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दिया गया समीकरण \((x+7)(x-7)=1551\) है। अंतर के वर्ग के सूत्र से \(x^2-49=1551\), अतः \(x^2=1600\) और \(x=\pm 40\)। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वर्तमान आयु 40 वर्ष है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\) का प्रयोग करें। / The equation is \((x+7)(x-7)=1551\). Using the difference of squares, \(x^2-49=1551\), so \(x^2=1600\) and \(x=\pm 40\). Since age cannot be negative, the present age is 40 years. Exam tip: apply \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\) directly in such age problems.
बेटी की आयु (x) हो तो (x(x+30)=1476), जिससे (x=24) है। आयु के प्रश्न में ऋणात्मक हल छोड़ दें। / If the daughter's age is (x), then (x(x+30)=1476), giving (x=24). In age problems, ignore the negative root.
मान लें कि पुत्र की आयु \(x\) वर्ष है। तब पिता की आयु \(x+32\) वर्ष होगी और \(x(x+32)=1280\)। इससे \(x^2+32x-1280=0\), अर्थात् \((x-32)(x+64)=0\)। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=32\) वर्ष और पिता की आयु \(32+32=64\) वर्ष है। परीक्षा-युक्ति: आयु वाले प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the son's age be \(x\) years. Then the father's age is \(x+32\) years, so \(x(x+32)=1280\). This gives \(x^2+32x-1280=0\), or \((x-32)(x+64)=0\). Since age cannot be negative, \(x=32\), and the father's age is \(32+32=64\) years. Exam tip: In age problems, reject any negative root before selecting the answer.
((x-11)2=1156) और (x-11=34), इसलिए (x=45) है। वर्गमूल के बाद शर्त के अनुसार चिन्ह चुनें। / ((x-11)2=1156) and (x-11=34), so (x=45). After taking square root, choose the sign according to the condition.
((x+9)2=1681) और (x+9=41), इसलिए (x=32) है। धनात्मक स्थिति स्पष्ट हो तो धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+9)2=1681) and (x+9=41), so (x=32). If the positive case is clear, take the positive square root.
मान लें संख्या \(x\) है। प्रश्न के अनुसार \(x^2-256=1040\), इसलिए \(x^2=1296=36^2\)। अतः \(x=36\) या \(x=-36\), लेकिन धनात्मक संख्या \(36\) है। उदाहरण के लिए, 34 लेने पर \(34^2-256=900\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “वर्ग में से घटाने” को हमेशा \(x^2-\text{दिया गया मान}\) के रूप में लिखें। / Let the number be \(x\). According to the statement, \(x^2-256=1040\), so \(x^2=1296=36^2\). Thus, \(x=36\) or \(x=-36\), but the positive number is \(36\). For instance, choosing 34 gives \(34^2-256=900\), so it is not correct. Exam tip: Interpret “subtracted from the square” as \(x^2-\text{given value}\).
\(x^2+175=1076\) से \(x^2=901\) नहीं बनना चाहिए, इसलिए सही गणना देखें: \(30^2+175=1075\) होता है। दिए गए आंकड़े असंगत हों तो विकल्पों को अंधे रूप से न चुनें। / \(x^2+175=1076\) gives \(x^2=901\), not a perfect square. If the data are inconsistent, do not choose options blindly.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2+x=1260\), अर्थात् \(x^2+x-1260=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-35)(x+36)=0\) है, इसलिए \(x=35\) या \(x=-36\)। धनात्मक संख्या \(35\) है। परीक्षा-युक्ति: लगातार दो पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(1260=35\times36\) पहचानना सबसे तेज़ तरीका है; विकल्प 36 गलत है क्योंकि \(36^2+36=1332\)। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+x=1260\), so \(x^2+x-1260=0\). Factoring gives \((x-35)(x+36)=0\), hence \(x=35\) or \(x=-36\). The positive number is \(35\). Exam tip: quickly recognise that \(1260=35\times36\), the product of two consecutive integers; 36 is incorrect because \(36^2+36=1332\).
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-20x=621\), अर्थात \(x^2-20x-621=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{20\pm\sqrt{400+2484}}{2}=10\pm\sqrt{721}\)। चूँकि संख्या धनात्मक है और \(10-\sqrt{721}<0\), इसलिए मान \(10+\sqrt{721}\) होगा। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले कथन को द्विघात समीकरण में बदलें और फिर दी गई शर्त, जैसे धनात्मकता, के अनुसार सही मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-20x=621\), so \(x^2-20x-621=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{20\pm\sqrt{400+2484}}{2}=10\pm\sqrt{721}\). Since the number is positive and \(10-\sqrt{721}<0\), the required value is \(10+\sqrt{721}\). Exam tip: translate the word statement into a quadratic equation first, then use the given condition, such as positivity, to select the valid root.
मान लेते हैं कि संख्या \(x\) है। तब \(x^2=18x+432\), अर्थात \(x^2-18x-432=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{18\pm\sqrt{18^2+4\cdot432}}{2}=9\pm3\sqrt{57}\)। चूँकि \(9-3\sqrt{57}\) ऋणात्मक है, धनात्मक संख्या \(9+3\sqrt{57}\) होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में समीकरण बनाकर दोनों मूल निकालें और प्रश्नानुसार सही मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=18x+432\), so \(x^2-18x-432=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{18\pm\sqrt{18^2+4\cdot432}}{2}=9\pm3\sqrt{57}\). Since \(9-3\sqrt{57}\) is negative, the positive number is \(9+3\sqrt{57}\). Exam tip: form the quadratic equation first, calculate both roots, and then select the root that satisfies the condition in the question.
मान लें मूल धनात्मक संख्या \(x\) है। तब \((x-5)(x+14)=1242\)। विकल्पों में \(x=32\) रखने पर \((32-5)(32+14)=27\times46=1242\), इसलिए मूल संख्या \(32\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में दिए गए विकल्पों को समीकरण में रखकर जाँच करना, द्विघात समीकरण हल करने का तेज तरीका हो सकता है। / Let the positive number be \(x\). Then \((x-5)(x+14)=1242\). Substituting \(x=32\), we get \((32-5)(32+14)=27\times46=1242\), so the original number is 32. Exam tip: In such word problems, testing the options in the equation can be a quick alternative to solving the quadratic equation completely.
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x-7)(x+12)=756\), अर्थात् \(x^2+5x-840=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-5\pm\sqrt{3385}}{2}\) प्राप्त होता है। इनमें धनात्मक मान \(\frac{-5+\sqrt{3385}}{2}\) है, जबकि दूसरा मूल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ‘7 कम’ के लिए \(x-7\) और ‘12 अधिक’ के लिए \(x+12\) लिखकर पहले समीकरण बनाएँ। / Let the original number be \(x\). Then \((x-7)(x+12)=756\), which gives \(x^2+5x-840=0\). Applying the quadratic formula yields \(x=\frac{-5\pm\sqrt{3385}}{2}\). The positive value is \(\frac{-5+\sqrt{3385}}{2}\); the other root is negative. Exam tip: translate ‘7 less’ as \(x-7\) and ‘12 more’ as \(x+12\) before forming the equation.
मूल संख्या को \(x\) मानने पर समीकरण \((x+4)(x+10)=952\) प्राप्त होता है। विस्तार करने पर \(x^2+14x-912=0\), अर्थात् \((x-24)(x+38)=0\)। इसलिए \(x=24\) या \(x=-38\) मिलता है, लेकिन संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 24 है। जाँच: \((24+4)(24+10)=28\times34=952\)। परीक्षा में उत्तर चुनने के बाद उसे मूल गुणनफल में रखकर अवश्य जाँचें। / Let the original number be \(x\). The required equation is \((x+4)(x+10)=952\). On expanding, \(x^2+14x-912=0\), which factors as \((x-24)(x+38)=0\). Thus, \(x=24\) or \(x=-38\); since the number is specified as positive, the correct answer is 24. Verification: \((24+4)(24+10)=28\times34=952\). In an exam, substitute the chosen value back into the original product to verify it.
एक परीक्षा में \(x\) विद्यार्थी हैं और प्रत्येक विद्यार्थी को \(x-7\) प्रश्न दिए गए हैं। यदि दिए गए प्रश्नों की कुल संख्या \(800\) है, तो विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
कुल प्रश्नों की संख्या के आधार पर \(x(x-7)=800\)। अतः \(x^2-7x-800=0\), जिसे \((x-32)(x+25)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=32\) या \(x=-25\)। विद्यार्थियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर \(32\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले कुल संख्या को ‘वस्तुओं की संख्या × प्रत्येक को मिली वस्तुएँ’ के रूप में लिखें और फिर अव्यावहारिक ऋणात्मक मूल को हटाएँ। / The total number of questions gives \(x(x-7)=800\). Thus, \(x^2-7x-800=0\), which factors as \((x-32)(x+25)=0\). Hence, \(x=32\) or \(x=-25\). Since the number of students cannot be negative, the valid answer is \(32\). Exam tip: In such word problems, first express the total as ‘number of groups × items per group’, then reject any root that is not meaningful in the given context.
कुल पौधों के आधार पर समीकरण \(x(x-9)=850\) बनेगा। अतः \(x^2-9x-850=0\), जिसे गुणनखंडित करने पर \((x-34)(x+25)=0\) मिलता है। इसलिए \(x=34\) या \(x=-25\)। कतारों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 34 है। जाँच: \(34\times(34-9)=34\times25=850\)। परीक्षा-युक्ति: शब्द-समस्या में प्राप्त मूल्यों को मूल परिस्थिति में रखकर अवश्य जाँचें और असंगत ऋणात्मक मान को त्याग दें। / The total number of plants gives the equation \(x(x-9)=850\). Thus, \(x^2-9x-850=0\), which factors as \((x-34)(x+25)=0\). Therefore, \(x=34\) or \(x=-25\). Since the number of rows cannot be negative, the valid answer is 34. Check: \(34\times(34-9)=34\times25=850\). Exam tip: Substitute the answer back into the original situation and reject any negative value that is not meaningful in context.
कुल कुर्सियों के आधार पर x(x+17)=1568 होगा। अतः x²+17x−1568=0, जिसे (x−32)(x+49)=0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए x=32 या x=−49। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x=32 सही है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करके केवल धनात्मक पूर्णांक मूल चुनें। / The total-chair condition gives x(x+17)=1568. Thus, x²+17x−1568=0, which factors as (x−32)(x+49)=0. Hence x=32 or x=−49. Since the number of rows cannot be negative, x=32 is the valid answer. Exam tip: In arrangement problems, reject negative roots and retain the positive integer root.
एक पुस्तकालय में \(x\) अलमारियाँ हैं और प्रत्येक अलमारी में \((x+13)\) पुस्तकें हैं। यदि पुस्तकालय में कुल 1014 पुस्तकें हैं, तो अलमारियों की संख्या कितनी है?
कुल पुस्तकों के आधार पर समीकरण \(x(x+13)=1014\) होगा। अतः \(x^2+13x-1014=0\), जिसे \((x-26)(x+39)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=26\) या \(x=-39\)। अलमारियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=26\) सही है। विकल्प 39 प्रति अलमारी पुस्तकों की संख्या है, अलमारियों की संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में प्राप्त मूलों में से केवल वही मूल चुनें जो वस्तु की वास्तविक संख्या के लिए धनात्मक हो। / The total number of books gives the equation \(x(x+13)=1014\). Thus, \(x^2+13x-1014=0\), which factors as \((x-26)(x+39)=0\). Hence, \(x=26\) or \(x=-39\). Since the number of shelves cannot be negative, \(x=26\) is correct. The value 39 represents the number of books per shelf when \(x=26\), not the number of shelves. Exam tip: In word problems, reject any algebraic root that is not meaningful in the given context.
कुल प्रश्नों की संख्या से समीकरण मिलता है: \(x(x+11)=900\), अर्थात \(x^2+11x-900=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-25)(x+36)=0\) है, इसलिए \(x=25\) या \(x=-36\)। दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=25\) सही उत्तर है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को संदर्भ के कारण अस्वीकार करना न भूलें। / The total number of questions gives the equation \(x(x+11)=900\), or \(x^2+11x-900=0\). Factoring gives \((x-25)(x+36)=0\), so \(x=25\) or \(x=-36\). Since the number of days cannot be negative, \(x=25\) is correct. In such word problems, always reject roots that are not meaningful in the given context.
कुल काम (x(x+9)=736) है, जिससे (x=23) मिलता है। कुल काम के लिए दिन और प्रतिदिन काम को गुणा करें। / Total work is (x(x+9)=736), giving (x=23). For total work, multiply days and work per day.
दूरी = गति × समय, इसलिए \(x(x+12)=640\)। इसे व्यवस्थित करने पर \(x^2+12x-640=0\) मिलता है। गुणनखंड करने पर \((x+32)(x-20)=0\), अतः \(x=20\) या \(x=-32\)। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \(x=20\) घंटे सही है। परीक्षा-युक्ति: समय या दूरी जैसे वास्तविक परिमाणों में केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें। / Using distance = speed × time, we get \(x(x+12)=640\). Rearranging gives \(x^2+12x-640=0\), which factors as \((x+32)(x-20)=0\). Thus, \(x=20\) or \(x=-32\); since time cannot be negative, the valid value is 20 hours. Exam tip: For quantities such as time and distance, reject negative roots.
एक नाव धारा के अनुकूल (90) किमी जाती है। शांत जल में गति (x) किमी प्रति घंटा और धारा की गति (3) किमी प्रति घंटा है। यदि समय (5) घंटा है, तो (x) क्या है?
धारा के अनुकूल गति (x+3) है और (5(x+3)=90), इसलिए (x=15) है। नाव के प्रश्न में दिशा के अनुसार गति बदलती है। / Downstream speed is (x+3), and (5(x+3)=90), so (x=15). In boat problems, speed changes with direction.
(x(x-63)=560) से (x=70) है। समय (x-63=7) घंटा नहीं बल्कि (70-63=7) घंटा है, इसलिए सही विकल्प (7) घंटा है। / From (x(x-63)=560), (x=70). The time is (x-63=7) hours, so the correct option is (7) hours.
दूरी = गति × समय के अनुसार \(x(x-65)=750\)। इसे \(x^2-65x-750=0\) लिखने पर \((x-75)(x+10)=0\) मिलता है। अतः \(x=75\) या \(x=-10\)। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 75 किमी प्रति घंटा है। परीक्षा में दूरी = गति × समय का सूत्र लगाकर पहले द्विघात समीकरण बनाइए और फिर अव्यावहारिक ऋणात्मक हल को हटाइए। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-65)=750\). Thus, \(x^2-65x-750=0\), which factors as \((x-75)(x+10)=0\). Therefore, \(x=75\) or \(x=-10\). Since speed cannot be negative, the valid answer is 75 km per hour. In the exam, first form the quadratic equation from distance = speed × time, then reject any negative or otherwise physically invalid root.
आधार दूरी (x) हो तो (x-2+722=(x+18)2), जिससे (x=135) है। कर्ण हमेशा सबसे बड़ी लंबाई होती है। / If the base distance is (x), then (x-2+722=(x+18)2), giving (x=135). The hypotenuse is always the greatest length.
समकोण त्रिभुज से (x-2+602=(x+15)2), जिससे (x=105) है। सीढ़ी के प्रश्न में सीढ़ी कर्ण होती है। / From the right triangle, (x-2+602=(x+15)2), giving (x=105). In ladder problems, the ladder is the hypotenuse.
A. \(\frac{\sqrt{23401}-19}{2}\) सेमी/\(\frac{\sqrt{23401}-19}{2}\) cm
Explanation
Simple Explanation
छोटी लम्ब भुजा को \(x\) सेमी मानें। तब दूसरी लम्ब भुजा \(x+19\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+19)^2=109^2\), अर्थात् \(x^2+19x-5760=0\)। इसका धनात्मक हल \(x=\frac{\sqrt{23401}-19}{2}\approx66.99\) सेमी है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B का मान 60 लेने पर भुजाएँ 60 सेमी और 79 सेमी होंगी, जिनका कर्ण 109 सेमी नहीं बनता। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में लंबाई के लिए केवल धनात्मक मूल स्वीकार करें और उसे पाइथागोरस प्रमेय से जाँचें। / Let the shorter leg be \(x\) cm. Then the longer leg is \(x+19\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+19)^2=109^2\), which simplifies to \(x^2+19x-5760=0\). Its positive solution is \(x=\frac{\sqrt{23401}-19}{2}\approx66.99\) cm, so option A is correct. Option B is incorrect because legs of 60 cm and 79 cm do not produce a hypotenuse of 109 cm. Exam tip: for a length problem, reject the negative root and verify the result using the Pythagorean relation.
पाइथागोरस से (x-2+(x+18)2=902), जिससे (x=54) है। कर्ण को सबसे बड़ी भुजा मानकर समीकरण बनाएं। / By Pythagoras, (x-2+(x+18)2=902), giving (x=54). Form the equation by taking the hypotenuse as the largest side.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)², इसलिए \((x-8)^2=900\)। अतः \(x-8=\pm 30\), लेकिन भुजा की लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए \(x-8=30\) और \(x=38\)। विकल्प A में 30 को सीधे \(x\) मान लिया गया है; 30 वास्तव में भुजा की लंबाई है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / The area of a square is (side)², so \((x-8)^2=900\). Thus, \(x-8=\pm 30\), but a side length must be positive; hence \(x-8=30\) and \(x=38\). Option A incorrectly treats 30, the side length, as the value of \(x\). Exam tip: reject a negative root when the expression represents a length.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)², इसलिए \((x+6)^2=1225=35^2\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x+6=35\), अतः \(x=35-6=29\)। ऋणात्मक मूल \(x+6=-35\) भुजा की लंबाई के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल से भुजा निकालते समय धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square is (side)², so \((x+6)^2=1225=35^2\). Since a side length is positive, \(x+6=35\), giving \(x=35-6=29\). The negative root, \(x+6=-35\), is not valid for a length. Exam tip: Take the positive square root when finding a geometrical length from its area.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 42 मीटर है तथा आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर और लंबाई \((x+20)\) मीटर है। आयत की चौड़ाई \(x\) का सही मान क्या है?
समान क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+20)=42^2=1764\) होगा। अतः \(x^2+20x-1764=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4(1764)}}{2}=-10\pm2\sqrt{466}\)। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=-10+2\sqrt{466}\approx33.17\) मीटर स्वीकार्य है; ऋणात्मक मूल अमान्य है। परीक्षा में क्षेत्रफल का समीकरण बनाकर मूलों में से धनात्मक मूल चुनना याद रखें। / Since the areas are equal, \(x(x+20)=42^2=1764\). Therefore, \(x^2+20x-1764=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4(1764)}}{2}=-10\pm2\sqrt{466}\). Because a breadth must be positive, the valid value is \(x=-10+2\sqrt{466}\approx33.17\) m; the negative root is not physically meaningful. In such problems, first form the area equation and then reject any root that makes a length negative.
