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algebra-real-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
(x-2+x+1=x-2(x+1)) से \(x^3-x-1=0\) नहीं, सही समीकरण \(x^2+x+1=x^3+x^2\) है। इसे जाँचने पर दिए विकल्प सही नहीं हैं। / From (x-2+x+1=x-2(x+1)), the equation is \(x^3-x-1=0\). The listed integer pairs are not exact solutions.
((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (2) है। गुणन में प्रमुख पदों का गुणन पहले देखें। / ((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), so the coefficient of \(x^2\) is (2). In multiplication, check the leading terms first.
हर में \(\sqrt{x+2}\) है, इसलिए (x+2>0) चाहिए। अतः (x>-2), भले ही अंश कहीं भी परिभाषित हो। / The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. Hence (x>-2), regardless of where the numerator is defined.
दोनों वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए, इसलिए \(x-1\ge0\) और \(3-x\ge0\)। अतः \(1\le x\le3\)। / Both square roots must be defined, so \(x-1\ge0\) and \(3-x\ge0\). Hence \(1\le x\le3\).
\(\frac{1}{x^2-1}\) में \(x^2-1\ne0\), इसलिए \(x\ne\pm1\)। बहुपद (g(x)) प्रांत को सीमित नहीं करता। / In \(\frac{1}{x^2-1}\), \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). The polynomial (g(x)) does not restrict the domain.
((f+g)(x)=4x-2+2), अतः ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18)। पहले फलनों को जोड़ना गणना को आसान बनाता है। / ((f+g)(x)=4x-2+2), so ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18). Adding functions first makes calculation easier.
((f-g)(x)=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) और बाकी जगह धनात्मक है। वर्ग रूप कठिन असमानताओं में तेज संकेत देता है। / ((f-g)(x)=(x-1)2), which is (0) at (x=1) and positive elsewhere. A square form gives a quick clue in inequalities.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) है। अतः (>0) सभी \(x\ne1\) के लिए होना चाहिए, इसलिए दिए विकल्पों में कोई? / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) at (x=1). Therefore (>0) holds for all \(x\ne1\); none of the broad options is exact.
(f(0)=\frac{1}{-1}=-1) और (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), इसलिए योग (-2) है। पहले जाँचें कि दिया गया (x) प्रांत में है। / (f(0)=\frac{1}{-1}=-1) and (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), so the sum is (-2). First check whether the given (x) lies in the domain.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है और (x=2) निषिद्ध है। गुणनखंडन के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3) and (x=2) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) और हर में \(\sqrt{4-x}\) के लिए (4-x>0)। इसलिए \(0\le x<4\)। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and for denominator \(\sqrt{4-x}\), (4-x>0). Hence \(0\le x<4\).
((fg)(x)=x-3), जो विषम फलन है। सम और विषम फलन का गुणनफल विषम हो सकता है। / ((fg)(x)=x-3), which is an odd function. The product of an even and an odd function can be odd.
दोनों \(x^2\) और (|x|) सम फलन हैं, इसलिए उनका योग भी सम है। समता जाँचने के लिए (x) के स्थान पर (-x) रखें। / Both \(x^2\) and (|x|) are even functions, so their sum is even. To test evenness, replace (x) by (-x).
((f+g)(x)=x-3+2x) और ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x))। विषम फलनों का योग सामान्यतः विषम होता है। / ((f+g)(x)=x-3+2x) and ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x)). The sum of odd functions is generally odd.
A. \(x\le-3\) या \(x\ge3,\ x\ne4\)/\(x\le-3\) or \(x\ge3,\ x\ne4\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2-9}\) के लिए \(x^2-9\ge0\) और भिन्न के लिए \(x\ne4\)। इसलिए \(x\le-3\) या \(x\ge3\), पर (x=4) हटेगा। / For \(\sqrt{x^2-9}\), \(x^2-9\ge0\), and for the fraction \(x\ne4\). Thus \(x\le-3\) or \(x\ge3\), but (x=4) is removed.
यद्यपि गुणनफल (1) बनता है, मूल फलनों में (x=0) और (x=1) निषिद्ध हैं। सरलीकरण से पहले प्रांत तय करना सुरक्षित तरीका है। / Although the product becomes (1), the original functions exclude (x=0) and (x=1). It is safer to decide the domain before simplification.
समान \(x^2\) पद कट जाते हैं और (2x-(-2x)=4x) मिलता है। घटाव में दूसरी पूरी फलन का चिह्न बदलता है। / The equal \(x^2\) terms cancel and (2x-(-2x)=4x). In subtraction, the sign of the whole second function changes.
\(x\ge2\) पर (|x-2|=x-2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक प्रश्नों में अंतराल बनाकर हल करें। / For \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so the difference is (0). For modulus questions, solve by splitting intervals.
((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), इसलिए ((2f-3g)(4)=17)। रैखिक संयोजन में चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / ((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), hence ((2f-3g)(4)=17). In linear combinations, pay close attention to signs.
((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), इसलिए (x=4) पर मान (17) नहीं बल्कि (17)? जाँचें: (28-11=17)। / ((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), so at (x=4) the value is (17). Always simplify before substituting.
(\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर (x=-2) निषिद्ध रहेगा। कटाव के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / (\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but (x=-2) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद है, इसलिए \(5-x\ge0\) और \(x+1\ge0\)। अतः \(-1\le x\le5\)। / The domain of a product is the intersection of both domains, so \(5-x\ge0\) and \(x+1\ge0\). Hence \(-1\le x\le5\).
हर समान करने पर अंश ((x+1)+(x-3)=2x-2) मिलता है। सरल करते समय मूल प्रतिबंध \(x\ne3,-1\) भी याद रखें। / Using a common denominator gives numerator ((x+1)+(x-3)=2x-2). While simplifying, remember original restrictions \(x\ne3,-1\).
योग का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए \(x\ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या अधिक रखें। / The domain of a sum is the intersection of both domains, so \(x\ge 2\). In exams, keep the radicand of a square root non-negative.
(f(x)) के लिए \(x\geq1\) और (g(x)) के लिए \(x\neq3\), इसलिए (fg) का प्रांत \([1,\infty\)-{3}) है। उत्पाद के प्रांत में दोनों फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें। / For (f(x)), \(x\geq1\), and for (g(x)), \(x\neq3\), so the domain of (fg) is \([1,\infty\)-{3}). For product domains, take the intersection of the domains of both functions.
यहाँ (f(2)=1) और (g(2)=5), इसलिए (h(2)=2\cdot1-5=-3)। परीक्षा में पहले अलग-अलग फलनों का मान निकालें, फिर बीजगणितीय क्रिया करें। / Here (f(2)=1) and (g(2)=5), so (h(2)=2\cdot1-5=-3). In exams, first find individual function values, then apply the algebraic operation.
((fg)(x)=(x-2)(x+2)=x-2-4), इसलिए ((fg)(x)+4=x-2)। difference of squares का उपयोग करें। / ((fg)(x)=(x-2)(x+2)=x-2-4), so ((fg)(x)+4=x-2). Use the difference of squares identity.
((f+2g+h)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2)। coefficients को सही function से जोड़ें। / ((f+2g+h)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2). Attach each coefficient to the correct function.
(g(-1)=0), इसलिए quotient (-1) पर defined नहीं है। cancel करने से पहले original denominator check करें। / (g(-1)=0), so the quotient is not defined at (-1). Check the original denominator before cancellation.
((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), पर मूल (f(x)) के कारण \(x\neq 1\)। simplification के साथ domain restriction लिखें। / ((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), but because of the original (f(x)), \(x\neq 1\). Write the domain restriction with the simplification.
