Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((0,2)) रखने पर \(2\leq 1\) असत्य है। परीक्षा में तुलना के बाद ही क्षेत्र तय करें। / Substituting ((0,2)) gives \(2\leq 1\), which is false. Decide the region only after comparison in exams.
\(x-2y\leq 0\) से \(x\leq 2y\), इसलिए \(y\geq \frac{x}{2}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग करते समय संकेत बदलना याद रखें। / From \(x-2y\leq 0\), we get \(x\leq 2y\), so \(y\geq \frac{x}{2}\). Remember sign changes when handling negative coefficients in exams.
((3,0)) रखने पर \(9\leq 6\) असत्य है, इसलिए यह हल क्षेत्र में नहीं है। परीक्षा में सभी दिए बिंदुओं में केवल असत्य मान खोजें। / Substituting ((3,0)) gives \(9\leq 6\), which is false, so it is not in the solution region. In exams, find the option that makes the inequality false.
सीमा रेखा (x+3y=6) में (y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में दोनों प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें। / For the boundary line (x+3y=6), (y=0) gives (x=6) and (x=0) gives (y=2). Find both intercepts separately in exams.
B. सीमा रेखा पर और हल में/On the boundary line and in the solution
Explanation
Simple Explanation
((2,0)) रखने पर \(4\geq 4\) सत्य है और बराबरी भी है। परीक्षा में \(\geq\) होने पर सीमा बिंदु शामिल होते हैं। / Substituting ((2,0)) gives \(4\geq 4\), true with equality. Boundary points are included when the symbol is \(\geq\).
B. यह हल क्षेत्र में है/It is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) रखने पर (3>2) सत्य है, इसलिए यह हल क्षेत्र में है। परीक्षा में एक-एक विकल्प को रखने की जरूरत नहीं, सही बिंदु जांचें। / Substituting ((3,0)) gives (3>2), which is true, so it lies in the solution region. In exams, check the candidate point directly.
A. निचला अर्ध-तल, (x)-अक्ष सहित/Lower half-plane including the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\leq 0\) में (y) शून्य या ऋणात्मक है, इसलिए (x)-अक्ष और नीचे का भाग शामिल है। परीक्षा में (y=0) को (x)-अक्ष समझें। / In \(y\leq 0\), (y) is zero or negative, so the (x)-axis and the lower side are included. Remember (y=0) is the (x)-axis in exams.
C. दायां अर्ध-तल, (y)-अक्ष सहित/Right half-plane including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) में (x) गैर-ऋणात्मक है, इसलिए (y)-अक्ष और दायां भाग शामिल हैं। परीक्षा में (x=0) को (y)-अक्ष समझें। / In \(x\geq 0\), (x) is non-negative, so the (y)-axis and the right side are included. Remember (x=0) is the (y)-axis in exams.
B. रेखा (y=-2) के ऊपर, रेखा छोड़कर/Above the line (y=-2), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y> -2) में (y) के मान (-2) से बड़े हैं, इसलिए रेखा के ऊपर छायांकन होगा। परीक्षा में (>) के लिए सीमा रेखा शामिल न करें। / In (y> -2), (y)-values are greater than (-2), so shade above the line. Do not include the boundary line for (>) in exams.
((1,1)) रखने पर \(1\leq 2\) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में दाईं ओर का मान सावधानी से निकालें। / Substituting ((1,1)) gives \(1\leq 2\), which is true, so the point is in the solution region. Calculate the right side carefully in exams.
सीमा रेखा (x+5y=10) में (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। परीक्षा में (y)-प्रतिच्छेद के लिए (x=0) रखें। / In the boundary line (x+5y=10), putting (x=0) gives (y=2). For the (y)-intercept, put (x=0) in exams.
सीमा रेखा (4x+y=8) में (y=0) रखने पर (x=2) मिलता है। परीक्षा में (x)-प्रतिच्छेद के लिए (y=0) रखें। / In the boundary line (4x+y=8), putting (y=0) gives (x=2). For the (x)-intercept, put (y=0) in exams.
सीमा रेखा (2x+3y=12) है, जिसमें (y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद विधि से रेखा जल्दी बनती है। / The boundary line is (2x+3y=12), giving (x=6) when (y=0) and (y=4) when (x=0). The intercept method draws the line quickly in exams.
B. सीमा रेखा के विपरीत मूल बिंदु से दूर वाला भाग/Side opposite to the origin
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 7\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग हल है। परीक्षा में असत्य परीक्षण पर दूसरी ओर छायांकन करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 7\), which is false, so the solution is the side opposite the origin. Shade the other side when the test is false in exams.
A. मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है/The side containing the origin is the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq -2\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग छायांकित होगा। परीक्षा में परीक्षण बिंदु सत्य हो तो वही भाग लें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq -2\), which is true, so shade the origin side. If the test point is true, take that side in exams.
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर ठोस रेखा सहित/Left of (x=4) including solid line
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 4\) में (x) के मान (4) या कम हैं, इसलिए बाईं ओर क्षेत्र होगा। परीक्षा में \(x\leq a\) को बाईं ओर समझें। / In \(x\leq 4\), (x)-values are (4) or less, so the region is to the left. In exams, read \(x\leq a\) as the left side.
B. यह हल क्षेत्र में नहीं है/It is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((1,3)) रखने पर (3<2) असत्य है। परीक्षा में बिंदु को असमानता में सीधे रखें। / Substituting ((1,3)) gives (3<2), which is false. In exams, directly substitute the point in the inequality.
A. हाँ, क्योंकि \(3\leq 3\)/Yes, because \(3\leq 3\)
Explanation
Simple Explanation
((2,1)) रखने पर (2+1=3) और \(3\leq 3\) सत्य है। परीक्षा में सीमा पर स्थित बिंदु भी \(\leq\) में शामिल होते हैं। / Substituting ((2,1)) gives (2+1=3), and \(3\leq 3\) is true. Boundary points are included for \(\leq\) in exams.
(x-y<2) में बराबरी शामिल नहीं है, इसलिए सीमा रेखा (x-y=2) टूटी होगी। परीक्षा में (<) देखकर रेखा को शामिल न करें। / Equality is not included in (x-y<2), so the boundary line (x-y=2) is dashed. In exams, do not include the line for (<).
A. ((0,0)) हल क्षेत्र में है/((0,0)) is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\leq 9\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग चुना जाएगा। परीक्षा में परीक्षण बिंदु से छायांकन की दिशा तय करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 9\), so the side containing the origin is selected. Use a test point to decide the shading direction in exams.
C. हाँ, क्योंकि \(\geq\) है/Yes, because it has \(\geq\)
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) में बराबरी शामिल होती है, इसलिए सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में \(\leq\) और \(\geq\) के लिए ठोस रेखा बनाएं। / The symbol \(\geq\) includes equality, so the boundary line is part of the solution. Draw a solid line for \(\leq\) and \(\geq\) in exams.
((0,0)) रखने पर \(0\leq 8\) सत्य है। परीक्षा में सरल बिंदु से क्षेत्र जल्दी तय करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 8\), which is true. Use a simple test point to decide the region quickly in exams.
A. सीमा रेखा (x+y=5) है और टूटी हुई है/The boundary line is (x+y=5) and dashed
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा बराबरी लगाकर (x+y=5) बनती है और (<) के कारण टूटी होती है। परीक्षा में पहले असमानता को समीकरण में बदलें। / The boundary line is made by replacing the inequality with equality, so it is (x+y=5), and it is dashed because of (<). In exams, first convert the inequality into an equation.
C. ((0,0)) हल क्षेत्र में नहीं है/((0,0)) is not in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 6\) असत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल नहीं है। परीक्षा में असत्य मिलने पर विपरीत भाग छायांकित करें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 6\), which is false, so the origin side is not the solution. In exams, shade the opposite side when the test is false.
D. रेखा (x=-2) के दाईं ओर, रेखा छोड़कर/Right of the line (x=-2), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(x> -2) में सभी (x) मान (-2) से बड़े हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन होगा। परीक्षा में (x) वाली असमानता के लिए बायां-दायां क्षेत्र देखें। / In (x> -2), all (x)-values are greater than (-2), so shading is to the right. For inequalities in (x), check left or right in exams.
B. रेखा (y=3) के नीचे और रेखा सहित/Below the line (y=3) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\leq 3\) में (y) के मान (3) या उससे कम हैं। परीक्षा में क्षैतिज रेखा के लिए ऊपर-नीचे क्षेत्र पहचानें। / In \(y\leq 3\), the values of (y) are (3) or less. In exams, identify above or below for horizontal lines.
क्योंकि (>) में बराबरी शामिल नहीं होती, इसलिए सीमा रेखा टूटी हुई होती है। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since (>) does not include equality, the boundary line is dashed. Remember dashed lines for (<) and (>) in exams.
((0,0)) रखने पर \(0\leq 4\) सत्य है, इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु रखें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\leq 4\), so the point lies in the solution region. In exams, test a convenient point first.
पहली असमानता से \( x\ge -4 \) और दूसरी से ( x<4 ) मिलता है। दोनों शर्तों का साझा भाग ( [-4,4) ) है। / The first inequality gives \( x\ge -4 \), and the second gives ( x<4 ). The common part of both conditions is ( [-4,4) ).
पहला भाग ( -1 ) से पहले तक है और दूसरा ( -1 ) को शामिल करके ( 6 ) से पहले तक जाता है। इसलिए मिलकर ( 6 ) से छोटी सभी संख्याएं मिलती हैं। / The first part goes before ( -1 ), and the second includes ( -1 ) and goes before ( 6 ). So together they give all numbers less than ( 6 ).
