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पद (n) के \(\frac{3}{2}\) गुने हैं, इसलिए \(a_n=\frac{3n}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न गुणक पहचानें। / The terms are \(\frac{3}{2}\) times (n), so \(a_n=\frac{3n}{2}\). In exams, identify the fractional multiplier.
पहला पद (6) और अंतर (3) है, इसलिए \(a_n=3n+3\) है। परीक्षा में (n=1) पर पहला पद जाँचें। / The first term is (6) and the difference is (3), so \(a_n=3n+3\). In exams, check the first term at (n=1).
B. पद की स्थिति या क्रमांक/The position or number of the term
Explanation
Simple Explanation
\(n\) पद का क्रमांक बताता है, इसलिए \(a_4\) अनुक्रम का चौथा पद है। \(a_n\) का मान पद के नियम से मिलता है, जबकि सार्वांतर अलग राशि होती है। परीक्षा में उपसूचक को पद की स्थिति समझें। / \(n\) indicates the position of a term, so \(a_4\) is the fourth term of the sequence. The value of \(a_n\) comes from its rule; the common difference is a separate quantity. Exam tip: read the subscript as the term number.
इस अनुक्रम के पदों का नियम \(a_n=n(n+1)=n^2+n\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,6,12,20\) प्राप्त होते हैं। \(a_n=n^2\) से दूसरा पद \(4\) आएगा, जबकि दिया गया दूसरा पद \(6\) है। परीक्षा टिप: किसी पद-नियम को पहले कुछ मानों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The rule for this sequence is \(a_n=n(n+1)=n^2+n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,6,12,20\), respectively. With \(a_n=n^2\), the second term would be \(4\), not the given \(6\). Exam tip: verify a proposed nth-term rule using the first few terms.
पद-संख्या \(n\) का दोगुना \(2n\) होता है। इसमें 5 जोड़ने पर \(a_n=2n+5\) मिलता है। \(2n-5\) में 5 घटता है। परीक्षा टिप: “अधिक” के लिए जोड़ का चिह्न लगाएँ। / Twice the position number \(n\) is \(2n\). Adding 5 gives \(a_n=2n+5\). Option \(2n-5\) incorrectly subtracts 5. Exam tip: translate “more than” as addition before choosing the formula.
(n=1) पर (1) और (n=2) पर \(\frac{3}{2}\) मिलता है, इसलिए नियम सही है। परीक्षा में भिन्न अनुक्रम को पदों से मिलाएँ। / At (n=1) it gives (1), and at (n=2) it gives \(\frac{3}{2}\), so the rule is correct. In exams, match fractional sequences with terms.
\(n=1\) रखने पर पहला पद \(3(1)-2=1\) और \(n=2\) रखने पर दूसरा पद \(3(2)-2=4\) मिलता है। इसलिए अनुक्रम 1, 4, 7, 10, ... है। परीक्षा में पहले दो पद जाँचकर सही अनुक्रम पहचानें। / Putting \(n=1\) gives the first term \(3(1)-2=1\), and \(n=2\) gives \(3(2)-2=4\). Hence the sequence is 1, 4, 7, 10, .... In exams, verify the first two terms to identify the sequence quickly.
पहला पद (3) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n-2\) है। परीक्षा में पहले पद को नियम से मिलाएँ। / The first term is (3) and the difference is (5), so \(a_n=5n-2\). In exams, match the first term with the rule.
\(a_n=4n+1\) रैखिक रूप \(pn+q\) में है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर स्थिर \(4\) रहता है; अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: AP के लिए \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर जाँचें। / \(a_n=4n+1\) has the linear form \(pn+q\), so consecutive terms differ by the constant \(4\); hence it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: check whether \(a_{n+1}-a_n\) is constant.
चौथे पद के लिए \(n=4\) रखें। अतः \(a_4=4^3=4\times4\times4=64\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(64\) है। \(16\) निकट का भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(4^2\) है, \(4^3\) नहीं। परीक्षा टिप: \(n^3\) का अर्थ \(n\) को तीन बार गुणा करना है। / For the fourth term, substitute \(n=4\). Thus, \(a_4=4^3=4\times4\times4=64\). Therefore, \(64\) is the correct answer. \(16\) is a close distractor because it equals \(4^2\), not \(4^3\). Exam tip: \(n^3\) means multiplying \(n\) by itself three times.
यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद में 3 जोड़ा जा रहा है। पहले पद के लिए \(a_1=3(1)+1=4\) मिलता है, इसलिए \(a_n=3n+1\) सही है। \(3n-1\) देने पर पहला पद 2 होगा। परीक्षा में पहले दो पद रखकर सूत्र जाँचें। / This is an arithmetic sequence because each successive term increases by 3. For the first term, \(a_1=3(1)+1=4\), so \(a_n=3n+1\) is correct. The formula \(3n-1\) gives 2 as the first term. Exam tip: verify a formula using the first two terms.
सातवें पद के लिए n के स्थान पर 7 रखें: \(a_7=12-7=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। 6 प्राप्त करना 12 में से गलत पद-संख्या घटाने की त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: \(a_n\) में nवाँ पद निकालते समय n के स्थान पर उसी पद की संख्या लिखें। / For the seventh term, substitute 7 for n: \(a_7=12-7=5\). Therefore, the correct answer is 5. Getting 6 would result from subtracting the wrong term number from 12. Exam tip: to find the nth term, replace n with the required term number.
\(a_n=5n+2\) में \(n\) का गुणांक 5 है, इसलिए प्रत्येक अगले पद में 5 की वृद्धि होती है। अतः सार्वांतर 5 वाला अंकगणितीय अनुक्रम है। ज्यामितीय अनुक्रम में क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर होता है। परीक्षा टिप: \(a_n=dn+c\) हो तो सार्वांतर \(d\) पहचानें। / In \(a_n=5n+2\), the coefficient of \(n\) is 5, so each successive term increases by 5. Hence it is an arithmetic sequence with common difference 5. A geometric sequence requires a constant ratio between consecutive terms. Exam tip: in \(a_n=dn+c\), identify \(d\) as the common difference.
पहला पद (1) और अंतर (3) है, इसलिए \(a_n=3n-2\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (1) and the difference is (3), so \(a_n=3n-2\). In exams, check the first term by putting (n=1).
छठे पद के लिए \(n=6\) रखें। अतः \(a_6=6^2-2=36-2=34\)। इसलिए सही उत्तर 34 है। 36 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(6^2\) है; उसमें से 2 घटाना बाकी है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद घात का मान पहले निकालें, फिर घटाव करें। / For the sixth term, substitute \(n=6\). Thus, \(a_6=6^2-2=36-2=34\). Therefore, 34 is correct. The close distractor 36 is only \(6^2\); the subtraction of 2 has not been performed. Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate the power first and then subtract.
हर पद (6) का गुणज है, इसलिए \(a_n=6n\) है। परीक्षा में गुणजों के अनुक्रम का नियम आसान होता है। / Each term is a multiple of (6), so \(a_n=6n\). In exams, the rule of a multiples sequence is easy.
यहाँ \(a_n=3n\) है और (3n=36) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Here \(a_n=3n\), and (3n=36) gives (n=12). In exams, equate the given term to the general term.
\(n=1,2,3\) रखने पर \(2n-1\) से क्रमशः \(1,3,5\) मिलते हैं, जो विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(2n\) सम संख्याएँ देता है। परीक्षा में पहले तीन पद लिखकर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3\) in \(2n-1\) gives \(1,3,5\), the odd natural numbers. In contrast, \(2n\) generates even numbers. Exam tip: verify a general term by listing its first three terms.
यहाँ पद \(2^n\) के रूप में हैं, इसलिए \(a_5=2^5=32\) है। परीक्षा में घात वाले पैटर्न को पहचानें। / Here the terms are of the form \(2^n\), so \(a_5=2^5=32\). In exams, identify power patterns.
\(n=1\) रखने पर पहला पद \(4(1)-3=1\) मिलता है और प्रत्येक अगला पद 4 बढ़ता है। इसलिए 1, 5, 9, 13, ... सही है। विकल्प B का अंतर 4 है, पर उसका पहला पद 4 है। परीक्षा में पहले पद और अंतर, दोनों जाँचें। / Putting \(n=1\) gives the first term \(4(1)-3=1\), and each next term increases by 4. Hence 1, 5, 9, 13, ... is correct. Option B also has common difference 4, but its first term is 4. In exams, check both the first term and the difference.
\(a_n=4n+1\) में \(n=1\) रखने पर पहला पद 5 मिलता है और प्रत्येक अगले पद के लिए अंतर 4 है। इसलिए अनुक्रम 5, 9, 13, 17, ... है। विकल्प C का अंतर 4 है, पर उसका पहला पद 1 है। परीक्षा टिप: पहले \(n=1\) जाँचें। / For \(a_n=4n+1\), putting \(n=1\) gives the first term as 5, and consecutive terms differ by 4. Hence the sequence is 5, 9, 13, 17, .... Option C has common difference 4 but starts at 1. Exam tip: check \(n=1\) first.
पाँचवें पद के लिए n=5 रखेंगे। अतः a_5=5+6=11, इसलिए सही उत्तर 11 है। 10 तब मिलता यदि n के स्थान पर 4 रखा जाए, जो चौथा पद है। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के प्रश्न में पहले पूछी गई पद-संख्या को n के स्थान पर रखें। / For the fifth term, substitute n=5. Thus, a_5=5+6=11, so 11 is correct. The value 10 would result from using n=4, which gives the fourth term. Exam tip: In an nth-term question, first substitute the requested term number for n.
दिया है \(a_n=\frac{n^2+n}{2}\)। \(n=10\) रखने पर \(a_{10}=\frac{10^2+10}{2}=\frac{100+10}{2}=\frac{110}{2}=55\)। इसलिए सही उत्तर 55 है। 50 प्राप्त करना एक सामान्य त्रुटि है, जो \(10^2\) का मान गलत लेने या अंश को सही ढंग से न जोड़ने पर हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात, जोड़ और भाग के क्रम में गणना करें। / Given \(a_n=\frac{n^2+n}{2}\). Substituting \(n=10\), \(a_{10}=\frac{10^2+10}{2}=\frac{100+10}{2}=\frac{110}{2}=55\). Hence, the correct answer is 55. Getting 50 is a common error caused by evaluating \(10^2\) incorrectly or not adding the numerator correctly. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the power, addition, and division in order.
पहला पद (40) और अंतर (-5) है, इसलिए (a_n=40+(n-1)(-5)=45-5n)। घटती श्रेढ़ी में अंतर को ऋणात्मक लें। / The first term is (40) and the difference is (-5), so (a_n=40+(n-1)(-5)=45-5n). In a decreasing sequence, take the difference as negative.
यहाँ n=5 रखने पर a_5=2(5)2+3(5)=2×25+15=50+15=65 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 65 है। 60 जैसी त्रुटि प्रायः वर्ग या गुणन के गलत मान से होती है। परीक्षा टिप: पहले n का मान लिखें, फिर घात, गुणन और अंत में जोड़ कीजिए। / Substitute n=5: a_5=2(5)2+3(5)=2×25+15=50+15=65. Therefore, 65 is the correct answer. An answer such as 60 usually results from an error in evaluating the square or multiplication. Exam tip: substitute the value first, then apply powers, multiplication, and addition in order.
पद (7,14,28,56,112,224,448) हैं, इसलिए (448) सातवाँ पद है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में हर बार समान अनुपात से गुणा करें। / The terms are (7,14,28,56,112,224,448), so (448) is the seventh term. In a geometric progression, multiply by the same ratio each time.
\(a_4=46\) और \(a_6=68\), इसलिए योग (114) है। सही विकल्प चुनने से पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=46\) and \(a_6=68\), so the sum is (114). Find both terms separately before choosing the option.
पद (3(1)2,3(2)2,3(3)2,\ldots) हैं, इसलिए \(a_n=3n^2\)। वर्ग और गुणक दोनों पहचानें। / The terms are (3(1)2,3(2)2,3(3)2,\ldots), so \(a_n=3n^2\). Identify both the square and the multiplier.
पहला पद (6) और अंतर (10) है, इसलिए (a_n=6+(n-1)10=10n-4)। पहले पद पर (n=1) रखकर जांचें। / The first term is (6) and the difference is (10), so (a_n=6+(n-1)10=10n-4). Check by putting (n=1).
छठे पद के लिए n=6 रखें: \(a_6=6^2+2(6)-1=36+12-1=47\)। इसलिए सही उत्तर 47 है। 49 तब मिलता है जब अंतिम \(-1\) को छोड़ दिया जाए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n का मान सूत्र के प्रत्येक n में रखें और गणना का क्रम ध्यान से अपनाएँ। / For the sixth term, substitute n=6: \(a_6=6^2+2(6)-1=36+12-1=47\). Therefore, the correct answer is 47. The value 49 would result from omitting the final \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: Substitute the value of n in every occurrence of n and follow the order of operations carefully.
