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((6,0)) रखने पर \(2\cdot6+3\cdot0=12\), इसलिए यह रेखा पर है। अक्ष-अवरोध वाले बिंदु ग्राफ के लिए सुविधाजनक होते हैं। / Substituting ((6,0)) gives \(2\cdot6+3\cdot0=12\), so it lies on the line. Intercept points are convenient for graphing.
((0,0)) दोनों समीकरण (x+y=0) और (2x-y=0) को संतुष्ट करता है। बाकी विकल्पों में प्रतिच्छेद मूलबिंदु नहीं है या रेखाएं संपाती हैं। / ((0,0)) satisfies both (x+y=0) and (2x-y=0). In the other options, the intersection is not the origin or the lines are coincident.
\(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\neq\frac{6}{15}\), इसलिए रेखाएं समांतर हैं। समांतर रेखाएं कभी नहीं मिलतीं। / \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\neq\frac{6}{15}\), so the lines are parallel. Parallel lines never meet.
संपाती के लिए \(\frac{p}{4}=\frac{3}{6}=\frac{9}{18}\), इसलिए (p=2)। संपाती स्थिति में सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। / For coincident lines, \(\frac{p}{4}=\frac{3}{6}=\frac{9}{18}\), so (p=2). In the coincident case, all ratios must be equal.
समांतर के लिए \(\frac{2}{4}=\frac{k}{6}\), इसलिए (k=3)। साथ ही \(\frac{8}{12}\neq\frac{1}{2}\), इसलिए वे संपाती नहीं हैं। / For parallel lines, \(\frac{2}{4}=\frac{k}{6}\), so (k=3). Also \(\frac{8}{12}\neq\frac{1}{2}\), so they are not coincident.
(x-y=1) से (y=x-1), इसे रखने पर (5x-1=11) से \(x=\frac{12}{5}\) नहीं, इसलिए विकल्प जांचें; ((2,1)) दोनों को संतुष्ट करता है। कठिन प्रश्नों में विकल्प सत्यापन तेज होता है। / From (x-y=1), (y=x-1), direct solving gives (5x-1=11), so \(x=\frac{12}{5}\); therefore none of the listed mental line assumptions fit except by checking, and ((2,1)) satisfies both. In hard questions, verify options carefully.
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखें, तब (-5y=10) और (y=-2)। अवरोध निकालते समय सही चर को शून्य रखें। / For the (y)-intercept, put (x=0), then (-5y=10) and (y=-2). For intercepts, set the correct variable to zero.
C. सभी बिंदु जो उस रेखा पर हैं/All points on that line
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण एक ही रेखा देते हैं, इसलिए उसी रेखा के सभी बिंदु समाधान हैं। ध्यान दें कि सभी क्रमित युग्म नहीं, केवल रेखा के बिंदु समाधान हैं। / Both equations give the same line, so all points on that line are solutions. Note that not all ordered pairs, only points on the line, are solutions.
((-2,5)) रखने पर (x+y=3) और (2x-y=-9) दोनों सही हैं। विकल्प जांचते समय बिंदु को दोनों समीकरणों में रखें। / Substituting ((-2,5)) gives (x+y=3) and (2x-y=-9), both true. Test the point in both equations.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। ऐसे प्रश्नों में पूरे समीकरण का गुणक देखें। / The second equation is (3) times the first, so both lines are coincident. In such questions, check the multiplier of the whole equation.
((4,0)) और ((0,3)) दोनों समीकरण (3x+4y=12) को संतुष्ट करते हैं। ग्राफ बनाते समय दो सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। / Both ((4,0)) and ((0,3)) satisfy (3x+4y=12). Two correct points are enough to draw a line.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
यहां \(\frac{5}{10}=\frac{2}{4}\neq\frac{10}{25}\), इसलिए रेखाएं समांतर होंगी। समांतर रेखाओं का कोई साझी बिंदु नहीं होता। / Here \(\frac{5}{10}=\frac{2}{4}\neq\frac{10}{25}\), so the lines are parallel. Parallel lines have no common point.
एक प्रतिच्छेद बिंदु का अर्थ एक अद्वितीय समाधान है। ऐसा युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। / One intersection point means one unique solution. Such a pair is called consistent and independent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में हर बिंदु समाधान होता है। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. In coincident lines, every point is a solution.
ऊर्ध्वाधर रेखा (x=5) और क्षैतिज रेखा (y=-3) का प्रतिच्छेद ((5,-3)) है। निर्देशांक का क्रम ((x,y)) याद रखें। / The vertical line (x=5) and the horizontal line (y=-3) intersect at ((5,-3)). Remember the order ((x,y)).
दोनों रेखाओं की ढाल (2) समान है, लेकिन अवरोध अलग हैं। समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ समांतर रेखाएं है। / Both lines have the same slope (2), but different intercepts. Equal slope and different intercepts mean parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। ग्राफ में एक ही रेखा दिखे तो अनंत समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. If one line overlaps the other, there are infinitely many solutions.
यहां \(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\neq\frac{12}{18}\), इसलिए रेखाएं समांतर हैं। परीक्षा में पहले अनुपात जांचें। / Here \(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\neq\frac{12}{18}\), so the lines are parallel. In exams, check ratios first.
A. बिंदु (\left\(\frac{15}{4},\frac{73}{16}\right\))/Point (\left\(\frac{15}{4},\frac{73}{16}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x+4y=22) से (x=22-4y), और पहले समीकरण में रखने पर \(y=\frac{73}{16}\)। फिर \(x=\frac{15}{4}\) है। / From (x+4y=22), (x=22-4y), and substituting in the first equation gives \(y=\frac{73}{16}\). Then \(x=\frac{15}{4}\).
संपाती रेखाओं के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर \(4x+6y=20\) प्राप्त होता है, जो पहले समीकरण \(4x+ay=20\) के समान है। अतः \(a=6\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(y\) का गुणांक 3 रहेगा, जिससे दोनों रेखाएँ संपाती नहीं होंगी। परीक्षा-युक्ति: संपाती रेखाओं के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) जाँचें। / For two lines to be coincident, the ratios of their corresponding coefficients and constant terms must be equal. Multiplying \(2x+3y=10\) by 2 gives \(4x+6y=20\), which must match \(4x+ay=20\). Hence, \(a=6\), so option A is correct. In option B, the coefficient of \(y\) would remain 3, and the two equations would not represent the same line. Exam tip: For coincident lines, check \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
दो रेखाओं के संपाती होने के लिए उनके संगत गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए: \(\frac{3}{3}=\frac{a}{4}=\frac{24}{24}\)। इससे \(\frac{a}{4}=1\), अतः \(a=4\)। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में याद रखें: संपाती रेखाओं के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है। / For two lines to be coincident, the ratios of their corresponding coefficients and constants must be equal: \(\frac{3}{3}=\frac{a}{4}=\frac{24}{24}\). Thus, \(\frac{a}{4}=1\), giving \(a=4\). Therefore, option B is correct. Exam tip: coincident lines satisfy \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
A. बिंदु (\left\(4,10\right\))/Point (\left\(4,10\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (3x=12), इसलिए (x=4) और (y=10)। संदर्भ कोई भी हो, प्रतिच्छेद बिंदु ही हल है। / Subtracting the equations gives (3x=12), so (x=4) and (y=10). Whatever the context, the intersection point is the solution.
प्रतिच्छेदन बिंदु \((2,4)\) दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में \(x=2\) और \(y=4\) रखने पर \(2k+4(4)=22\), अर्थात \(2k+16=22\)। इसलिए \(2k=6\) और \(k=3\), अतः विकल्प B सही है। जाँच के लिए दूसरे समीकरण में \(2+4=6\) भी सत्य है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेदन बिंदु दिए होने पर उसके निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखकर अज्ञात नियतांक ज्ञात करें। / The intersection point \((2,4)\) must satisfy both line equations. Substituting \(x=2\) and \(y=4\) into the first equation gives \(2k+4(4)=22\), or \(2k+16=22\). Hence, \(2k=6\) and \(k=3\), so option B is correct. As a check, the point also satisfies the second equation because \(2+4=6\). Exam tip: when the intersection point is given, substitute its coordinates into the equation containing the unknown parameter.
प्रतिच्छेद बिंदु \((4,2)\) दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में \(x=4\) और \(y=2\) रखने पर \(4+2a=11\) मिलता है। अतः \(2a=7\), इसलिए \(a=\frac{7}{2}\)। जाँच के लिए दूसरे समीकरण में रखने पर \(3(4)-2=10\), इसलिए दिया गया बिंदु संगत है। परीक्षा में प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात हो तो उसे प्रत्येक रेखा के समीकरण में रखकर अज्ञात पैरामीटर निकालें। / The intersection point \((4,2)\) must satisfy both line equations. Substituting \(x=4\) and \(y=2\) into the first equation gives \(4+2a=11\). Thus, \(2a=7\), so \(a=\frac{7}{2}\). As a check, the second equation gives \(3(4)-2=10\), confirming that the stated point is consistent. In an exam, when the intersection point is given, substitute its coordinates into the equation containing the unknown parameter.
A. बिंदु (\left\(5,3\right\))/Point (\left\(5,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (3x=15), इसलिए (x=5) और (y=3)। वास्तविक स्थिति में यही मिलन बिंदु है। / Subtracting the equations gives (3x=15), so (x=5) and (y=3). In a real situation this is the meeting point.
किसी रेखा पर स्थित बिंदु के निर्देशांक उस रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दिए गए बिंदु \(\left(4,5\right)\) को दूसरी रेखा \(kx+3y=23\) में रखने पर \(4k+3(5)=23\), अर्थात \(4k+15=23\)। इसलिए \(4k=8\) और \(k=2\)। पहला समीकरण भी सत्यापित होता है: \(4+5=9\)। परीक्षा-युक्ति: किसी रेखा पर स्थित बिंदु से अज्ञात पैरामीटर निकालने के लिए उसके निर्देशांक सीधे समीकरण में रखें। / The coordinates of a point lying on a line must satisfy the equation of that line. Substituting \(\left(4,5\right)\) into the second line, \(kx+3y=23\), gives \(4k+3(5)=23\), or \(4k+15=23\). Thus, \(4k=8\) and \(k=2\). The first equation is also verified because \(4+5=9\). Exam tip: To find an unknown parameter when a point lies on a line, substitute the point’s coordinates directly into the line equation.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर \(4y=24\), अतः \(y=6\)। अब \(4x-y=10\) में रखने पर \(4x-6=10\), इसलिए \(x=4\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((4,6)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट गए हैं और वह दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / The intersection point must satisfy both equations. Subtracting the second equation from the first gives \(4y=24\), so \(y=6\). Substituting this into \(4x-y=10\) gives \(4x-6=10\), hence \(x=4\). Therefore, the intersection point is \((4,6)\). Option B merely reverses the coordinates and does not satisfy both equations. Exam tip: always substitute the obtained point into both original equations to verify it.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों का उभयनिष्ठ हल होता है। पहले समीकरण में से दूसरे को घटाने पर \((3x+4y)-(3x-y)=31-11\), अर्थात् \(5y=20\), इसलिए \(y=4\)। अब \(3x-y=11\) में \(y=4\) रखने पर \(3x-4=11\), जिससे \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,4)\) है। परीक्षा में उत्तर जाँचने के लिए दोनों समीकरणों में \(x\) और \(y\) के मान अवश्य रखें। / The point of intersection is the common solution of both linear equations. Subtracting the second equation from the first gives \((3x+4y)-(3x-y)=31-11\), so \(5y=20\) and hence \(y=4\). Substituting \(y=4\) into \(3x-y=11\) gives \(3x-4=11\), which leads to \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,4)\). As an exam tip, verify the ordered pair in both equations before selecting the answer.
समीकरण \(2x+y=5\) में पहला बिंदु रखने पर \(2(-2)+9=5\) और दूसरा बिंदु रखने पर \(2(3)+(-1)=5\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों बिंदु इसी रेखा पर स्थित हैं। विकल्प B और D केवल एक बिंदु को संतुष्ट करते हैं, जबकि विकल्प C किसी भी दिए गए बिंदु को सही रूप से संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: रेखा का समीकरण जाँचने के लिए दिए गए दोनों क्रमित युग्मों को उसमें प्रतिस्थापित करें। / Substituting the first point in \(2x+y=5\) gives \(2(-2)+9=5\), and substituting the second point gives \(2(3)+(-1)=5\). Thus, both points lie on this line. Options B and D satisfy only one of the points, while option C does not correctly satisfy either given point. Exam tip: To verify the equation of a line, substitute both given ordered pairs into it.
