Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (36) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
यह ((4x-3k)2=0) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं। / It can be written as ((4x-3k)2=0). Therefore both roots are equal and real.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{11}{30}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{11}{30}\).
यदि मूलों का योग (15) और गुणनफल (54) है, तो समीकरण \(x^2-15x+54=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (15) and product is (54), the equation is \(x^2-15x+54=0\). Remember the monic form formula.
क्षेत्रफल ((x+8)(x-5)=104) होगा। विस्तार से \(x^2+3x-40=104\), इसलिए \(x^2+3x-144=0\)। / The area is ((x+8)(x-5)=104). Expanding gives \(x^2+3x-40=104\), so \(x^2+3x-144=0\).
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=6\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=-16\) है। इसलिए योग धनात्मक और गुणनफल ऋणात्मक है। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=6\) and the product is \(\frac{c}{a}=-16\). So the sum is positive and the product is negative.
दोनों मूल (-8) हैं, इसलिए योग (-16) है। यहाँ मूलों का योग (-b) है, अतः (b=16)। / Both roots are (-8), so the sum is (-16). Here the sum of roots is (-b), so (b=16).
मूल (2) और \(\frac{8}{3}\) हैं। उनका अंतर \(\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}\) है। / The roots are (2) and \(\frac{8}{3}\). Their difference is \(\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}\).
मूलों का गुणनफल (5m) है और एक मूल (5) है। इसलिए दूसरा मूल \(\frac{5m}{5}=m\) है। / The product of roots is (5m) and one root is (5). Hence the other root is \(\frac{5m}{5}=m\).
(r+3r=16) से (r=4) मिलता है, इसलिए मूल (4) और (12) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (48) होगा। / From (r+3r=16), we get (r=4), so the roots are (4) and (12). The constant term is the product of roots (48).
बाईं ओर \(x^2+9x+18+x^2+3x-10=2x^2+12x+8\) है। (70) घटाने पर \(2x^2+12x-62=0\) मिलता है। / The left side is \(x^2+9x+18+x^2+3x-10=2x^2+12x+8\). Subtracting (70) gives \(2x^2+12x-62=0\).
(\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9) है। यहाँ (18-27+9=0)। / (\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9). Here (18-27+9=0).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ (\left\(-\frac{6}{5}\right\)2-2\cdot\frac{1}{5}=\frac{26}{25})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{6}{5}\right\)2-2\cdot\frac{1}{5}=\frac{26}{25}).
मूलों का गुणनफल (24) है, इसलिए दूसरा मूल (6) होगा। योग (10) है और (-a=10), इसलिए (a=-10)। / The product of roots is (24), so the other root is (6). The sum is (10), and (-a=10), so (a=-10).
\(x^2+x+6=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot6=-23\) है। विवेचक में (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+6=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot6=-23\). Subtract the full (4ac) in the discriminant.
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{13}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{13}{9}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{13}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{13}{9}\).
A. \(p\leq -5\) या \(p\geq5\)/\(p\leq -5\) or \(p\geq5\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) चाहिए। यहाँ \(4p^2-100\geq0\), इसलिए \(p\leq-5\) या \(p\geq5\)। / For real roots, \(D\geq0\) is needed. Here \(4p^2-100\geq0\), so \(p\leq-5\) or \(p\geq5\).
समान मूलों के लिए (D=0), अतः ((-2m)2-144=0) होगा। इससे \(m^2=36\) और \(m=\pm6\) है। / For equal roots, (D=0), so ((-2m)2-144=0). This gives \(m^2=36\) and \(m=\pm6\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-11) रखने पर \(x^2+11x+30=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-11) gives (x^2+11x+30=0).\)
पूरे समीकरण को (10) से गुणा करने पर \(4x^2-2+5x+15=70\) मिलता है। इसलिए \(4x^2+5x-57=0\) नहीं बल्कि \(4x^2+5x-57=0\) मिलेगा। / Multiplying the whole equation by (10) gives \(4x^2-2+5x+15=70\). Therefore the standard form is \(4x^2+5x-57=0\).
विस्तार करने पर \(x^2+4x+4+2x^2-12x+18=35\) मिलता है। इसलिए \(3x^2-8x-13=0\) सही है। / Expanding gives \(x^2+4x+4+2x^2-12x+18=35\). Hence \(3x^2-8x-13=0\) is correct.
द्विघात होने के लिए \(k^2-25\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq5\) और \(k\neq-5\) दोनों शर्तें जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
((2x+5)(3x-4)=6x-2+7x-20) और (4(x-1)=4x-4) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(6x^2+3x-16=0\) नहीं बल्कि सही रूप \(6x^2+3x-16=0\) मिलता है। / Here ((2x+5)(3x-4)=6x-2+7x-20) and (4(x-1)=4x-4). Bringing all terms to one side gives \(6x^2+3x-16=0\).
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) और \(3x=3+3\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4+2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में घातों की गणना चरणों में करें। / \(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
