Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{17}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{17}{6}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{17}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{17}{6}\).
A. \(p\leq -6\) या \(p\geq6\)/\(p\leq -6\) or \(p\geq6\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(4p^2-144\geq0\), इसलिए \(p\leq-6\) या \(p\geq6\)। / For real roots, \(D\geq0\) is required. Here \(4p^2-144\geq0\), so \(p\leq-6\) or \(p\geq6\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-13) रखने पर \(x^2+13x+42=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-13) gives (x^2+13x+42=0).\)
पूरे समीकरण को (12) से गुणा करने पर \(9x^2+6-4x+20=72\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(9x^2-4x-46=0\) नहीं बल्कि \(9x^2-4x-46=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (12) gives \(9x^2+6-4x+20=72\). Therefore the standard form is \(9x^2-4x-46=0\).
विस्तार करने पर \(2x^2-4x+2+3x^2+12x+12=65\) मिलता है। सरल करने पर \(5x^2+8x-51=0\) सही है। / Expanding gives \(2x^2-4x+2+3x^2+12x+12=65\). Simplifying gives \(5x^2+8x-51=0\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
((3x-2)(2x+5)=6x-2+11x-10) और (4(x+1)=4x+4) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(6x^2+7x-14=0\) मिलता है। / Here ((3x-2)(2x+5)=6x-2+11x-10) and (4(x+1)=4x+4). Bringing all terms to one side gives \(6x^2+7x-14=0\).
क्षेत्रफल ((2x+1)(x-4)=45) होगा। विस्तार करने पर \(2x^2-7x-4=45\), इसलिए \(2x^2-7x-49=0\)। / The area is ((2x+1)(x-4)=45). Expanding gives \(2x^2-7x-4=45\), so \(2x^2-7x-49=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=q\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (58=100-2q), इसलिए (q=21)। / Here \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=q\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), (58=100-2q), so (q=21).
भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0) चाहिए। यहाँ (D=4(2k+1)), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / For distinct real roots, (D>0) is needed. Here (D=4(2k+1)), so \(k>-\frac{1}{2}\).
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर (3(x+1)2+2(x-3)2=60) मिलता है। सरल करने पर \(5x^2-6x-39=0\) सही रूप है। / Multiplying the whole equation by (6) gives (3(x+1)2+2(x-3)2=60). Simplifying gives the correct form \(5x^2-6x-39=0\).
समीकरण ((x-a)2-25=0) है, इसलिए मूल (a+5) और (a-5) हैं। उनका अंतर (10) है। / The equation is ((x-a)2-25=0), so the roots are (a+5) and (a-5). Their difference is (10).
यहाँ \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=-27\) है। इसलिए (\alpha\beta+3\alpha+3\beta=-27+3(6)=-9)। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=-27\). Thus (\alpha\beta+3\alpha+3\beta=-27+3(6)=-9).
क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(x+3)(x+7)=55) होगा। इसलिए ((x+3)(x+7)=110) और \(x^2+10x-89=0\)। / The area is (\frac{1}{2}(x+3)(x+7)=55). Thus ((x+3)(x+7)=110) and \(x^2+10x-89=0\).
(\(\alpha-5\)\(\beta-5\)=\alpha\beta-5\(\alpha+\beta\)+25) है। यहाँ (35-60+25=0)। / (\(\alpha-5\)\(\beta-5\)=\alpha\beta-5\(\alpha+\beta\)+25). Here (35-60+25=0).
मूलों का योग (4+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (4+p=-p), जिससे (p=-2) मिलता है। / The sum of roots is (4+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (4+p=-p), giving (p=-2).
मूलों का योग (7) और गुणनफल (3) है। इसलिए \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+9=16\)। / The sum of roots is (7) and the product is (3). Therefore \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+9=16\).
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2+2x+25\) और दाईं ओर \(x^2-2x+1\) है। घटाने पर \(x^2+4x+24=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2+2x+25\) and right side \(x^2-2x+1\). Subtracting gives \(x^2+4x+24=0\).
(a=-2) रखने पर \(0x^2+0x+7=0\) मिलता है। यह (7=0) है, जो विरोधाभासी कथन है। / Putting (a=-2) gives \(0x^2+0x+7=0\). This is (7=0), which is a contradictory statement.
मूलों का योग (5) है, इसलिए (b=-5), और गुणनफल (-36) है, इसलिए (c=-36)। अतः (b+c=-41)। / The sum of roots is (5), so (b=-5), and the product is (-36), so (c=-36). Therefore (b+c=-41).
मूलों का योग (5) और गुणनफल (-14) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=125+210=335)। / The sum of roots is (5) and the product is (-14). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=125+210=335).
गुणनफल (7) और योग \(-\frac{k}{4}\) है। (7=-2\left\(-\frac{k}{4}\right\)) से (k=14) मिलता है। / The product is (7) and the sum is \(-\frac{k}{4}\). From (7=-2\left\(-\frac{k}{4}\right\)), we get (k=14).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-121) रखने पर \(x^2-121=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-121) gives (x^2-121=0).\)
(x=2) रखने पर बायां पक्ष (4k-14+3=4k-11) होता है। मूल न होने के लिए \(4k-11\neq0\), इसलिए \(k\neq\frac{11}{4}\)। / Putting (x=2), the left side becomes (4k-14+3=4k-11). For it not to be a root, \(4k-11\neq0\), so \(k\neq\frac{11}{4}\).
समान मूलों के लिए \(p^2-100=0\) से \(p=\pm10\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-10)। / For equal roots, \(p^2-100=0\) gives \(p=\pm10\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-10).
