Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. \( x\le 2 \), ( 2 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 2 \), closed dot at ( 2 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक ( -5 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है और \( 3x+4\le 10 \) मिलता है। इसलिए \( x\le 2 \) को बंद बिंदु के साथ दिखाएं। / Multiplying by negative ( -5 ) reverses the sign and gives \( 3x+4\le 10 \). Therefore show \( x\le 2 \) with a closed dot.
A. ( x<-8 ), ( -8 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<-8 ), open at ( -8 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से ( -10+2x>4x+6 ), इसलिए ( -16>2x ) और ( x<-8 ) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा बिंदु खुला रहता है। / Simplifying gives ( -10+2x>4x+6 ), so ( -16>2x ) and ( x<-8 ). In a strict inequality, the boundary point remains open.
बाईं ओर छाया छोटे मान दिखाती है और खुला बिंदु बराबरी को हटाता है। इसलिए ( x<-12 ) सही है। / Left shading shows smaller values, and an open dot excludes equality. Therefore ( x<-12 ) is correct.
C. अनंत कभी भी हल-समुच्चय का सदस्य नहीं होता; इसलिए अनंत तक जाने वाले अंतराल में उसके साथ हमेशा साधारण कोष्ठक लगाया जाता है/Infinity is never a member of a solution set; therefore, an interval extending to infinity always uses a parenthesis at infinity
Explanation
Simple Explanation
\(\infty\) और \(-\infty\) वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं, इसलिए इन्हें किसी अंतराल में शामिल नहीं किया जा सकता। अतः \((3,\infty)\) तथा \(( -\infty, 3]\) जैसे अंतरालों में अनंत के साथ हमेशा साधारण कोष्ठक प्रयुक्त होता है। वर्ग कोष्ठक केवल किसी वास्तविक अंतिम बिंदु के शामिल होने को दर्शाता है, इसलिए विकल्प A और B गलत हैं। परीक्षा टिप: अनंत दिखते ही उसके पास हमेशा साधारण कोष्ठक लगाइए। / \(\infty\) and \(-\infty\) are not real numbers, so they cannot be included as members of an interval. Hence, intervals such as \((3,\infty)\) and \(( -\infty, 3]\) always use a parenthesis at infinity. A square bracket is used only when a real endpoint is included, so options A and B are incorrect. Exam tip: whenever infinity appears in interval notation, use a parenthesis next to it.
कोई वास्तविक संख्या एक साथ ( 2 ) से छोटी और ( 8 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में साझा भाग लेना होता है। / No real number can be less than ( 2 ) and greater than ( 8 ) at the same time. For AND, take the common part.
दोनों अंतराल ( 5 ) पर मिलते हैं और ( 5 ) शामिल है। इसलिए लगातार छाया ( [-2,8) ) बनती है। / The two intervals meet at ( 5 ), and ( 5 ) is included. Therefore the continuous shading is ( [-2,8) ).
C. \( x\ge \frac{19}{2} \), \( \frac{19}{2} \) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge \frac{19}{2} \), closed at \( \frac{19}{2} \), shaded right
Explanation
Simple Explanation
तीन से गुणा करने पर \( 18\le 2x-1 \), इसलिए \( x\ge \frac{19}{2} \) मिलता है। \( \le \) में सीमा बिंदु शामिल होता है। / Multiplying by ( 3 ) gives \( 18\le 2x-1 \), so \( x\ge \frac{19}{2} \). The \( \le \) sign includes the boundary point.
दोनों चिन्ह सख्त ( < ) हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल नहीं होंगे। सख्त असमानता में खुला बिंदु लगाएं। / Both signs are strict ( < ), so both boundary values are excluded. Use open dots for strict inequalities.
A. \(-1\) पर भरा बिंदु, 1 पर खुला बिंदु तथा उनके बीच छायांकन/Closed circle at \(-1\), open circle at 1, and shading between them
Explanation
Simple Explanation
असमता को दो भागों में हल करें। \(-2<3-5x\) से \(-5<-5x\) मिलता है; ऋणात्मक संख्या \(-5\) से भाग देने पर असमता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<1\)। इसी प्रकार \(3-5x\le8\) से \(-5x\le5\), अतः \(x\ge-1\)। दोनों शर्तों को मिलाने पर \(-1\le x<1\) मिलता है। इसलिए \(-1\) शामिल है, जबकि 1 शामिल नहीं है। विकल्प B में दोनों सिरों की शामिल/बहिष्कृत स्थिति उलट दी गई है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिह्न अवश्य पलटें। / Solve the double inequality in two parts. From \(-2<3-5x\), we get \(-5<-5x\); dividing by the negative number \(-5\) reverses the sign, giving \(x<1\). From \(3-5x\le8\), we get \(-5x\le5\), so \(x\ge-1\). Combining both conditions gives \(-1\le x<1\). Hence, \(-1\) is included but 1 is excluded. Option B reverses the inclusion of the two endpoints. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
A. ( x>5 ), ( 5 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>5 ), open at ( 5 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से ( 4x+4>2x+14 ), इसलिए ( 2x>10 ) और ( x>5 ) मिलता है। सख्त चिन्ह में बिंदु खुला रहता है। / Simplifying gives ( 4x+4>2x+14 ), so ( 2x>10 ) and ( x>5 ). With a strict sign, the dot remains open.
बंद अंतराल [2,2] में केवल संख्या 2 ही सम्मिलित है, क्योंकि दोनों सिरों का मान 2 है। सम्मिलित मान को संख्या रेखा पर बंद बिंदु से दिखाया जाता है, इसलिए 2 पर बंद बिंदु सही है। खुला बिंदु 2 को सम्मिलित नहीं दर्शाता। परीक्षा-युक्ति: [a,a] हमेशा केवल a का एकल समुच्चय दर्शाता है। / The closed interval [2,2] contains only the number 2 because both endpoints are 2. An included endpoint is represented by a closed dot, so the correct representation is a closed dot at 2. An open dot would indicate that 2 is excluded. Exam tip: [a,a] always represents the singleton set containing only a.
\( |x-1|\le 3 \) से \( -2\le x\le 4 \) मिलता है। पूर्णांक समाधान में इसी अंतराल के सभी पूर्णांक बिंदु लें। / \( |x-1|\le 3 \) gives \( -2\le x\le 4 \). For integer solutions, take all integer points in this interval.
हटाए गए भाग में ( 1 ) शामिल नहीं है लेकिन ( 6 ) शामिल है। इसलिए ( 1 ) तक का बायां भाग बचता है। / The removed part does not include ( 1 ) but includes ( 6 ). Therefore the left part up to ( 1 ) remains.
दोनों को मिलाकर \( -3\le 2x+5<15 \) मिलता है। हल करने पर \( -4\le x<5 \) होगा। / Together they give \( -3\le 2x+5<15 \). Solving gives \( -4\le x<5 \).
गोल कोष्ठक \( \frac{1}{4} \) को हटाता है और दाईं ओर तीर बड़े मान देता है। इसलिए \( x>\frac{1}{4} \) होगा। / The round bracket excludes \( \frac{1}{4} \), and the rightward arrow gives larger values. Therefore \( x>\frac{1}{4} \).
C. \( x\ge 3 \), ( 3 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 3 \), closed at ( 3 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से \( 9-6x\le -9 \), इसलिए \( -6x\le -18 \) और \( x\ge 3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / Simplifying gives \( 9-6x\le -9 \), so \( -6x\le -18 \) and \( x\ge 3 \). Reverse the sign when dividing by a negative.
दिए गए संघ का पूरक ( -1 ) से छोटे मान और ( 4 ) से बड़े पर ( 9 ) तक के मान देता है। ( 9 ) बचता है क्योंकि दूसरा भाग ( 9 ) को शामिल नहीं करता। / The complement of the given union gives values less than ( -1 ) and values greater than ( 4 ) up to ( 9 ). The point ( 9 ) remains because the second part excludes ( 9 ).
C. सिर्फ ( 3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 3 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतरालों में केवल ( 3 ) साझा है और दोनों में ( 3 ) शामिल है। इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। / The only common point in both intervals is ( 3 ), and ( 3 ) is included in both. Therefore, one closed dot appears.
पहला अंतराल ( 2 ) को शामिल नहीं करता और दूसरा ( 2 ) से शुरू होता है। इसलिए कोई साझा बिंदु नहीं है। / The first interval does not include ( 2 ), and the second starts at ( 2 ). Therefore, there is no common point.
दोनों ओर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल हैं। शामिल सीमा को बंद बिंदु से दिखाते हैं। / Both sides have square brackets, so both boundary values are included. Included boundaries are shown by closed dots.
C. \( x\ge -15 \), ( -15 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge -15 \), closed at ( -15 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक ( 4 ) से गुणा करने पर \( x+7\ge -8 \) मिलता है। इसलिए \( x\ge -15 \) और बिंदु बंद होगा। / Multiplying by positive ( 4 ) gives \( x+7\ge -8 \). Thus \( x\ge -15 \), and the dot is closed.
A. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( 0 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( 0 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतराल ( 0 ) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं देते हैं। बीच का खुला छेद हटे हुए बिंदु को दिखाता है। / The two intervals give all real numbers except ( 0 ). The open hole in the middle shows the removed point.
पहली असमानता से ( x>3 ) और दूसरी से \( x\le 7 \) मिलता है। दोनों शर्तों के लिए साझा भाग \( 3<x\le 7 \) है। / The first inequality gives ( x>3 ), and the second gives \( x\le 7 \). For both conditions, the common part is \( 3<x\le 7 \).
B. \( x\le -3 \) या ( x>10 )/\( x\le -3 \) or ( x>10 )
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता से \( x\le -3 \) और दूसरी से ( x>10 ) मिलता है। ( या ) में दोनों भागों का संघ लें। \(/ The first inequality gives ( x\le -3 ), and the second gives ( x>10 ). For OR, take the union of both parts.\)
A. 2 पर खुला सिरा, 8 पर बंद सिरा और 5 पर खुला छेद/An open endpoint at 2, a closed endpoint at 8, and an open hole at 5
Explanation
Simple Explanation
अंतराल \((2,8]\) में 2 शामिल नहीं है, इसलिए 2 पर खुला सिरा होगा; 8 शामिल है, इसलिए 8 पर बंद सिरा होगा। \(\setminus\{5\}\) का अर्थ है कि 5 को अंतराल से हटा दिया गया है, इसलिए 5 पर खुला छेद दिखाया जाएगा। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक \(()\) खुले सिरे और वर्ग कोष्ठक \([]\) बंद सिरे को दर्शाते हैं। / In the interval \((2,8]\), 2 is excluded, so it has an open endpoint, while 8 is included, so it has a closed endpoint. The notation \(\setminus\{5\}\) removes 5 from the interval, so an open hole must be marked at 5. Therefore, option A is correct. Exam tip: round brackets indicate open endpoints, whereas square brackets indicate closed endpoints.
B. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( 2 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( 2 )
Explanation
Simple Explanation
\( x\ne 2 \) में ( 2 ) छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / \( x\ne 2 \) includes all real numbers except ( 2 ). Show the removed point by an open hole.
