Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों अंतराल मिलकर ( -5 ) सहित पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं। संघ में सभी छायांकित भाग शामिल होते हैं। / Together the two intervals cover the entire number line including ( -5 ). A union includes all shaded parts.
हल करने पर \( -18\le -3x<-3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर \( 6\ge x>1 \), यानी \( 1<x\le 6 \) होगा। / Solving gives \( -18\le -3x<-3 \). Dividing by a negative gives \( 6\ge x>1 \), that is \( 1<x\le 6 \).
कोई संख्या एक साथ ( 0 ) से छोटी या बराबर और ( 0 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / No number can be both less than or equal to ( 0 ) and greater than ( 0 ). For AND, the intersection is empty.
हटाए गए भाग में ( -2 ) शामिल नहीं है पर ( 3 ) शामिल है। इसलिए ( -2 ) बचता है और ( 3 ) हट जाता है। / The removed part excludes ( -2 ) but includes ( 3 ). Therefore ( -2 ) remains and ( 3 ) is removed.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -3\le x<4 \) है। प्रतिच्छेद में केवल समान छायांकित भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -3\le x<4 \). In an intersection, keep only the commonly shaded region.
D. \( x\le -\frac{8}{3} \) या \( x\ge 4 \)/\( x\le -\frac{8}{3} \) or \( x\ge 4 \)
Explanation
Simple Explanation
\( |3x-2|\ge 10 \) से \( 3x-2\le -10 \) या \( 3x-2\ge 10 \) मिलता है। बराबरी होने से दोनों सीमा बिंदु बंद रहेंगे। / \( |3x-2|\ge 10 \) gives \( 3x-2\le -10 \) or \( 3x-2\ge 10 \). Because equality is included, both boundary points are closed.
संख्या रेखा पर \(-2\) पर भरा हुआ बिंदु और \(4\) पर खोखला बिंदु है। छायांकित भाग \(-2\) के बाईं ओर तथा \(4\) के दाईं ओर है। यह किस अंतराल-संघ को दर्शाता है?
भरा हुआ बिंदु \(-2\) को समाधान में शामिल करता है, इसलिए वहाँ वर्ग कोष्ठक \(]\) लगेगा। \(4\) पर खोखला बिंदु होने से \(4\) शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ गोल कोष्ठक \(()\) लगेगा। चूँकि छायांकन दोनों बाहरी भागों में है, समाधान \(( -\infty,-2]\cup(4,\infty)\) होगा। विकल्प C में \(-2\) और \(4\) के शामिल होने की स्थिति उलट दी गई है। परीक्षा टिप: भरा बिंदु ‘शामिल’ और खोखला बिंदु ‘शामिल नहीं’ दर्शाता है। / A filled point includes \(-2\), so a square bracket is used at \(-2\). A hollow point excludes \(4\), so a parenthesis is used at \(4\). Since the shading is in the two outer rays, the solution is \(( -\infty,-2]\cup(4,\infty)\). Option C reverses the inclusion status of \(-2\) and \(4\). Exam tip: a filled point means included, while a hollow point means excluded.
दिए गए अंतराल में ( 2 ) शामिल है और ( 11 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( 2 ) हटेगा और ( 11 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( 2 ) and excludes ( 11 ). In the complement, ( 2 ) is removed and ( 11 ) is included.
A. \( x\le -3 \), ( -3 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -3 \), closed at ( -3 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( -4x\ge 12 \), इसलिए \( x\le -3 \) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / Solving gives \( -4x\ge 12 \), so \( x\le -3 \). Dividing by a negative number reverses the sign.
खुला बिंदु ( -1 ) को हटाता है और बंद बिंदु ( 9 ) को शामिल करता है। परीक्षा में पहले दोनों सिरों के प्रकार पहचानें। / The open dot excludes ( -1 ), and the closed dot includes ( 9 ). In exams, first identify the type of both endpoints.
C. \( x\le -1 \), ( -1 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -1 \), closed at ( -1 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( -2 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर \( 7-x\le -8 \) मिलता है। फिर \( -x\le -15 \) से \( x\ge 15 \) नहीं, सही सरलीकरण से \( x\ge 15 \) होता है। / Multiplying by ( -2 ) reverses the sign and gives \( 7-x\le -8 \). Then \( -x\le -15 \), so \( x\ge 15 \).
C. \( -\frac{2}{3} \) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/Open at \( -\frac{2}{3} \), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( > ) सीमा मान को शामिल नहीं करता और दाईं ओर बड़े मान होते हैं। भिन्न सीमा के लिए भी यही नियम लागू करें। / The sign ( > ) excludes the boundary, and greater values lie to the right. Apply the same rule for fractional boundaries.
B. सिर्फ ( -1 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -1 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतरालों का साझा भाग केवल ( -1 ) है। दोनों में ( -1 ) शामिल है इसलिए बंद बिंदु बनेगा। / The common part of both intervals is only ( -1 ). Since ( -1 ) is included in both, it becomes a closed dot.
दिए गए अंतराल में ( -6 ) शामिल है और ( -2 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( -6 ) हटेगा और ( -2 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( -6 ) and excludes ( -2 ). In the complement, ( -6 ) is removed and ( -2 ) is included.
बाईं ओर सख्त चिन्ह है इसलिए गोल कोष्ठक और दाईं ओर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक लगेगा। अंतराल में छोटा मान पहले लिखें। / The left side is strict, so use a round bracket, and the right side includes equality, so use a square bracket. Write the smaller value first in interval notation.
सरलीकरण से \( 6-3x\le x+10 \), इसलिए \( -4x\le 4 \) और \( x\ge -1 \)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिन्ह पलटता है। / Simplifying gives \( 6-3x\le x+10 \), so \( -4x\le 4 \) and \( x\ge -1 \). The sign reverses when dividing by a negative coefficient.
B. ( 4 ) पर खुला छेद होगा/There will be an open hole at ( 4 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतराल ( 4 ) को शामिल नहीं करते। इसलिए ( 4 ) पर खुला छेद और दोनों ओर छाया होगी। / Both intervals exclude ( 4 ). Therefore, there is an open hole at ( 4 ) with shading on both sides.
पहला भाग ( 0 ) को शामिल करता है और दूसरा भाग ( 0 ) से बड़े मान देता है। दोनों मिलकर पूरी वास्तविक रेखा बनाते हैं। / The first part includes ( 0 ), and the second gives values greater than ( 0 ). Together they form the whole real line.
\( 2<x\le 2 \) कोई संख्या संतुष्ट नहीं कर सकती। समान सीमा पर विरोधी शर्त हो तो अंतराल रिक्त होता है। / No number can satisfy \( 2<x\le 2 \). With equal boundaries and conflicting endpoint conditions, the interval is empty.
A. ( x<4 ), ( 4 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<4 ), open at ( 4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( 2x-3<5 ), इसलिए ( x<4 ) मिलता है। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Solving gives ( 2x-3<5 ), so ( x<4 ). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
दोनों सिरे खुले हैं इसलिए दोनों ओर गोल कोष्ठक लगते हैं। खुले बिंदु सीमा मान को शामिल नहीं करते। / Both endpoints are open, so round brackets are used on both sides. Open dots do not include boundary values.
A. ( x>2 ), ( 2 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>2 ), open at ( 2 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -3x<-6 ), इसलिए ( x>2 ) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलें। / Solving gives ( -3x<-6 ), so ( x>2 ). Reverse the inequality sign when dividing by a negative number.
A. \( -\frac{7}{4} \) बंद और \( \frac{1}{2} \) खुला/\( -\frac{7}{4} \) closed and \( \frac{1}{2} \) open
Explanation
Simple Explanation
\( \le \) वाला सिरा बंद और ( < ) वाला सिरा खुला होता है। भिन्नों को भी संख्या रेखा पर क्रम से रखें। / The endpoint with \( \le \) is closed and the endpoint with ( < ) is open. Place fractions in order on the number line.
C. \( \frac{5}{3} \) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at \( \frac{5}{3} \), shaded left
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक \( \frac{5}{3} \) को हटाता है और \( -\infty \) बाईं दिशा बताता है। अनंत पर कभी बंद बिंदु नहीं लगाया जाता। / The round bracket excludes \( \frac{5}{3} \), and \( -\infty \) indicates the left direction. Infinity never gets a closed endpoint.
B. सिर्फ ( -3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -3 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तें केवल ( x=-3 ) पर साथ सत्य हैं। एकल समाधान को बंद बिंदु से दिखाते हैं। / Both conditions are true together only at ( x=-3 ). A single solution is shown by a closed dot.
कोई संख्या एक साथ ( 4 ) से बड़ी और ( 4 ) से छोटी या बराबर नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त है। / No number can be both greater than ( 4 ) and less than or equal to ( 4 ). For AND, the intersection is empty.
\(-3 < x < 4\) में \(x\), \(-3\) और \(4\) के बीच के सभी मान लेता है, लेकिन दोनों सिरों को शामिल नहीं करता। इसलिए संख्या रेखा पर \(-3\) और \(4\) पर खुले वृत्त बनते हैं तथा उनके बीच का भाग छायांकित होता है; यह एक सीमित खुला अंतराल है। विकल्प B में दोनों सिरे शामिल हैं, इसलिए वह बंद अंतराल है। परीक्षा टिप: ‘<’ या ‘>’ के लिए खुला वृत्त और ‘≤’ या ‘≥’ के लिए भरा हुआ वृत्त बनाइए। / In \(-3 < x < 4\), x takes all values between \(-3\) and \(4\), but neither endpoint is included. Hence, the number line has open circles at \(-3\) and \(4\), with the segment between them shaded; this is a bounded open interval. Option B includes both endpoints, so it represents a closed interval. Exam tip: Use an open circle for ‘<’ or ‘>’ and a filled circle for ‘≤’ or ‘≥’.
पहली असमानता से ( x<6 ) और दूसरी से \( x\ge -2 \) मिलता है। दोनों शर्तों के लिए साझा भाग ( [-2,6) ) है। / The first inequality gives ( x<6 ), and the second gives \( x\ge -2 \). For both conditions, the common part is ( [-2,6) ).
