\sqrt{15}\) m; the other root is negative. Exam tip: write the changed dimensions carefully before forming the area equation.
चौड़ाई (x) और लंबाई (x+12) हो तो वृद्धि ((x+6)(x+18)-x(x+12)=480) है। इससे (x=31) मिलता है। / If breadth is (x) and length is (x+12), the increase is ((x+6)(x+18)-x(x+12)=480). This gives (x=31).
एक वर्ग की भुजा की लंबाई \(x\) सेमी है। यदि भुजा की लंबाई 5 सेमी घटा दी जाए, तो वर्ग का क्षेत्रफल 784 वर्ग सेमी हो जाता है। वर्ग की मूल भुजा की लंबाई क्या थी?
घटाई गई भुजा \((x-5)\) सेमी है, इसलिए \((x-5)^2=784=28^2\)। अतः \(x-5=28\) लिया जाएगा, क्योंकि भुजा की लंबाई धनात्मक होती है। इसलिए \(x=33\) सेमी। ऋणात्मक मूल \(x-5=-28\) लेने पर \(x=-23\) सेमी मिलता है, जो भुजा की लंबाई नहीं हो सकती। परीक्षा-टिप: क्षेत्रफल से भुजा निकालने के बाद घटाई गई लंबाई को मूल लंबाई में वापस जोड़ें। / The reduced side is \((x-5)\) cm, so \((x-5)^2=784=28^2\). Since a side length must be positive, take \(x-5=28\), giving \(x=33\) cm. The other algebraic possibility, \(x-5=-28\), gives \(x=-23\) cm, which is not physically meaningful. Exam tip: After finding the reduced side from the area, add back the length that was removed.
क्षेत्रफल में वृद्धि ((x+8)2-x-2=1216) होगी। विस्तार करने पर (16x+64=1216), इसलिए (16x=1152) और (x=72) मीटर। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-सुझाव: वर्ग की भुजा में वृद्धि वाले प्रश्नों में ((x+a)2-x-2=2ax+a-2) का उपयोग करें; केवल (x+a)2=1216 लिखना गलत होगा। / The increase in area is ((x+8)2-x-2=1216). Expanding gives (16x+64=1216), so (16x=1152) and (x=72) metres. Therefore, option B is correct. Exam tip: For a change in the side of a square, use ((x+a)2-x-2=2ax+a-2); do not incorrectly set ((x+a)2=1216).
((x+6)(x-6)=1333) से \(x^2-36=1333\) और (x=37) है। ऐसे प्रश्न में अंतर के वर्ग का सूत्र मदद करता है। / ((x+6)(x-6)=1333) gives \(x^2-36=1333\) and (x=37). The difference of squares idea helps in such questions.
