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शून्य पद ज्ञात करने के लिए \(a_n=0\) रखें। अतः \(72-8n=0\Rightarrow 8n=72\Rightarrow n=9\)। इसलिए 9वाँ पद शून्य है। 8वाँ पद शून्य नहीं होगा, क्योंकि \(a_8=72-8(8)=8\) है। परीक्षा टिप: किसी पद का स्थान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(a_n\) में आवश्यक मान रखकर \(n\) के लिए हल करें। / To find the zero term, put \(a_n=0\). Thus, \(72-8n=0\Rightarrow 8n=72\Rightarrow n=9\). Therefore, the 9th term is zero. The 8th term is not zero because \(a_8=72-8(8)=8\). Exam tip: To find the position of a required term, substitute its given value in \(a_n\) and solve for \(n\).
दिया गया अनुक्रम 9, 15, 23, 33 है। विकल्प \(n^2+3n+5\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः 9, 15, 23 और 33 प्राप्त होते हैं, इसलिए यही \(n\)वाँ पद है। \(n^2+8\) से दूसरा पद 12 आता है, इसलिए वह निकट दिखने पर भी गलत है। परीक्षा टिप: किसी पद-नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखिए। / The sequence is 9, 15, 23, 33. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(n^2+3n+5\) gives 9, 15, 23, and 33 respectively, so it is the required \(n\)th term. Although \(n^2+8\) looks similar, it gives 12 as the second term. Exam tip: verify a proposed nth-term rule by checking at least the first three terms.
दिया है कि \(a_n=9n+5\)। अतः \(a_9=9\times9+5=86\) और \(a_6=9\times6+5=59\)। इसलिए \(a_9-a_6=86-59=27\)। विकल्प 24 सही नहीं है, क्योंकि पदों के सूचकांकों का अंतर \(9-6=3\) है और प्रत्येक अगला पद 9 बढ़ता है, इसलिए अंतर \(3\times9=27\) होगा। परीक्षा टिप: रैखिक अनुक्रम \(a_n=dn+c\) में \(a_p-a_q=d(p-q)\) का प्रयोग करके जल्दी हल करें। / Given \(a_n=9n+5\), \(a_9=9\times9+5=86\) and \(a_6=9\times6+5=59\). Hence, \(a_9-a_6=86-59=27\). Option 24 is incorrect because the difference between the indices is \(9-6=3\), and each successive term increases by 9; thus the difference is \(3\times9=27\). Exam tip: for a linear sequence \(a_n=dn+c\), use \(a_p-a_q=d(p-q)\) for a quick calculation.
सार्व अनुपात (3) है, इसलिए \(a_4=8\cdot3^3=216\)। गुणोत्तर पद में अनुपात की घात (n-1) होती है। / The common ratio is (3), so \(a_4=8\cdot3^3=216\). In a geometric term, the exponent of the ratio is (n-1).
दिया है \(a_n=n(n+3)\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=6(6+3)=6\times9=54\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 54 है। 48 तब मिलता यदि \(6\times8\) किया जाता, जो \(n+3\) के स्थान पर गलत मान लेने से होगा। परीक्षा में पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान पूरे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=n(n+3)\). Substituting \(n=6\), we get \(a_6=6(6+3)=6\times9=54\). Therefore, 54 is correct. The value 48 would result from incorrectly using 8 in place of \(n+3\). In exams, substitute the value of \(n\) into the entire expression before simplifying.
पहला पद (28) और अंतर (-6) है, इसलिए (a_n=28+(n-1)(-6)=34-6n)। घटती श्रेढ़ी में चिह्न पर ध्यान दें। / The first term is (28) and the difference is (-6), so (a_n=28+(n-1)(-6)=34-6n). Pay attention to the sign in a decreasing sequence.
नवम पद ज्ञात करने के लिए सूत्र में n के स्थान पर 9 रखें: \(a_9=13\times9-6=117-6=111\)। इसलिए सही उत्तर 111 है। 117 केवल \(13\times9\) है; इसमें 6 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के प्रश्न में पहले n का मान सूत्र में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / To find the ninth term, substitute 9 for n in the formula: \(a_9=13\times9-6=117-6=111\). Therefore, the correct answer is 111. The value 117 is only \(13\times9\); subtracting 6 is also necessary. Exam tip: In any nth-term question, substitute the given value of n carefully before simplifying.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है और \(a_6=144\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{9}{2}\)। भिन्न अनुपात में घात सावधानी से लगाएं। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), and \(a_6=144\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{9}{2}\). Use powers carefully with a fractional ratio.
चौथा पद ज्ञात करने के लिए नियम में \(n=4\) रखें: \(a_4=6(4)^2-5=6\times16-5=96-5=91\)। इसलिए सही उत्तर 91 है। 96 निकटतम विकल्प है, लेकिन वह \(6\times16\) है; उसमें 5 घटाना शेष है। परीक्षा टिप: घात वाले व्यंजक में पहले वर्ग निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / To find the fourth term, substitute \(n=4\) in the rule: \(a_4=6(4)^2-5=6\times16-5=96-5=91\). Therefore, 91 is correct. The close distractor 96 is only \(6\times16\); the subtraction of 5 is still required. Exam tip: evaluate the exponent first, then multiply and subtract.
यह (5) से शुरू होने वाली विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(a_n=2n+3\)। (n=1) पर पहला पद (5) मिलना चाहिए। / These are odd numbers starting from (5), so \(a_n=2n+3\). For (n=1), the first term should be (5).
दिया है कि \(a_n=6n+11\)। अतः \(a_6=6\times6+11=47\) और \(a_4=6\times4+11=35\)। इसलिए \(a_6+a_4=47+35=82\)। 80 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब स्थिर पद 11 को किसी चरण में छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर पहले पद ज्ञात करें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=6n+11\), \(a_6=6\times6+11=47\) and \(a_4=6\times4+11=35\). Therefore, \(a_6+a_4=47+35=82\). A value such as 80 may result from omitting the constant term 11 in a step. Exam tip: Substitute each value of \(n\) separately first, then add the resulting terms.
सही पद \(a_n=n^2+2n+5\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(8,13,20,29\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में दूसरा पद \(11\) आता है और विकल्प D में दूसरा पद \(14\) आता है, इसलिए वे दिए गए अनुक्रम से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: वर्ग-अंतर वाले अनुक्रमों में पदों के अंतर जाँचकर द्विघात रूप का सत्यापन करें। / The correct term is \(a_n=n^2+2n+5\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(8,13,20,29\), respectively. In option B, the second term is \(11\), while in option D it is \(14\), so neither matches the sequence. Exam tip: For sequences with changing first differences, verify a possible quadratic expression using the first few values of \(n\).
दिया है कि \(a_n=6^n\)। तीसरा पद पाने के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=6^3=6\times6\times6=216\)। इसलिए सही उत्तर 216 है। 36 केवल \(6^2\) है, इसलिए यह तीसरा पद नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय सूत्र में \(n\) का सही मान सीधे प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=6^n\), substitute \(n=3\) to find the third term: \(a_3=6^3=6\times6\times6=216\). Hence, 216 is correct. The value 36 is \(6^2\), so it is not the third term. Exam tip: To find an \(n\)th term, substitute the required value of \(n\) carefully into the formula.
दिया है \(a_n=10n+1\)। अतः \(a_8=10\times8+1=81\) तथा \(a_3=10\times3+1=31\)। इसलिए \(a_8-a_3=81-31=50\)। विकल्प 45 तब मिल सकता है जब पदों के सूचकांकों के अंतर \(8-3\) को ही उत्तर मान लिया जाए, पर प्रत्येक सूचकांक बढ़ने पर पद 10 बढ़ता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों पद निकालें या सीधे \(a_8-a_3=10(8-3)\) लिखें। / Given \(a_n=10n+1\), \(a_8=10\times8+1=81\) and \(a_3=10\times3+1=31\). Therefore, \(a_8-a_3=81-31=50\). Option 45 may result from using only the index difference \(8-3\), but each increase of 1 in the index increases the term by 10. Exam tip: find both terms, or directly use \(a_8-a_3=10(8-3)\).
दिया है: \(a_n=55-4n\)। \(n=11\) रखने पर \(a_{11}=55-4(11)=55-44=11\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 11 है। 9 प्राप्त करने के लिए गलत गुणा या घटाव करना पड़ेगा। परीक्षा में \(n\) का मान सूत्र में रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर घटाएं। / Given \(a_n=55-4n\), substitute \(n=11\): \(a_{11}=55-4(11)=55-44=11\). Hence, 11 is the correct answer. Getting 9 would require an incorrect multiplication or subtraction. Exam tip: after substituting the value of \(n\), multiply first and then subtract.
पहला पद (21) और अंतर (-5) है, इसलिए (a_n=21+(n-1)(-5)=26-5n)। घटती श्रेढ़ी में अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (21) and the difference is (-5), so (a_n=21+(n-1)(-5)=26-5n). In a decreasing sequence, the difference is negative.
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n=7\) रखें: \(a_7=7^2+3\times7=49+21=70\)। अतः सही उत्तर 70 है। 77 प्राप्त करना जोड़ या गुणा में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: पद संख्या को सूत्र में रखने के बाद घात और गुणा पहले करें, फिर जोड़ें। / To find the seventh term, substitute \(n=7\) in the formula: \(a_7=7^2+3\times7=49+21=70\). Therefore, the correct answer is 70. Getting 77 may result from an error in multiplication or addition. Exam tip: after substituting the term number, evaluate powers and multiplication before addition.
पहला पद (7) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=7\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर नियम में घात (n-1) होती है। / The first term is (7) and the ratio is (3), so \(a_n=7\cdot3^{n-1}\). In the geometric rule, the exponent is (n-1).
दिया है \(a_n=7n-1\)। 69 के लिए \(7n-1=69\) लिखते हैं। अतः \(7n=70\), इसलिए \(n=10\)। इसलिए 69, अनुक्रम का 10वाँ पद है। 9वें पद के लिए मान \(7\times9-1=62\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=7n-1\), set the term equal to 69: \(7n-1=69\). Thus, \(7n=70\), so \(n=10\). Hence, 69 is the 10th term of the sequence. The 9th term is \(7\times9-1=62\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
(a_n=7+(n-1)6=6n+1), इसलिए (6n+1=61) से (n=10)। दिए पद की स्थिति के लिए नियम को बराबर रखें। / (a_n=7+(n-1)6=6n+1), so (6n+1=61) gives (n=10). Set the rule equal to the given term to find its position.
यहाँ n=5 रखने पर a_5=4(5)2+3=4×25+3=103 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 103 है। 99 जैसा उत्तर घात n-2 का सही मान न लेने या गणना में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा में पहले n का मान रखें, फिर घात, गुणा और जोड़ के क्रम में गणना करें। / Substitute n=5: a_5=4(5)2+3=4×25+3=103. Therefore, 103 is correct. A value such as 99 may result from evaluating the square incorrectly or making an arithmetic error. In exams, substitute the value of n first, then evaluate the power, multiplication, and addition in order.
दिए गए नियम में 10वाँ पद ज्ञात करने के लिए n के स्थान पर 10 रखें: \(a_{10}=5\times10+4=50+4=54\)। इसलिए सही विकल्प 54 है। 52 तब मिलता यदि स्थिर पद 2 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय n के स्थान पर पद की संख्या सावधानी से रखें। / To find the 10th term, substitute 10 for n in the given rule: \(a_{10}=5\times10+4=50+4=54\). Therefore, 54 is the correct option. The value 52 would result if the constant term were 2, which it is not. Exam tip: While finding an nth term, substitute the term number carefully for n.
पहला पद (8) और समान अंतर (6) है, इसलिए (a_n=8+(n-1)6=6n+2)। पहले पद पर (n=1) रखकर नियम जांचें। / The first term is (8) and the common difference is (6), so (a_n=8+(n-1)6=6n+2). Check the rule by putting (n=1).
इसका नियम (a_n=n(n+1)) है और \(6\times7=42\) होता है। परीक्षा में दिए पद को नियम से मिलाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is (a_n=n(n+1)), and \(6\times7=42\). In exams, match the given term with the rule to find the term number.
\(a_4=\frac{4\times5}{2}=10\) है। परीक्षा में पहले (n) का मान रखकर भिन्न को सरल करें। / \(a_4=\frac{4\times5}{2}=10\). In exams, substitute the value of (n) first and simplify the fraction.
दूसरे पद के लिए n=2 रखेंगे। अतः a_2=52=25 होगा, इसलिए सही उत्तर 25 है। 125, 53 का मान है, इसलिए वह तीसरा पद होगा। परीक्षा टिप: nवें पद के सूत्र में मांगे गए पद की संख्या n के स्थान पर सावधानी से रखें। / For the second term, substitute n=2. Thus, a_2=52=25, so 25 is correct. The value 125 equals 53, so it is the third term. Exam tip: carefully substitute the required term number for n in the nth-term formula.
हर पद (n) को (3) से भाग देने पर मिलता है, इसलिए \(a_n=\frac{n}{3}\) है। परीक्षा में भिन्नों को समान रूप में देखें। / Each term is obtained by dividing (n) by (3), so \(a_n=\frac{n}{3}\). In exams, view fractions in the same form.
पहला पद (4) और अंतर (6) है, इसलिए \(a_n=6n-2\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक लें। / The first term is (4) and the difference is (6), so \(a_n=6n-2\). In exams, take the difference as the coefficient of (n).
पहला पद (5) और अंतर (4) है, इसलिए \(a_n=4n+1\) है। परीक्षा में (n=1) पर पहला पद मिलाएँ। / The first term is (5) and the difference is (4), so \(a_n=4n+1\). In exams, match the first term at (n=1).
तीसरे पद के लिए n=3 रखें: a_3=23+1=8+1=9। इसलिए सही उत्तर 9 है। विकल्प 8 केवल 23 का मान है; इसमें सूत्र का +1 जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले n का मान सूत्र में रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ क्रम से करें। / For the third term, substitute n=3: a_3=23+1=8+1=9. Therefore, 9 is correct. Option 8 is only the value of 23; the +1 in the formula still has to be added. Exam tip: when finding an nth term, substitute the value of n first, then evaluate powers and other operations in order.
