Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. सिर्फ ( -4 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -4 )
Explanation
Simple Explanation
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x+4|=0 ) पर ( x=-4 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा। / Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x+4|=0 ) gives ( x=-4 ). So only one closed dot appears.
पहला अंतराल ( 5 ) से पहले रुकता है और दूसरा ( 5 ) के बाद शुरू होता है। इसलिए दोनों में कोई साझा भाग नहीं है। / The first interval stops before ( 5 ), and the second begins after ( 5 ). Therefore, there is no common part.
हल करने पर \( 3\le 3x<18 \), इसलिए \( 1\le x<6 \) मिलता है। बाईं सीमा बंद और दाईं सीमा खुली रहेगी। / Solving gives \( 3\le 3x<18 \), so \( 1\le x<6 \). The left endpoint is closed and the right endpoint is open.
किस विकल्प में उस संख्या-रेखा आलेख का समाधान समुच्चय दिया गया है जिसमें \(-1\) पर खुला वृत्त, \(4\) पर भरा वृत्त है तथा \(-1\) के बाएँ और \(4\) के दाएँ भाग छायांकित हैं?
\(-1\) पर खुला वृत्त दर्शाता है कि \(-1\) समाधान में शामिल नहीं है, इसलिए बायाँ भाग \(( -\infty,-1)\) होगा। \(4\) पर भरा वृत्त बताता है कि \(4\) शामिल है, इसलिए दायाँ भाग \([4,\infty)\) होगा। दोनों छायांकित भाग अलग-अलग किरणें हैं, अतः उन्हें यूनियन \(\cup\) से जोड़ा जाता है। विकल्प B में दोनों सिरों की समावेशन-स्थिति उलट गई है। परीक्षा टिप: खुला वृत्त हमेशा गोल कोष्ठक और भरा वृत्त हमेशा वर्ग कोष्ठक से दर्शाया जाता है। / An open circle at \(-1\) means that \(-1\) is excluded, so the left ray is \(( -\infty,-1)\). A filled circle at \(4\) means that \(4\) is included, so the right ray is \([4,\infty)\). Since the shaded parts are two separate rays, they are joined using union, \(\cup\). Option B reverses the inclusion of both endpoints. Exam tip: use a round bracket for an open circle and a square bracket for a filled circle.
C. ( x>7 ), ( 7 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>7 ), open at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( -4 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर ( 13-3x<-8 ) मिलता है। फिर ( -3x<-21 ) से ( x>7 ) मिलता है। / Multiplying by ( -4 ) reverses the sign and gives ( 13-3x<-8 ). Then ( -3x<-21 ) gives ( x>7 ).
पहला अंतराल ( 4 ) को शामिल करता है और दूसरा ( 4 ) के बाद शुरू होता है। मिलकर छाया \( 1<x\le 12 \) बनती है। / The first interval includes ( 4 ), and the second begins after ( 4 ). Together they form \( 1<x\le 12 \).
पहला भाग ( -9 ) से छोटे मान और दूसरा ( -9 ) सहित बड़े मान देता है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / The first part gives values less than ( -9 ), and the second gives ( -9 ) and larger values. Together they form the whole number line.
C. ( -2 ) बंद बिंदु बाईं ओर और ( 10 ) खुला बिंदु दाईं ओर/Closed at ( -2 ) shaded left and open at ( 10 ) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\( x\le -2 \) में ( -2 ) बंद है और ( x>10 ) में ( 10 ) खुला है। ( या ) में अलग भागों का संघ बनता है। \(/ In ( x\le -2 ), ( -2 ) is closed, and in ( x>10 ), ( 10 ) is open. OR forms the union of separate parts.\)
कोई संख्या एक साथ ( 3 ) से बड़ी या बराबर और ( 3 ) से छोटी नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / No number can be both greater than or equal to ( 3 ) and less than ( 3 ). For AND, the intersection is empty.
हटाए गए भाग में ( -1 ) शामिल है पर ( 4 ) शामिल नहीं है। इसलिए ( -1 ) हटेगा और ( 4 ) बच जाएगा। / The removed part includes ( -1 ) but excludes ( 4 ). Therefore ( -1 ) is removed and ( 4 ) remains.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -5\le x\le 2 \) है। प्रतिच्छेद में केवल समान छायांकित भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -5\le x\le 2 \). In an intersection, keep only the commonly shaded region.
A. \( x\le -3 \) या \( x\ge 8 \)/\( x\le -3 \) or \( x\ge 8 \)
Explanation
Simple Explanation
\( |2x-5|\ge 11 \) से \( 2x-5\le -11 \) या \( 2x-5\ge 11 \) मिलता है। बराबरी होने से सीमा बिंदु बंद रहेंगे। / \( |2x-5|\ge 11 \) gives \( 2x-5\le -11 \) or \( 2x-5\ge 11 \). Since equality is included, boundary points are closed.
पूरक में ( -3 ) शामिल हो जाता है और ( 6 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -3 ) becomes included and ( 6 ) is excluded. Open and closed endpoints switch in a complement.
दो से गुणा करने पर \( -8\le x-3<10 \) मिलता है। इसलिए \( -5\le x<13 \) सही है। / Multiplying by ( 2 ) gives \( -8\le x-3<10 \). Therefore \( -5\le x<13 \) is correct.
A. ( x>-2 ), ( -2 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>-2 ), open dot at ( -2 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -6x<12 ), इसलिए ( x>-2 ) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / Solving gives ( -6x<12 ), so ( x>-2 ). Dividing by a negative reverses the sign.
बंद बिंदु ( -8 ) को शामिल करता है और खुला बिंदु ( 1 ) को हटाता है। सिरों के प्रकार से असमानता के चिन्ह तय करें। / The closed dot includes ( -8 ), and the open dot excludes ( 1 ). Decide inequality signs from endpoint types.
\( \frac{1}{2} \) और \( \frac{11}{2} \) के बीच पूर्णांक ( 1 ) से ( 5 ) तक हैं। पूर्णांक समाधान में केवल अलग-अलग बिंदु चिन्हित करें। / The integers between \( \frac{1}{2} \) and \( \frac{11}{2} \) are from ( 1 ) to ( 5 ). For integer solutions, mark only separate points.
( |x+2|>3 ) से ( x+2<-3 ) या ( x+2>3 ) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा बिंदु खुले रहते हैं। / ( |x+2|>3 ) gives ( x+2<-3 ) or ( x+2>3 ). Boundary points stay open in a strict inequality.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -4<x\le 1 \) है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाला भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -4<x\le 1 \). In an intersection, keep only the part present in both intervals.
B. \( x\le 2 \), ( 2 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 2 \), closed dot at ( 2 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( -2 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है और \( x\le 2 \) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलें। / Multiplying by ( -2 ) reverses the sign and gives \( x\le 2 \). Reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
हल करने पर \( -5\le -2x<5 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर \( \frac{5}{2}\ge x>-\frac{5}{2} \), यानी \( -\frac{5}{2}<x\le \frac{5}{2} \) होगा। / Solving gives \( -5\le -2x<5 \). Dividing by a negative gives \( \frac{5}{2}\ge x>-\frac{5}{2} \), that is \( -\frac{5}{2}<x\le \frac{5}{2} \).
A. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( -6 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( -6 )
Explanation
Simple Explanation
\( x\ne -6 \) में ( -6 ) छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / \( x\ne -6 \) includes all real numbers except ( -6 ). Show the removed point by an open hole.
B. सिर्फ ( 8 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 8 )
Explanation
Simple Explanation
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x-8|=0 ) पर ( x=8 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा। / Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x-8|=0 ) gives ( x=8 ). So only one closed dot appears.
पहला अंतराल ( 4 ) से पहले रुकता है और दूसरा ( 4 ) के बाद शुरू होता है। इसलिए दोनों में कोई साझा भाग नहीं है। / The first interval stops before ( 4 ), and the second begins after ( 4 ). Therefore, there is no common part.
हल करने पर \( 6<2x\le 12 \), इसलिए \( 3<x\le 6 \) मिलता है। सख्त सिरा खुला और बराबरी वाला सिरा बंद रखें। / Solving gives \( 6<2x\le 12 \), so \( 3<x\le 6 \). Keep the strict endpoint open and the equality endpoint closed.
A. \( -\frac{5}{3} \) बंद और \( \frac{4}{3} \) खुला/\( -\frac{5}{3} \) closed and \( \frac{4}{3} \) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \( -\frac{5}{3} \) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \( \frac{4}{3} \) को हटाता है। भिन्न सिरों पर भी वही नियम लागू होता है। / The square bracket includes \( -\frac{5}{3} \), and the round bracket excludes \( \frac{4}{3} \). The same rule applies to fractional endpoints.
B. ( x>7 ), ( 7 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>7 ), open at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( -5 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर ( 9-2x>-5 ) मिलता है। फिर ( -2x>-14 ) से ( x<7 ) मिलता है। / Multiplying by ( -5 ) reverses the sign and gives ( 9-2x>-5 ). Then ( -2x>-14 ) gives ( x<7 ).
पहला अंतराल ( 5 ) से पहले तक जाता है और दूसरा ( 5 ) को शामिल करता है। मिलकर छाया ( -2 ) से ( 12 ) तक खुले सिरों के साथ बनती है। / The first interval reaches up to before ( 5 ), and the second includes ( 5 ). Together they form shading from ( -2 ) to ( 12 ) with open endpoints.
