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दिया है \(a_n=3\cdot4^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3\cdot4^{4-1}=3\cdot4^3=3\cdot64=192\)। इसलिए सही उत्तर 192 है। 96 प्राप्त करना सामान्यतः \(4^3\) को 3 से गुणा करना भूलने पर होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घात \(n-1\) में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Given \(a_n=3\cdot4^{n-1}\), substitute \(n=4\): \(a_4=3\cdot4^{4-1}=3\cdot4^3=3\cdot64=192\). Hence, 192 is correct. The value 96 may result from an incorrect multiplication after evaluating the power. Exam tip: first substitute the term number into \(n-1\), then simplify step by step.
क्रमागत पदों के अंतर \(7,9,11\) हैं, जो हर बार \(2\) से बढ़ रहे हैं; इसलिए अनुक्रम द्विघात रूप का है। \(a_n=n^2+4n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,12,21,32\) प्राप्त होते हैं। \(n^2+4\) केवल पहले पद के लिए सही है, पर दूसरे पद के लिए \(8\) देता है। परीक्षा टिप: पहले अंतरों में समान वृद्धि दिखे तो द्विघात पद की जाँच करें। / The consecutive differences are \(7,9,11\), increasing by \(2\) each time, so the sequence follows a quadratic pattern. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+4n\) gives \(5,12,21,32\), respectively. \(n^2+4\) matches only the first term and gives \(8\) for the second term. Exam tip: when first differences increase uniformly, test a quadratic nth-term rule.
दिया है कि \(a_n=12-5n\)। चौथे पद के लिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=12-5(4)=12-20=-8\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(-8\) है। \(-6\) जैसा विकल्प गलत होगा, क्योंकि \(12-20\) का मान \(-8\) होता है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=12-5n\), substitute \(n=4\) to find the fourth term: \(a_4=12-5(4)=12-20=-8\). Therefore, \(-8\) is correct. An option such as \(-6\) is incorrect because \(12-20=-8\), not \(-6\). Exam tip: after substituting the value of \(n\), do the multiplication before subtraction.
दिया है कि \(a_n=3n+14\) और \(a_n=56\)। अतः \(3n+14=56\)। दोनों पक्षों से 14 घटाने पर \(3n=42\), इसलिए \(n=14\)। अतः 56 इस अनुक्रम का 14वाँ पद है। विकल्प 15 लेने पर पद का मान \(3\times15+14=59\) होगा, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए \(a_n\) के दिए गए मान को सूत्र में रखकर \(n\) का समीकरण हल करें। / Given \(a_n=3n+14\) and \(a_n=56\), we get \(3n+14=56\). Subtracting 14 from both sides gives \(3n=42\), so \(n=14\). Hence, 56 is the 14th term of the sequence. If \(n=15\), the term would be \(3\times15+14=59\), not 56. Exam tip: To find the term number, substitute the given value of \(a_n\) into the formula and solve the resulting equation for \(n\).
\(a_6\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n=6\) रखें: \(a_6=\frac{6(6+3)}{2}=\frac{6\times9}{2}=27\)। अतः सही उत्तर 27 है। \(30\) तब मिलता है जब \(6+3\) के स्थान पर गलती से 10 लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) के प्रश्न में पहले \(n\) का मान सूत्र में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / To find \(a_6\), substitute \(n=6\) in the formula: \(a_6=\frac{6(6+3)}{2}=\frac{6\times9}{2}=27\). Therefore, the correct answer is 27. The value 30 can result from incorrectly taking \(6+3\) as 10. Exam tip: In nth-term questions, substitute the given value of \(n\) carefully before simplifying.
पद (5,15,45,135,405,1215) हैं, इसलिए (1215) छठा पद है। छोटे प्रश्नों में पद क्रम से लिखना तेज है। / The terms are (5,15,45,135,405,1215), so (1215) is the sixth term. For small questions, listing terms is quick.
क्रमागत पदों के अंतर \(4,6,8,\ldots\) हैं, जो हर बार 2 से बढ़ते हैं। इसलिए अनुक्रम का नियम द्विघात रूप का है। \(a_n=n^2+n+5\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(7,11,17,25\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(4n+3\) से अंतर सदैव 4 मिलता है, इसलिए वह इस अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: बढ़ते हुए प्रथम अंतर द्विघात अनुक्रम का संकेत देते हैं। / The successive differences are \(4,6,8,\ldots\), increasing by 2 each time. Hence the sequence follows a quadratic rule. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+n+5\) gives \(7,11,17,25\), respectively. The option \(4n+3\) has a constant difference of 4, so it cannot represent this sequence. Exam tip: increasing first differences usually indicate a quadratic sequence.
सार्व अनुपात (3) है, इसलिए \(a_4=6\cdot3^3=162\)। गुणोत्तर पद में अनुपात की घात (n-1) होती है। / The common ratio is (3), so \(a_4=6\cdot3^3=162\). In a geometric term, the exponent of the ratio is (n-1).
पहला पद (25) और अंतर (-5) है, इसलिए (a_n=25+(n-1)(-5)=30-5n)। घटती श्रेढ़ी में चिह्न पर ध्यान दें। / The first term is (25) and the difference is (-5), so (a_n=25+(n-1)(-5)=30-5n). Pay attention to the sign in a decreasing sequence.
दिया है: \(a_n=12n-7\)। दसवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=10\) रखें: \(a_{10}=12\times10-7=120-7=113\)। इसलिए सही उत्तर 113 है। 117 तब मिलता है जब घटाने के बजाय गलती से 7 जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(n\) के स्थान पर मांगी गई पद-संख्या ही रखें। / Given \(a_n=12n-7\), substitute \(n=10\) to find the tenth term: \(a_{10}=12\times10-7=120-7=113\). Hence, 113 is correct. The value 117 would result from incorrectly adding 7 instead of subtracting it. Exam tip: in \(a_n\), replace \(n\) with the number of the required term.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है और \(a_5=100\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{25}{4}\)। भिन्न अनुपात में घात सावधानी से लगाएं। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), and \(a_5=100\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{25}{4}\). Use powers carefully with a fractional ratio.
दिया है: \(a_n=5n^2-2\)। तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=5(3)^2-2=5\times9-2=45-2=43\)। इसलिए सही उत्तर 43 है। 45 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें अंत में 2 घटाना छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=5n^2-2\), substitute \(n=3\) for the third term: \(a_3=5(3)^2-2=5\times9-2=45-2=43\). Therefore, 43 is correct. The close distractor 45 results from forgetting to subtract 2 at the end. Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate the exponent first, then multiply and subtract.
यह (3) से शुरू होने वाली विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(a_n=2n+1\)। (n=1) पर पहला पद (3) मिलना चाहिए। / These are odd numbers starting from (3), so \(a_n=2n+1\). For (n=1), the first term should be (3).
दिया है कि \(a_n=5^n\)। तीसरा पद ज्ञात करने के लिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=5^3=125\) प्राप्त होता है। 25, \(5^2\) का मान है, इसलिए वह दूसरा पद होगा, तीसरा नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में नीचे लिखा \(n\) पद का क्रम बताता है; उसे घात में रखकर मान निकालें। / Given \(a_n=5^n\). To find the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=5^3=125\). The value 25 is \(5^2\), so it represents the second term, not the third. Exam tip: the subscript \(n\) indicates the term number; substitute it into the formula.
दिया है, \(a_n=9n-2\)। अतः \(a_5=9\times5-2=43\) और \(a_3=9\times3-2=25\)। इसलिए \(a_5+a_3=43+25=68\) होगा। विकल्प 66 तब मिल सकता है जब किसी पद में घटाने की क्रिया गलत की जाए। परीक्षा टिप: योग निकालने से पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखिए। / Given \(a_n=9n-2\), \(a_5=9\times5-2=43\) and \(a_3=9\times3-2=25\). Therefore, \(a_5+a_3=43+25=68\). Option 66 can result from an error while subtracting in one of the terms. Exam tip: Substitute the value of \(n\) separately for each required term before adding.
क्रमागत पदों के अंतर \(4,6,8\) हैं, जिनमें प्रत्येक बार \(2\) की वृद्धि हो रही है; इसलिए पदों का नियम द्विघात रूप का होगा। \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(n^2+n+4\) से क्रमशः \(6,10,16,24\) प्राप्त होते हैं। \(n^2+5\) से दूसरा पद \(9\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर हो तो अक्सर \(n^2\) वाला नियम जाँचें। / The successive differences are \(4,6,8\), increasing by \(2\) each time, so the rule should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(n^2+n+4\) gives \(6,10,16,24\), respectively. In contrast, \(n^2+5\) gives \(9\) as the second term, so it does not fit. Exam tip: when second differences are constant, test a rule containing \(n^2\).
दिया है कि \(a_n=4^n\)। इसलिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\) प्राप्त होता है। \(16\) विकल्प \(4^2\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद के प्रश्न में पहले \(n\) के स्थान पर दिया गया पद क्रमांक रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=4^n\), substitute \(n=3\): \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\). Option 16 is the value of \(4^2\), not \(4^3\). Exam tip: For an nth-term question, first substitute the required term number for \(n\), then evaluate the power.
दिए गए पद क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। जब \(n=1\) हो, तब पहला पद \((1+1)^2=4\) मिलता है; अतः \(n\)वाँ पद \((n+1)^2\) है। विकल्प \(n^2+3\) पहले पद के लिए 4 देता है, लेकिन \(n=2\) पर 7 देता है, जबकि दिया गया दूसरा पद 9 है। परीक्षा टिप: सूत्र को कम-से-कम पहले दो पदों के लिए जाँचें। / The terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), respectively. For \(n=1\), the first term is \((1+1)^2=4\); hence the \(n\)th term is \((n+1)^2\). Although \(n^2+3\) gives 4 for the first term, it gives 7 when \(n=2\), not the required second term 9. Exam tip: verify a proposed formula using at least the first two terms.
दिया है \(a_n=40-3n\)। 12वाँ पद ज्ञात करने के लिए n=12 रखने पर (a_{12}=40-3(12)=40-36=4) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 4 है। 6 तब मिलता यदि 3×12 को गलती से 34 माना जाए। परीक्षा में पहले गुणा करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=40-3n\), substitute n=12 to find the 12th term: (a_{12}=40-3(12)=40-36=4). Hence, the correct answer is 4. The value 6 can result from an incorrect multiplication or subtraction. In exams, multiply first and then subtract.
यहाँ n के स्थान पर 8 रखें: a_8=82+2(8)=64+16=80। इसलिए सही उत्तर 80 है। 84 प्राप्त होना जोड़ में गलती करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान सूत्र के प्रत्येक स्थान पर रखें, फिर घात और गुणा करें। / Substitute 8 for n: a_8=82+2(8)=64+16=80. Therefore, 80 is the correct answer. The value 84 may result from an addition error. Exam tip: When finding a term, substitute the value of n everywhere in the formula before evaluating powers and multiplication.
पहला पद (4) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=4\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर नियम में घात (n-1) होती है। / The first term is (4) and the ratio is (3), so \(a_n=4\cdot3^{n-1}\). In the geometric rule, the exponent is (n-1).
(a_n=12+(n-1)5=5n+7), इसलिए (5n+7=57) से (n=10)। दिए पद की स्थिति के लिए नियम को बराबर रखें। / (a_n=12+(n-1)5=5n+7), so (5n+7=57) gives (n=10). Set the rule equal to the given term to find its position.
अनुक्रम के पदों को क्रमशः देखें: \(3=1^2+2\), \(6=2^2+2\), \(11=3^2+2\) और \(18=4^2+2\)। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2+2\) होगा। \(2n+1\) में पदों का अंतर स्थिर \(2\) होता, जबकि यहाँ अंतर \(3,5,7,\ldots\) हैं। परीक्षा टिप: वर्गों से बने अनुक्रम में लगातार पदों के अंतर विषम संख्याएँ होते हैं। / Observe the terms: \(3=1^2+2\), \(6=2^2+2\), \(11=3^2+2\), and \(18=4^2+2\). Hence, the \(n\)th term is \(a_n=n^2+2\). The expression \(2n+1\) would give a constant difference of \(2\), but this sequence has differences \(3,5,7,\ldots\). Exam tip: sequences based on squares have consecutive differences that are odd numbers.
पद (2(1)2,2(2)2,2(3)2,\ldots) हैं, इसलिए \(a_n=2n^2\)। वर्ग और गुणक दोनों पहचानें। / The terms are (2(1)2,2(2)2,2(3)2,\ldots), so \(a_n=2n^2\). Identify both the square and the multiplier.
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=7\) रखें: \(a_7=\frac{3(7)+1}{2}=\frac{22}{2}=11\)। इसलिए सही उत्तर 11 है। विकल्प 10 तब मिलता यदि अंश में 1 जोड़ने की क्रिया छोड़ दी जाती। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद कोष्ठक और संक्रियाओं के क्रम का ध्यान रखें। / To find the seventh term, substitute \(n=7\): \(a_7=\frac{3(7)+1}{2}=\frac{22}{2}=11\). Therefore, the correct answer is 11. Option 10 could result from omitting the addition of 1 in the numerator. Exam tip: after substituting the value of \(n\), use brackets and follow the order of operations carefully.
पहला पद (5) और अंतर (10) है, इसलिए (a_n=5+(n-1)10=10n-5)। पहले पद पर (n=1) रखकर जांचें। / The first term is (5) and the difference is (10), so (a_n=5+(n-1)10=10n-5). Check by putting (n=1).
दिया है कि \(a_n=n^2-1\)। नौवाँ पद ज्ञात करने के लिए n के स्थान पर 9 रखें: \(a_9=9^2-1=81-1=80\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 81 केवल 9 का वर्ग है; उसमें से 1 घटाना आवश्यक है। परीक्षा में n का मान रखने के बाद घात और घटाव का क्रम ध्यान से करें। / Given \(a_n=n^2-1\), substitute n=9 to find the ninth term: \(a_9=9^2-1=81-1=80\). Therefore, 80 is correct. The value 81 is only the square of 9; subtracting 1 is still required. In exams, substitute the term number first and then follow the order of operations carefully.
दिए गए पदों के अंतर 5, 7, 9 हैं, जो क्रमागत विषम संख्याएँ हैं; इसलिए पदों में द्विघात पैटर्न है। \(n^2+2n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः 3, 8, 15, 24 प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=2\) रखने पर 6 मिलता है, 8 नहीं। परीक्षा टिप: कुछ शुरुआती पदों में \(n=1,2,3\) रखकर सूत्र अवश्य जाँचें। / The successive differences are 5, 7, and 9, which are consecutive odd numbers, so the pattern is quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(n^2+2n\) gives 3, 8, 15, and 24 respectively. Therefore, option A is correct. Option B gives 6 when \(n=2\), not 8. Exam tip: verify an nth-term formula by checking it against the first few terms.
पद (64,32,16,8,4,2) हैं, इसलिए (6)वाँ पद (2) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में आधा करते जाएं। / The terms are (64,32,16,8,4,2), so the (6)th term is (2). In a decreasing geometric progression, keep halving.
दिया है: \(a_n=2n+9\) और \(a_n=35\)। अतः \(2n+9=35\)। 9 घटाने पर \(2n=26\), इसलिए \(n=13\)। अतः 35 इस अनुक्रम का 13वाँ पद है। विकल्प 12 लेने पर \(a_{12}=2(12)+9=33\) होगा, 35 नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के स्थान पर रखकर समीकरण हल करें। / Given \(a_n=2n+9\) and \(a_n=35\), we get \(2n+9=35\). Subtracting 9 gives \(2n=26\), so \(n=13\). Thus, 35 is the 13th term of the sequence. For the close distractor 12, \(a_{12}=2(12)+9=33\), not 35. Exam tip: To find a term’s position, substitute its value for \(a_n\) and solve the resulting equation.
