100 results found for "Math Introduction To Probability Tables Of Outcomes" in Class 10.
C. (1400) रुपये(1400) rupees
यदि कुर्सी (c) और मेज (t) हो तो (3c+2t=4900), (2c+3t=5600)। विलोपन से (t=1400) मिलता है। / Let chair be (c) and table be (t), so (3c+2t=4900), (2c+3t=5600). Elimination gives (t=1400).
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What was the importance of the Twelve Tables in Roman law?
B. उन्होंने कानूनों को सार्वजनिक रूप दियाThey made laws public
ट्वेल्व टेबल्स ने रोमन कानूनों को लिखित और सार्वजनिक बनाया। परीक्षा में इसे विधि विकास का आधार मानें। / The Twelve Tables made Roman laws written and public. For exams treat them as a basis of legal development.
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Why are the Roman Twelve Tables important in the background of the patrician-plebeian conflict?
A. कानून लिखित और अधिक सार्वजनिक हुएLaws became written and more public
बारह पट्टिकाओं ने नागरिकों को कानून की स्पष्ट जानकारी दी। परीक्षा में इन्हें अधिकार संघर्ष से जोड़ें। / The Twelve Tables gave citizens clearer knowledge of law. Connect them with the struggle for rights.
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What was the main effect of the Roman Twelve Tables on civic society?
A. कानून अधिक लिखित और सार्वजनिक हुएLaws became more written and public
बारह पट्टिकाओं ने रोमन कानून को लिखित रूप में स्पष्ट किया। परीक्षा में इन्हें विधि परंपरा से जोड़ें। / The Twelve Tables clarified Roman law in written form. Connect them with legal tradition.
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What was the main importance of the Roman Twelve Tables for common citizens?
A. कानून लिखित और अधिक सार्वजनिक हुएLaws became written and more public
बारह पट्टिकाओं ने कानून को सार्वजनिक लिखित रूप दिया। परीक्षा में इन्हें रोमन विधि परंपरा से जोड़ें। / The Twelve Tables made laws public and written. Connect them with the Roman legal tradition.
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What is the general historical significance of the Roman Twelve Tables?
A. कानून को लिखित और सार्वजनिक बनानाMaking law written and public
बारह पट्टिकाओं ने रोमन कानून को लिखित रूप में स्पष्ट किया। परीक्षा में इन्हें विधि परंपरा से जोड़ें। / The Twelve Tables clarified Roman law in written form. Connect them with legal tradition in exams.
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What change did the Twelve Tables bring regarding law in Roman society?
A. कानून को लिखित और अधिक सार्वजनिक बनायाMade law written and more public
बारह पट्टिकाओं ने कानून को लिखित रूप में सामने रखा। परीक्षा में इसे रोमन विधि परंपरा की शुरुआत से जोड़ें। / The Twelve Tables presented laws in written form. Link them with the beginning of Roman legal tradition in exams.
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Why were the Roman Twelve Tables important for common citizens?
B. कानून लिखित रूप में स्पष्ट हुएLaws became clear in written form
बारह पट्टिकाओं ने कानूनों को लिखित और सार्वजनिक बनाया। परीक्षा में इन्हें रोमन विधि परंपरा से जोड़ें। / The Twelve Tables made laws written and public. Connect them with the Roman legal tradition in exams.
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Why are the Roman Twelve Tables historically important?
A. वे रोमन कानून का प्रारंभिक लिखित रूप थींThey were an early written form of Roman law
बारह पट्टिकाएं रोमन कानून की प्रारंभिक लिखित संहिता थीं। परीक्षा में इन्हें नागरिक अधिकार और कानून से जोड़ें। / The Twelve Tables were an early written code of Roman law. In exams, connect them with citizens' rights and law.
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The Roman Twelve Tables were an early written expression of what?
A. रोमन कानूनRoman law
बारह पट्टिकाएं रोमन कानून का प्रारंभिक लिखित रूप थीं। परीक्षा में इन्हें नागरिक अधिकार और कानून से जोड़ें। / The Twelve Tables were an early written form of Roman law. In exams, connect them with rights and law.
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The Roman Twelve Tables were related to which field?
B. कानूनLaw
बारह पट्टिकाएं रोमन कानून का आरंभिक लिखित रूप थीं। इन्हें रोमन न्याय व्यवस्था से याद रखें। / The Twelve Tables were an early written form of Roman law. Remember them with the Roman legal system.
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Why were Arab Spring outcomes different in different countries?
A. राज्य संस्थाएं सेना नेतृत्व और समाज की स्थितियां अलग थींState institutions army leadership and social conditions differed
एक ही क्षेत्र के आंदोलनों के परिणाम स्थानीय संदर्भ से बदलते हैं। परीक्षा में समानता के साथ अंतर भी लिखें। / Outcomes of movements in one region change with local context. For exams write differences along with similarities.
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What lesson about revolutionary movements is learned from the varied outcomes of the Arab Spring?
A. समान नारों के बावजूद संस्थाएं सेना और समाज परिणामों को अलग बना सकते हैंDespite similar slogans institutions army and society can make outcomes different
अरब वसंत को देशवार संदर्भ में समझना जरूरी है। परीक्षा में एक समान निष्कर्ष से बचें। / The Arab Spring must be understood country by country. For exams avoid one uniform conclusion.
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What do the varied outcomes of the Arab Spring indicate to historians?
A. जन आंदोलनों के परिणाम देश की संस्थाओं और सत्ता संरचना पर निर्भर करते हैंOutcomes of mass movements depend on institutions and power structures of each country
अरब स्प्रिंग के परिणाम अलग अलग देशों में भिन्न रहे। परीक्षा में कारण और परिणाम को अलग अलग पढ़ें। / Arab Spring outcomes differed across countries. Exam tip: study causes and results separately.
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B. हर बार संभावना फिर से लगभग आधी रहती हैEach time the chance is again about one half
हर गर्भधारण में शुक्राणु स्वतंत्र रूप से एक्स या वाई ला सकता है। / In each pregnancy, a sperm independently carries X or Y.
पहले जन्मे बच्चों से अगली संभावना तय नहीं होती। / Previous births do not decide the next chance.
इसलिए पाँचवें बच्चे में लड़का होने की संभावना फिर लगभग आधी मानी जाती है। / So the chance of a boy is again about one half.
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A. एक चौथाईOne fourth
विषमयुग्मजी पीले पौधे में एक प्रभावी और एक अप्रभावी कारक होता है। / A heterozygous yellow plant has one dominant and one recessive factor.
हरा रंग तभी दिखेगा जब दोनों अप्रभावी कारक मिलेंगे। / Green color appears only when both recessive factors come together.
ऐसे संकरण में हरे बीजों की संभावना एक चौथाई होती है। / In this cross, the chance of green seeds is one fourth.
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B. (2070)
प्लेटों की संख्या \(30,40,50,\ldots\) है और \(S_{18}=2070\)। परीक्षा में प्रत्येक मेज को समान्तर श्रेणी का एक पद मानें। / The plate numbers are \(30,40,50,\ldots\) and \(S_{18}=2070\). Exam tip: treat each table as one term of the AP.
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C. (1344)
प्लेटों की संख्या \(24,32,40,\ldots\) है और \(S_{16}=1344\)। परीक्षा में प्रत्येक मेज को समान्तर श्रेणी का एक पद मानें। / The plate numbers are \(24,32,40,\ldots\) and \(S_{16}=1344\). Exam tip: treat each table as one term of the AP.
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B. (930)
प्लेटों की संख्या \(20,26,32,\ldots\) है और \(S_{15}=930\)। परीक्षा में प्रत्येक मेज को समान्तर श्रेणी का एक पद मानें। / The plate numbers are \(20,26,32,\ldots\) and \(S_{15}=930\). Exam tip: treat each table as one term of the AP.
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C. (665)
प्लेटों की संख्या \(15,20,25,\ldots\) है और \(S_{14}=665\)। परीक्षा में प्रत्येक मेज को समान्तर श्रेणी का एक पद मानें। / The plate numbers are \(15,20,25,\ldots\) and \(S_{14}=665\). Exam tip: treat each table as one term of the AP.
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A. (429)
प्लेटों की संख्या \(9,13,17,\ldots\) है और \(S_{13}=429\)। परीक्षा में प्रत्येक मेज को समान्तर श्रेणी का एक पद मानें। / The plate numbers are \(9,13,17,\ldots\), and \(S_{13}=429\). Exam tip: treat each table as one term of the AP.
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B. (252)
प्लेटों की संख्या \(10,12,14,\ldots\) है। \(S_{12}=252\) होगा। / The number of plates is \(10,12,14,\ldots\). \(S_{12}=252\).
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B. (132)
प्लेटों की संख्या \(6,9,12,\ldots\) है। \(S_8=132\) होगा। / The number of plates is \(6,9,12,\ldots\). \(S_8=132\).
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B. (170)
प्लेटों की संख्या \(8,10,12,\ldots\) है। \(S_{10}=170\)। / The number of plates is \(8,10,12,\ldots\). \(S_{10}=170\).
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Why should both legitimacy and capacity be examined while evaluating revolutionary outcomes?
A. क्योंकि नई सरकार को स्वीकृति भी चाहिए और शासन चलाने की क्षमता भीBecause a new government needs acceptance and ability to govern
क्रांति सत्ता बदल सकती है पर स्थिर शासन के लिए वैधता और क्षमता जरूरी हैं। परीक्षा में परिणाम की गुणवत्ता जांचें। / A revolution can change power but stable rule needs legitimacy and capacity. For exams evaluate the quality of outcomes.
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C. लड़ाई अनिर्णायक रही पर ब्रिटिश समुद्री नियंत्रण बना रहाThe battle was indecisive but British sea control continued
जटलैंड में तत्काल लड़ाई और दीर्घकालीन समुद्री नियंत्रण अलग थे। परीक्षा में परिणामों को अलग स्तरों पर देखें। / At Jutland immediate battle outcome and long-term sea control were different. For exams view outcomes at different levels.
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Which statement is true for an arithmetic progression?
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता हैEach next term is obtained by adding the same number to the previous term
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है। / In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
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In an arithmetic progression, what does (d) represent?
C. सार्व अंतरCommon difference
(d) सार्व अंतर को दर्शाता है। परीक्षा में (a) और (d) की पहचान अलग रखें। / (d) represents the common difference. In exams identify (a) and (d) separately.
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What is the common difference of the sequence \(12,10,8,6,\ldots\)?
B. (-2)
सार्व अंतर (10-12=-2) है। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक हो सकता है। / The common difference is (10-12=-2). A decreasing progression can have a negative difference.
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What is a list called when the difference between consecutive terms is constant?
A. अंकगणितीय श्रेणीArithmetic progression
क्रमागत पदों का समान अंतर अंकगणितीय श्रेणी की मुख्य पहचान है। परीक्षा में पहले अंतर जांचें। / A constant difference between consecutive terms is the key sign of an arithmetic progression. In exams first check the differences.
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What is the discriminant of \(ax^2+bx+c=0\)?
C. \(b^2-4ac\)
विवेचक \(D=b^2-4ac\) होता है। इसे याद रखने से मूलों की प्रकृति समझना आसान होता है। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Remembering it helps in understanding the nature of roots.
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What is the general form of a quadratic equation?
A. \(ax^2+bx+c=0,\ a\neq 0\)
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है और \(a\neq 0\) होता है। परीक्षा में पहले मानक रूप पहचानें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x) and \(a\neq 0\). In exams identify the standard form first.
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Which of the following equations is a quadratic equation?
A. \(x^2+3x+2=0\)
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है। परीक्षा में सबसे पहले घात देखें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x). In exams first check the degree.
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If (3,x,11,y,19) are five consecutive terms of an AP, what are (x,y) and the common difference?
B. (x=7,y=15,d=4)
पहले और पांचवें पद के बीच (4) बराबर अंतराल हैं, इसलिए \(d=\frac{19-3}{4}=4\)। परीक्षा में दूर दिए गए पदों के बीच कुल अंतर को अंतरालों की संख्या से भाग दें। / There are (4) equal gaps between the first and fifth terms, so \(d=\frac{19-3}{4}=4\). In exams, divide the total difference between distant terms by the number of gaps.
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If \(a_n=An+B\), \(a_2=11\) and \(a_5=26\), what is the common difference?
C. (5)
\(a_5-a_2=3d=15\), इसलिए (d=5)। परीक्षा में रैखिक रूप में भी पदों के अंतर से (d) निकाला जा सकता है। / \(a_5-a_2=3d=15\), so (d=5). In exams, even for a linear form, (d) can be found from term differences.
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What is the common difference of \(100,97.5,95,92.5,\ldots\)?
B. (-2.5)
हर पद पिछले से (2.5) कम है, इसलिए (d=-2.5)। परीक्षा में घटते दशमलव अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह न भूलें। / Each term is (2.5) less than the previous one, so (d=-2.5). In exams, do not forget the negative sign in decreasing decimal sequences.
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In an AP, \(a_3=4\) and \(a_6=25\). What is the common difference?
A. (7)
\(a_6-a_3=3d=21\), इसलिए (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक का अंतर (3) है, (6) नहीं। / \(a_6-a_3=3d=21\), so (d=7). In exams, the term-number gap is (3), not (6).
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If (a,b,c) are in AP and each term is multiplied by (t), what will be the new common difference?
C. (t(b-a))
गुणन से हर अंतर (t) गुना हो जाता है। परीक्षा में स्केलिंग सीधे सामान्य अंतर पर भी लागू करें। / Multiplication makes every difference (t) times as large. In exams, apply scaling directly to the common difference.
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What is the common difference for the three terms (2a-3b,5a-b,8a+b)?
A. (3a+2b)
दोनों लगातार अंतर (3a+2b) हैं, इसलिए ये पद समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में दोनों अंतरों की समानता भी साथ-साथ जांचें। / Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.
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Is the sequence (a_n=(n-1)(n-2)) an AP?
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं हैNo, the consecutive difference is not constant
पद \(0,0,2,6,\ldots\) हैं और अंतर \(0,2,4,\ldots\) बदलते हैं। परीक्षा में गुणन रूप को फैलाकर या पहले पदों से जांचें। / The terms are \(0,0,2,6,\ldots\), and the differences \(0,2,4,\ldots\) change. In exams, expand the product or test initial terms.
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Which statement is correct for the sequence (y-6,y-2,y+2,y+6)?
B. समांतर श्रेणी है और (d=4)It is an AP and (d=4)
हर अगले पद में (4) जुड़ता है, इसलिए सामान्य अंतर (4) है। परीक्षा में चर वाला स्थिर भाग अंतर को नहीं बदलता। / Each next term adds (4), so the common difference is (4). In exams, a variable constant part does not change the difference.
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B. (-2)
योग अनुक्रम का अंतर (3+(-5)=-2) होगा। परीक्षा में समान क्रमांक वाले पदों के योग में अंतरों का भी योग करें। / The sum sequence has difference (3+(-5)=-2). In exams, for sums of corresponding terms, add the differences too.
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If \(a_7-a_2=35\) in an AP, what is the common difference?
C. (7)
\(a_7\) और \(a_2\) के बीच (5) अंतराल हैं, इसलिए (5d=35) और (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक घटाकर अंतराल पाएं। / There are (5) intervals between \(a_7\) and \(a_2\), so (5d=35) and (d=7). In exams, subtract term numbers to get intervals.
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In an AP, \(a_{n+2}-a_n=18\) for every (n). What is the common difference?
B. (9)
दो पद आगे जाने पर परिवर्तन (2d) होता है, इसलिए (2d=18) और (d=9)। परीक्षा में छलांगों की संख्या गिनें। / Moving two terms ahead changes the value by (2d), so (2d=18) and (d=9). In exams, count the number of jumps.
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B. (2d)
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें। / The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
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Is the sequence \(a_n=\frac{1}{2n+1}\) an AP?
D. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं हैNo, the consecutive difference is not constant
पद \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\) देते हैं और अंतर बदलते हैं। परीक्षा में हर बदलने वाले भिन्नों को अंतर से परखें। / The terms are \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractions with changing denominators by differences.
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The calendar dates (3,10,17,24,31) form a sequence. What is the common difference?
A. (7) दिन(7) days
हर अगली तारीख (7) दिन बाद है। परीक्षा में इकाई के साथ उत्तर देना अधिक स्पष्ट होता है। / Each next date is (7) days later. In exams, including the unit makes the answer clearer.
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What is the common difference of \(81,72,63,54,\ldots\)?
B. (-9)
हर कदम पर (9) घट रहा है, इसलिए (d=-9)। परीक्षा में अवरोही क्रम में अंतर ऋणात्मक रखें। / Each step subtracts (9), so (d=-9). In exams, keep the difference negative for descending order.
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Which information does not guarantee that an entire sequence is an AP?
C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\)Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\)
केवल पहले तीन पदों की जांच पूरे अनुक्रम के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में पूरी शर्त में हर (n) या सभी लगातार पद शामिल होने चाहिए। / Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
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The numbers (14,m,50) are consecutive terms of an AP. What are (m) and (d)?
B. (m=32,d=18)
मध्य पद \(m=\frac{14+50}{2}=32\) है और (d=18)। परीक्षा में तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(m=\frac{14+50}{2}=32\), and (d=18). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
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If \(a_n=4n+7\) and \(c_n=a_{n+1}-a_n\), what is the common difference of the sequence \(c_n\)?
A. (0)
यहां \(c_n=4\) हर (n) के लिए स्थिर है, इसलिए उसका सामान्य अंतर (0) है। परीक्षा में अंतरों के अनुक्रम को अलग अनुक्रम मानकर देखें। / Here \(c_n=4\) for every (n), so its common difference is (0). In exams, treat the sequence of differences as a separate sequence.
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For which (k) are (k,2k+1,5k-2,8k-5) four consecutive terms of an AP?
B. (k=2)
अंतर (k+1,3k-3,3k-3) हैं और बराबरी से (k=2) मिलता है। परीक्षा में चार पदों में सभी लगातार अंतर जांचें। / The differences are (k+1,3k-3,3k-3), and equality gives (k=2). In exams, check all consecutive differences for four terms.
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B. (12) किलोमीटर(12) kilometres
हर बार दूरी (12) किलोमीटर बढ़ती है। परीक्षा में वास्तविक जीवन प्रश्न में भी वही लगातार अंतर निकालें। / The distance increases by (12) kilometres each time. In word problems, still find the same consecutive difference.
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What is the common difference of \(x,x+\sqrt{5},x+2\sqrt{5},x+3\sqrt{5}\)?
B. \(\sqrt{5}\)
हर अगले पद में \(\sqrt{5}\) जुड़ता है। परीक्षा में चर (x) स्थिर भाग है, सामान्य अंतर नहीं। / Each next term adds \(\sqrt{5}\). In exams, the variable (x) is the fixed part, not the common difference.
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Is the sequence (a_n=2n+(-1)^n) an AP?
B. नहीं, लगातार अंतर बदलता हैNo, the consecutive difference changes
प्रारंभिक पद \(1,5,5,9,\ldots\) देते हैं, इसलिए अंतर स्थिर नहीं है। परीक्षा में ((-1)^n) वाले पदों को कुछ मान रखकर जांचें। / The initial terms are \(1,5,5,9,\ldots\), so the difference is not constant. In exams, test terms containing ((-1)^n) by substituting a few values.
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The first two terms of an AP are \(\lambda-4\) and \(3\lambda+2\). What is the common difference?
A. \(2\lambda+6\)
सामान्य अंतर दूसरा पद घटा पहला पद है, इसलिए (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6)। परीक्षा में कोष्ठक हटाते समय ऋण चिन्ह संभालें। / The common difference is second term minus first term, so (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6). In exams, handle the minus sign before brackets carefully.
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Is the sequence \(2,6,18,54,\ldots\) an AP?
C. नहीं, अंतर \(4,12,36,\ldots\) हैंNo, the differences are \(4,12,36,\ldots\)
लगातार अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में गुणन पैटर्न को समांतर श्रेणी न मानें। / The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, do not confuse a multiplicative pattern with an AP.
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Which statement is correct for the three terms (a-2b,a+b,a+4b)?
A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=3b)They are in AP and (d=3b)
दोनों लगातार अंतर (3b) हैं। परीक्षा में संतुलित प्रतीकात्मक पदों में अंतर सीधे निकालें। / Both consecutive differences are (3b). In exams, directly find differences in symbolic balanced terms.
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For valid (x), can \(\frac{1}{x-2},\frac{1}{x},\frac{1}{x+2}\) form an AP?
D. नहीं, कोई वैध (x) नहींNo, there is no valid (x)
मध्य पद की शर्त से \(x^2-4=x^2\) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में हरों के शून्य न होने की शर्त भी देखें। / The middle-term condition gives \(x^2-4=x^2\), which is impossible. In exams, also check that denominators are nonzero.
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What is the common difference of \(\frac{7}{8},\frac{5}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8},\ldots\)?
B. \(-\frac{1}{4}\)
\(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\)। परीक्षा में समान हर हो तो अंशों का अंतर तुरंत लें। / \(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\). In exams, with equal denominators, subtract numerators directly.
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Which statement is correct about \(1,3,6,10,15,\ldots\)?
C. समांतर श्रेणी नहीं है क्योंकि अंतर \(2,3,4,5,\ldots\) हैंIt is not an AP because the differences are \(2,3,4,5,\ldots\)
लगातार अंतर बढ़ते जा रहे हैं, इसलिए वे स्थिर नहीं हैं। परीक्षा में प्रसिद्ध पैटर्न होने से समांतर श्रेणी होना जरूरी नहीं। / The consecutive differences keep increasing, so they are not constant. In exams, a famous pattern need not be an AP.
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If \(a_n=mn+n\), what is the common difference of the sequence?
D. (m+1)
(a_n=(m+1)n) है, इसलिए (n) का गुणांक (m+1) है। परीक्षा में पहले समान पदों को मिलाकर रैखिक रूप बनाएं। / (a_n=(m+1)n), so the coefficient of (n) is (m+1). In exams, combine like terms before identifying the linear coefficient.
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If \(\alpha,\beta,\gamma\) are in AP and \(\alpha+\gamma=14\), what is \(\beta\)?
C. (7)
तीन पदों में \(2\beta=\alpha+\gamma\), इसलिए \(\beta=7\)। परीक्षा में मध्य पद को सिरों का औसत मानें। / For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
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For nonzero (r), \(r,r^2,r^3\) form an AP. What is the value of (r)?
A. (1)
शर्त \(2r^2=r+r^3\) से (r(r-1)2=0) मिलता है, इसलिए शून्येतर मान (1) है। परीक्षा में दी गई शून्येतर शर्त जरूर लगाएं। / The condition \(2r^2=r+r^3\) gives (r(r-1)2=0), so the nonzero value is (1). In exams, always apply the nonzero condition.
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D. (6)
उलटने पर हर कदम का अंतर विपरीत चिन्ह वाला हो जाता है। परीक्षा में उलटा क्रम (d) को (-d) कर देता है। / Reversing changes each step to the opposite sign. In exams, reverse order changes (d) to (-d).
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C. (12)
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें। / The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
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C. (-3)
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें। / Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
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Which option gives the first four terms of an AP with \(a_1=11\) and (d=-2)?
A. (11,9,7,5)
पहले पद (11) से हर बार (2) घटेगा। परीक्षा में (d) ऋणात्मक हो तो पद घटते हैं। / Starting from (11), subtract (2) each time. In exams, a negative (d) makes the terms decrease.
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Which condition correctly checks whether (a,b,c) are in AP?
D. (b-a=c-b)
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है। / In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
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If (p,q,r,s) are four consecutive terms of an AP, which relation is always true?
D. (p+s=q+r)
पद (p,p+d,p+2d,p+3d) रखने पर (p+s=q+r) मिलता है। परीक्षा में चार पदों के संबंध प्रतीकात्मक रूप से जांचें। / Writing the terms as (p,p+d,p+2d,p+3d) gives (p+s=q+r). In exams, verify four-term relations symbolically.
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Which statement is correct for \(\sqrt{3},\sqrt{12},\sqrt{27},\sqrt{48}\)?
A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\)It is an AP and \(d=\sqrt{3}\)
पद \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\) बनते हैं। परीक्षा में मूलों को सरल करके ही अंतर निकालें। / The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
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If (a_n=c-(n-1)r), what are the first term and common difference?
D. \(a_1=c,d=-r\)
(n=1) रखने पर \(a_1=c\) और हर अगले पद में (r) घटता है। परीक्षा में (a+d(n-1)) रूप से तुलना करें। / Putting (n=1) gives \(a_1=c\), and each next term subtracts (r). In exams, compare with the form (a+d(n-1)).
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C. \(-3.5^\circ\)
हर बार \(3.5^\circ\) की कमी है, इसलिए \(d=-3.5^\circ\)। परीक्षा में घटते अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह लगाएं। / Each step decreases by \(3.5^\circ\), so \(d=-3.5^\circ\). In exams, use a negative sign for a decreasing sequence.
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Which sequence is an AP with common difference (0.75)?
D. (2.5,3.25,4,4.75)
विकल्प में हर बार (0.75) की वृद्धि है। परीक्षा में दशमलवों में भी लगातार अंतर को ही कसौटी बनाएं। / In that option, each step increases by (0.75). In exams, use consecutive difference as the test even with decimals.
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If (x+1,2x+6,5x-2) are consecutive terms of an AP, what are (x) and (d)?
A. \(x=\frac{13}{2},d=\frac{23}{2}\)
अंतर बराबर करने पर (x+5=3x-8), इसलिए \(x=\frac{13}{2}\) और \(d=\frac{23}{2}\)। परीक्षा में भिन्न उत्तर से घबराएं नहीं। / Equating differences gives (x+5=3x-8), so \(x=\frac{13}{2}\) and \(d=\frac{23}{2}\). In exams, do not reject a fractional answer too quickly.
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In an AP, \(a_4=12\) and \(a_{10}=-6\). What is the common difference?
C. (-3)
\(a_{10}-a_4=6d=-18\), इसलिए (d=-3)। परीक्षा में पद-संख्या के अंतर को कुल परिवर्तन से भाग दें। / \(a_{10}-a_4=6d=-18\), so (d=-3). In exams, divide the total change by the gap in term numbers.
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What is the common difference of \(a_n=\frac{5n-3}{4}\)?
A. \(\frac{5}{4}\)
(n) का गुणांक \(\frac{5}{4}\) है। परीक्षा में भिन्न वाले रैखिक सूत्र में भी वही नियम लागू होता है। / The coefficient of (n) is \(\frac{5}{4}\). In exams, the same rule works for linear formulas with fractions.
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If a sequence has \(a_{n+1}-a_n=2n+1\), when will it be an AP?
D. कभी नहींNever
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती। / The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
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What is the common difference of \(2p-q,2p+2q,2p+5q,2p+8q,\ldots\)?
D. (3q)
हर अगले पद में (3q) जुड़ रहा है। परीक्षा में स्थिर भाग (2p) को अंतर समझने की गलती न करें। / Each next term adds (3q). In exams, do not mistake the constant part (2p) for the difference.
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The consecutive AP terms are (-17,z,23). What are (z) and the common difference?
D. (z=3,d=20)
मध्य पद सिरों का औसत है, इसलिए \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) और (d=20)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या जोड़ते समय चिन्ह सावधानी से रखें। / The middle term is the average of the extremes, so \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) and (d=20). In exams, handle signs carefully when averaging negatives.
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If (4t+1,t+10,-t+21) are consecutive terms of an AP, what are (t) and (d)?
C. (t=-2,d=15)
बराबर अंतर से (-3t+9=-2t+11), इसलिए (t=-2) और (d=15)। परीक्षा में दूसरे से पहला और तीसरे से दूसरा पद घटाएं। / Equal differences give (-3t+9=-2t+11), so (t=-2) and (d=15). In exams, subtract first from second and second from third.
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Is the sequence \(1,8,27,64,\ldots\) an AP?
D. नहीं, अंतर \(7,19,37,\ldots\) हैंNo, the differences are \(7,19,37,\ldots\)
लगातार अंतर बराबर नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में नाम या पैटर्न नहीं, अंतर की स्थिरता जांचें। / The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, test constancy of differences, not just the visible pattern.
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What is the common difference of the sequence \(a_n=9-5n\)?
A. (-5)
(n) का गुणांक (-5) है, इसलिए वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में रैखिक पद में (n) का गुणांक तुरंत देखें। / The coefficient of (n) is (-5), so it is the common difference. In exams, first check the coefficient of (n) in a linear term.
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B. (-d)
उलटे क्रम में हर कदम पर (d) घटता है, इसलिए नया अंतर (-d) है। परीक्षा में क्रम बदलने से अंतर का चिन्ह बदल सकता है। / In the reversed order, each step subtracts (d), so the new difference is (-d). In exams, reversing the order can change the sign of the difference.
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Is the sequence \(a_n=\frac{n+1}{n}\) an AP?
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं हैNo, the consecutive difference is not constant
पहले पद \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\) देते हैं और अंतर बदलते हैं। परीक्षा में भिन्नीय (n) वाले रूप को अंतर से जांचें। / The first terms are \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractional forms in (n) by differences.
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What is the common difference of \(\frac{2}{3},\frac{1}{6},-\frac{1}{3},-\frac{5}{6},\ldots\)?
B. \(-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\) और आगे भी यही अंतर है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्नों के साथ समान हर का प्रयोग करें। / \(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\), and the same difference continues. In exams, use common denominators with negative fractions.
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For which (x) do the terms (2x+3,5x-1,8x-5) form an AP?
C. हर वास्तविक (x)Every real (x)
दोनों अंतर (3x-4) हैं, इसलिए हर वास्तविक (x) पर समांतर श्रेणी बनती है। परीक्षा में यदि दोनों अंतर समान अभिव्यक्ति हों तो कोई अलग हल नहीं चाहिए। / Both differences are (3x-4), so the terms form an AP for every real (x). In exams, if both differences are identical expressions, no separate solving is needed.
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Which statement is correct for the three terms (u-v,u,u+v)?
A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=v)They are in AP and (d=v)
लगातार अंतर (v) और (v) हैं, इसलिए वे समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में संतुलित रूप (u-v,u,u+v) तुरंत पहचानें। / The consecutive differences are (v) and (v), so they are in AP. In exams, recognize the balanced form (u-v,u,u+v) quickly.
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If (a,b,c) are in AP and (a+b+c=27), what is the middle term (b)?
C. (9)
तीन समांतर श्रेणी पदों का योग (3b) होता है, इसलिए (b=9)। परीक्षा में तीन पदों को (b-d,b,b+d) मानना उपयोगी है। / The sum of three AP terms is (3b), so (b=9). In exams, write three terms as (b-d,b,b+d).
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B. (7)
हर पद से समान संख्या घटाने पर अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान घटाव को केवल पहला पद बदलने वाला समझें। / Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
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B. (-3d)
गुणन से सभी अंतर उसी गुणक से गुणा होते हैं, इसलिए नया अंतर (-3d) है। परीक्षा में रूपांतरण का असर अंतर पर लगाएं। / Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
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If (x,y,z) are in AP and (r) is added to each, what is the common difference of the new three terms?
A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगाIt remains the old common difference
हर पद में समान संख्या जोड़ने से लगातार अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान स्थानांतरण को अंतर पर असरहीन मानें। / Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
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D. (8)
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है। / Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
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What is the common difference of \(0.2,0.02,-0.16,-0.34,\ldots\)?
A. (-0.18)
(0.02-0.2=-0.18) और आगे भी वही अंतर है। परीक्षा में दशमलव घटाते समय स्थान-मूल्य मिलाएं। / (0.02-0.2=-0.18), and the same difference continues. In exams, align place values when subtracting decimals.
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In which sequence are the first term and the common difference equal?
A. \(6,12,18,24,\ldots\)
पहला पद (6) और सामान्य अंतर भी (6) है। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग-अलग पहचानें। / The first term is (6) and the common difference is also (6). In exams, identify the first term and the difference separately.
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What are the first term and common difference of (a_n=12-7(n-1))?
C. \(a_1=12,d=-7\)
यह (a+d(n-1)) रूप है, इसलिए \(a_1=12\) और (d=-7)। परीक्षा में कोष्ठक के चिन्ह को न बदलें। / This is in the form (a+d(n-1)), so \(a_1=12\) and (d=-7). In exams, do not lose the sign before the bracket.
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Is the sequence (a_n=(-1)^n n) an AP?
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं हैNo, the consecutive difference is not constant
पदों के चिन्ह बदलते हैं और अंतर समान नहीं रहता। परीक्षा में वैकल्पिक चिन्ह वाले अनुक्रम को अंतर से ही परखें। / The signs alternate and the difference does not remain the same. In exams, test alternating-sign sequences by differences only.
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Can (3q+2,q-4,-q+10) be consecutive terms of an AP for some (q)?
D. नहीं, कोई (q) नहींNo, no (q)
अंतर बराबर करने पर (-2q-6=-2q+14) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में कभी-कभी चर कटने पर विरोधाभास मिलता है। / Equating differences gives (-2q-6=-2q+14), which is impossible. In exams, cancellation of the variable can produce a contradiction.
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Which option shows a decreasing AP?
C. \(20,17,14,11,\ldots\)
यहां सामान्य अंतर (-3) है, इसलिए पद घट रहे हैं। परीक्षा में घटती समांतर श्रेणी का (d) ऋणात्मक होता है। / Here the common difference is (-3), so the terms are decreasing. In exams, a decreasing AP has negative (d).
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The consecutive AP terms are (-11,y,5). What are (y) and the common difference?
B. (y=-3,d=8)
मध्य पद \(y=\frac{-11+5}{2}=-3\) है और (d=8)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं के औसत में सावधानी रखें। / The middle term is \(y=\frac{-11+5}{2}=-3\), and (d=8). In exams, be careful while averaging negative numbers.
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