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ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
( -0.00008 ) का परिमाण 0.00008 है, जो 0.0008 से छोटा है; इसलिए ( -0.00008 ) शून्य के अधिक निकट है और बड़ा है। ( -0.0008 ) संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होगा। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय छोटे परिमाण वाली संख्या को बड़ा मानें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. The magnitude of ( -0.00008 ) is 0.00008, which is smaller than 0.0008; therefore, ( -0.00008 ) is closer to zero and is greater. ( -0.0008 ) lies further to the left on the number line. Exam tip: When comparing negative decimals, the number with the smaller magnitude is greater.
A. प्रत्येक वास्तविक संख्या का संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु होता है/Every real number has a unique point on the number line.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं; जैसे \(\sqrt{2}\) भी संख्या रेखा पर एक निश्चित बिंदु है। कोई एक बिंदु दो वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं करता। परीक्षा टिप: संख्या–बिंदु की एक-एक संगति याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers; for example, \(\sqrt{2}\) has a definite point on the number line. A single point cannot represent two real numbers. Exam tip: remember the one-to-one correspondence between real numbers and points.
संख्या रेखा पर मूलबिंदु O से 3 इकाई दूर बिंदु A लें। A पर 1 इकाई लंबाई का लंब AB खींचें। O को केंद्र और OB को त्रिज्या मानकर खींचा गया चाप संख्या रेखा को P पर काटता है। P किस संख्या को निरूपित करता है?
समकोण त्रिभुज OAB में OA = 3 और AB = 1 है। अतः OB² = 3² + 1² = 10, इसलिए OB = \(\sqrt{10}\)। चाप P को O से \(\sqrt{10}\) दूरी पर रखता है। परीक्षा में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / In right triangle OAB, OA = 3 and AB = 1. Thus, OB² = 3² + 1² = 10, so OB = \(\sqrt{10}\). The arc places P at a distance \(\sqrt{10}\) from O. In such constructions, apply Pythagoras’ theorem first.
-0.03 को -0.0300 लिखा जा सकता है। अब तुलना करने पर -0.0300, -0.0302 से बड़ा है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वही बड़ी होती है। इसलिए सही उत्तर ( -0.03 ) है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना के लिए आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या बराबर कर लें। / -0.03 can be written as -0.0300. On comparison, -0.0300 is greater than -0.0302 because, among negative numbers, the number closer to zero is greater. Therefore, ( -0.03 ) is the correct answer. Exam tip: Add trailing zeros when needed to make the number of decimal places equal before comparing decimals.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-35+18}{2}=\frac{-17}{2}=-8.5\)। इसलिए सही उत्तर \(-8.5\) है। \(-8\) निकट है, लेकिन वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-35+18}{2}=\frac{-17}{2}=-8.5\). Therefore, \(-8.5\) is correct. Although \(-8\) is close, it is not at an equal distance from both numbers. Exam tip: add the two numbers first, then divide the sum by 2.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -19-(-7)\rvert=\lvert -12\rvert=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 11 केवल संख्याओं को गिनने में होने वाली सामान्य त्रुटि से आ सकता है, पर दूरी हमेशा दोनों बिंदुओं के अंतर का धनात्मक मान होती है। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय ऋणात्मक संख्या घटाने पर कोष्ठक अवश्य लगाएँ। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference: \(\lvert -19-(-7)\rvert=\lvert -12\rvert=12\). Therefore, 12 is correct. Choosing 11 can result from a counting error, but distance is always the positive value of the difference. Exam tip: Use brackets carefully when subtracting a negative number.
-2.12 को -2.120 लिख सकते हैं। अब -2.125 और -2.120 की तुलना करने पर -2.125 अधिक ऋणात्मक है, इसलिए संख्या रेखा पर वह बाईं ओर स्थित होगा और छोटा होगा। “दोनों बराबर” गलत है क्योंकि उनके दशमलव भाग अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। / Write -2.12 as -2.120. Comparing -2.125 and -2.120, -2.125 is more negative, so it lies further left on the number line and is smaller. “Both are equal” is incorrect because their decimal parts are different. Exam tip: among negative decimals, the number with the greater magnitude is the smaller number.
A. उनके बीच असंख्य परिमेय तथा असंख्य अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच असंख्य परिमेय और असंख्य अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए A सही है; सीमित संख्या वाला विकल्प गलत है। परीक्षा टिप: इसे परिमेय व अपरिमेय संख्याओं का घनत्व गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational as well as infinitely many irrational numbers. Hence A is correct; choices claiming a finite number are false. Exam tip: remember this as the density property of rational and irrational numbers.
A. \(-4\) और \(-3\) के बीच/Between \(-4\) and \(-3\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(9<10<16\), \(3<\sqrt{10}<4\)। ऋणात्मक लेने पर क्रम पलटता है, अतः \(-4<-\sqrt{10}<-3\) और A सही है। \(-3\) से \(-2\) वाला अंतराल अधिक दाईं ओर है। टिप: ऋणात्मक करने पर असमानता पलटें। / Since \(9<10<16\), \(3<\sqrt{10}<4\). Negating reverses order, so \(-4<-\sqrt{10}<-3\); A is correct. The next interval is too far right. Tip: reverse inequalities when negating.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-13+5}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \(-4\) है। \(-3.5\) दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-13+5}{2}=\frac{-8}{2}=-4\). Therefore, \(-4\) is correct. \(-3.5\) is not at an equal distance from both numbers. Exam tip: add the two numbers first, then divide the sum by 2.
C. यह संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है।/It can be represented by a unique point on the number line.
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक संख्या, चाहे परिमेय हो या अपरिमेय, संख्या रेखा पर ठीक एक अद्वितीय बिंदु से मेल खाती है।
0
\(\sqrt{2}\) इसका उदाहरण है। विकल्प A गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तविक हैं। परीक्षा टिप: ‘वास्तविक संख्या’ दिखे तो संख्या रेखा पर उसकी स्थिति निश्चित मानें। / Every real number, whether rational or irrational, corresponds to exactly one unique point on the number line. For example, \(\sqrt{2}\) has a fixed position. Option A is wrong because irrational numbers are real. Exam tip: all real numbers can be located on the number line.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -27-(-9)\rvert=\lvert -18\rvert=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। \(-18\) अंतर हो सकता है, लेकिन दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करने के लिए हमेशा अंतर पर निरपेक्ष मान लगाएँ। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference: \(\lvert -27-(-9)\rvert=\lvert -18\rvert=18\). Therefore, the correct answer is 18. \(-18\) can be the difference, but a distance can never be negative. Exam tip: always take the absolute value of the difference when finding distance.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। \(\frac{a+b}{2}\) परिमेय है और \(a,b\) के बीच है; मध्यबिंदु दोहराने से अनंत परिमेय मिलते हैं। हर खुले अंतराल में अनंत अपरिमेय भी होते हैं। टिप: दोनों समुच्चय सघन हैं। / Option A is correct. \(\frac{a+b}{2}\) is rational and lies between \(a\) and \(b\); repeated midpoints give infinitely many rationals. Every open interval also contains infinitely many irrationals. Exam tip: both sets are dense.
सही उत्तर ( -4.705 ) है। ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। क्योंकि
\( -4.705 > -4.750 \), इसलिए ( -4.705 ) बड़ी संख्या है। ( -4.75 ) को ( -4.750 ) लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय पहले दशमलव स्थानों की संख्या बराबर कर लें। / The correct answer is ( -4.705 ). Among negative numbers, the number closer to zero is greater. Since \( -4.705 > -4.750 \), ( -4.705 ) is greater. Writing ( -4.75 ) as ( -4.750 ) makes the comparison easier. Exam tip: While comparing negative decimals, first make the number of decimal places equal.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-6+9}{2}=\frac{3}{2}=1.5\)। इसलिए सही उत्तर \(1.5\) है। \(3\) दोनों संख्याओं का योग है, मध्य बिंदु नहीं। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-6+9}{2}=\frac{3}{2}=1.5\). Therefore, \(1.5\) is correct. \(3\) is the sum of the two numbers, not the midpoint. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
किसी पूर्णांक का अगला पूर्णांक उससे 1 अधिक होता है। इसलिए \(-41+1=-40\), अतः सही उत्तर \(-40\) है। \(-42\), \(-41\) से 1 कम है, इसलिए वह पूर्ववर्ती है, अगला पूर्णांक नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में भी अगला पूर्णांक ज्ञात करने के लिए 1 जोड़ें। / The successor of an integer is 1 greater than that integer. Hence, \(-41+1=-40\), so \(-40\) is correct. \(-42\) is 1 less than \(-41\), so it is the predecessor, not the successor. Exam tip: To find a successor, add 1 even when the number is negative.
किसी पूर्ण संख्या का पूर्ववर्ती उससे ठीक 1 कम होता है। इसलिए 32 का पूर्ववर्ती \(32-1=31\) है। 33, 32 का उत्तरवर्ती है, जबकि 30, 32 से 2 कम है। परीक्षा टिप: पूर्ववर्ती के लिए हमेशा संख्या में 1 घटाएँ। / The predecessor of a whole number is exactly 1 less than that number. Therefore, \(32-1=31\), so 31 is the predecessor of 32. In contrast, 33 is the successor of 32, while 30 is 2 less than 32. Exam tip: subtract 1 to find a predecessor.
A. 2 और 3 के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या/An irrational number lying between 2 and 3
Explanation
Simple Explanation
\(2^2=4<7<9=3^2\), इसलिए \(\sqrt{7}\), 2 और 3 के बीच होगा। 7 पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः इसका वर्गमूल अपरिमेय है। विकल्प C में प्रकार गलत है। परीक्षा टिप: निकटवर्ती पूर्ण वर्गों से स्थान पहचानें। / Since \(2^2=4<7<9=3^2\), \(\sqrt{7}\) lies between 2 and 3. As 7 is not a perfect square, its square root is irrational. Option C has the correct interval but the wrong type. Exam tip: use adjacent perfect squares to locate roots.
\(2.6^2=6.76\) और \(2.7^2=7.29\) है। क्योंकि \(6.76<7<7.29\), इसलिए \(x=\sqrt{7}\), \(2.6\) और \(2.7\) के बीच होगा। परीक्षा में वर्गों की तुलना करके अपरिमेय संख्या का स्थान तय करें। / \(2.6^2=6.76\) and \(2.7^2=7.29\). Since \(6.76<7<7.29\), \(x=\sqrt{7}\) lies between \(2.6\) and \(2.7\). In exams, compare nearby squares to locate an irrational number quickly.
C. उनके बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।/Infinitely many rational numbers lie between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं a और b के बीच उनका मध्यबिंदु \(\frac{a+b}{2}\) भी परिमेय होता है। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराने पर अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: “बीच में” दिखे तो मध्यबिंदु विधि याद रखें। / For distinct rational numbers a and b, their midpoint \(\frac{a+b}{2}\) is also rational and lies between them. Repeating this process gives infinitely many rational numbers. Exam tip: use the midpoint method whenever numbers between two rationals are asked.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होती है, वह छोटी होती है।
a
a
-0.0002, -0.00012 से अधिक ऋणात्मक है, इसलिए ( -0.0002 ) छोटी संख्या है। दोनों बराबर नहीं हैं क्योंकि उनके दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में चिन्ह समान होने पर अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। / For negative numbers, the number farther to the left on the number line is smaller. Since -0.0002 is more negative than -0.00012, ( -0.0002 ) is the smaller number. They are not equal because their decimal values differ. Exam tip: when comparing negative decimals, the number with the greater magnitude is smaller.
A. P और Q के बीच कम-से-कम एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या होगी/There will be at least one rational and one irrational number between P and Q.
Explanation
Simple Explanation
दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दोनों अनंत होती हैं, इसलिए A सही है। B और D घनत्व के गुण के कारण गलत हैं। परीक्षा टिप: हर खुले अंतराल में दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं। / Infinitely many rational and irrational numbers lie between any two distinct real numbers, so A is correct. B and D ignore this density property. Exam tip: every open interval contains both types of numbers.
B. रीमा का निष्कर्ष गलत है, क्योंकि \(2.7^2=7.29>7\); अतः \(\sqrt{7}<2.7\)।/Reema’s conclusion is wrong because \(2.7^2=7.29>7\); therefore, \(\sqrt{7}<2.7\).
Explanation
Simple Explanation
रीमा ने 2.7 का वर्ग गलत निकाला। \(2.7^2=7.29\), जो 7 से बड़ा है; इसलिए धनात्मक वर्गमूल \(\sqrt{7}\), 2.7 से छोटा होगा। परीक्षा में दशमलव के दोनों ओर की संख्याओं का वर्ग लेकर तुलना करें। / Reema squared 2.7 incorrectly. Since \(2.7^2=7.29\), which is greater than 7, the positive square root \(\sqrt{7}\) must be less than 2.7. Exam tip: compare squares of nearby positive decimals to locate a square root.
संख्या रेखा पर बिंदु P को \(-\sqrt{3}\) और बिंदु Q को \(\sqrt{3}\) पर अंकित किया गया है। रवि कहता है कि PQ की दूरी \(\sqrt{3}\) है। रवि की त्रुटि को सही ढंग से कौन स्पष्ट करता है?
A. दूरी \(2\sqrt{3}\) है, क्योंकि दोनों बिंदु शून्य के विपरीत ओर समान दूरी पर हैं।/The distance is \(2\sqrt{3}\), because the points are equally far from zero on opposite sides.
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर दूरी \(|\sqrt{3}-(-\sqrt{3})|=|2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}\) होती है। समान परिमाण वाले बिंदु एक ही स्थान पर नहीं, बल्कि शून्य के विपरीत ओर हैं। परीक्षा टिप: दूरी के लिए हमेशा अंतर का परिमाण लें। / The distance is \(|\sqrt{3}-(-\sqrt{3})|=|2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}\). Equal magnitudes do not mean the same point; these points lie on opposite sides of zero. Exam tip: always use the absolute value of the difference for distance.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनका निरपेक्ष अंतर होती है: \(|25-(-70)|=|25+70|=95\)। इसलिए सही उत्तर 95 है। 94 लेने पर जोड़ में 1 की त्रुटि हो जाती है। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय ऋणात्मक संख्या को घटाने पर उसे जोड़ में बदलें और उत्तर हमेशा धनात्मक रखें। / The distance between two numbers on a number line is their absolute difference: \(|25-(-70)|=|25+70|=95\). Therefore, 95 is correct. Choosing 94 results from an addition error of 1. Exam tip: when subtracting a negative number, change it to addition, and keep distance non-negative.
सही उत्तर -3.141 है। ऋणात्मक संख्याओं में जिस संख्या का परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। क्योंकि -3.141, -3.140 से अधिक ऋणात्मक है, इसलिए -3.141 < -3.14। -3.14 को -3.140 लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना में आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या समान कर लें। / The correct answer is -3.141. Among negative numbers, the number with the greater magnitude is smaller. Since -3.141 is more negative than -3.140, we have -3.141 < -3.14. Writing -3.14 as -3.140 makes the comparison clearer. Exam tip: Add zeros at the end of decimals when needed to compare the same number of decimal places.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-18+6}{2}=\frac{-12}{2}=-6\)। इसलिए सही उत्तर \( -6 \) है। \(0\) दोनों संख्याओं के बीच है, पर वह उनसे समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याएँ जोड़कर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-18+6}{2}=\frac{-12}{2}=-6\). Therefore, \( -6 \) is correct. Although \(0\) lies between the two numbers, it is not equally distant from both. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
\(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय है। \(-\frac{7}{4}\), \(0.125\) और \(0.\overline{3}\) परिमेय हैं। परीक्षा टिप: समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \(\sqrt{2}\) cannot be expressed as \(\frac{p}{q}\), so it is irrational. \(-\frac{7}{4}\), \(0.125\), and \(0.\overline{3}\) are rational. Exam tip: terminating or recurring decimals are rational.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
a
यहाँ
a
\(-9.99\), \(-10\) से शून्य के अधिक निकट है, इसलिए \(-9.99 > -10\)। “दोनों बराबर” गलत है क्योंकि दोनों के दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर जो संख्या दाईं ओर होती है, वही बड़ी होती है। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Here, \(-9.99\) is closer to zero than \(-10\), so \(-9.99 > -10\). “Both are equal” is incorrect because the two decimal values are different. Exam tip: On a number line, the number farther to the right is greater.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{11+(-5)}{2}=\frac{6}{2}=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। 2, 11 और -5 के बीच समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करते समय ऋणात्मक संख्या को कोष्ठक सहित जोड़ें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{11+(-5)}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, 3 is correct. The number 2 is not at an equal distance from 11 and -5. Exam tip: While finding a midpoint, add a negative number using brackets to avoid a sign error.
-1.75 को -1.750 लिख सकते हैं। संख्या रेखा पर -1.750, -1.705 के बाईं ओर है, इसलिए वह छोटा है। ऋणात्मक संख्याओं में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। विकल्प A निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर -1.705 कम ऋणात्मक होने के कारण बड़ा है। परीक्षा टिप: दशमलव स्थानों की संख्या समान करने के लिए अंत में शून्य लगाकर तुलना करें। / Write -1.75 as -1.750. On the number line, -1.750 lies to the left of -1.705, so it is smaller. Among negative numbers, the number with the greater magnitude is smaller. Option A is a close distractor, but -1.705 is less negative and therefore greater. Exam tip: Add trailing zeros to make the decimal places equal before comparing.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -24-(-8)\rvert=\lvert -16\rvert=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। 24 एक संख्या का परिमाण है, दोनों संख्याओं के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(\lvert -24-(-8)\rvert=\lvert -16\rvert=16\). Therefore, the correct answer is 16. The value 24 is the magnitude of one number, not the distance between the two numbers. Exam tip: A distance is always non-negative.
\( -\frac{1}{3} = -0.3333\ldots \) होता है। संख्या रेखा पर \( -0.3333\ldots \), \( -0.34 \) के दाईं ओर स्थित है, इसलिए \( -\frac{1}{3} > -0.34 \) और सही उत्तर B है। विकल्प A में ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय केवल दशमलव अंकों को देखकर भ्रम हो सकता है; ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वही बड़ी होती है। परीक्षा-युक्ति: तुलना करने से पहले भिन्न को दशमलव में बदलें या दोनों संख्याओं को समान दशमलव स्थानों तक लिखें। / \( -\frac{1}{3} = -0.3333\ldots \). On the number line, \( -0.3333\ldots \) lies to the right of \( -0.34 \), so \( -\frac{1}{3} > -0.34 \), making option B correct. Option A is a common mistake caused by comparing the decimal digits without considering that, for negative numbers, the number closer to zero is greater. Exam tip: convert the fraction to a decimal or write both numbers to the same number of decimal places before comparing them.
किसी पूर्णांक का अगला पूर्णांक उससे 1 अधिक होता है। इसलिए \( -55+1=-54 \), अतः सही उत्तर \( -54 \) है। \( -56 \), \( -55 \) से 1 कम है, इसलिए वह पूर्ववर्ती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में भी अगला पूर्णांक पाने के लिए 1 जोड़ें। / The successor of an integer is 1 greater than that integer. Thus, \( -55+1=-54 \), so \( -54 \) is correct. \( -56 \) is 1 less than \( -55 \), so it is the predecessor. Exam tip: To find a successor, add 1 even for negative integers.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
\(-0.00001\), \(-0.0001\) की तुलना में शून्य के अधिक निकट है, इसलिए \(-0.00001 > -0.0001\)। विकल्प A छोटा है, क्योंकि उसका ऋणात्मक मान अधिक है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय याद रखें कि कम परिमाण वाली ऋणात्मक संख्या बड़ी होती है। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. \(-0.00001\) is closer to zero than \(-0.0001\), so \(-0.00001 > -0.0001\). Option A is smaller because it has a greater negative magnitude. Exam tip: When comparing negative decimals, the negative number with the smaller magnitude is greater.
\(2.1\) को \(2.10\) लिखा जा सकता है। अब \(2.10\) और \(1.99\) की तुलना करने पर इकाई का अंक क्रमशः 2 और 1 है, इसलिए \(2.10>1.99\)। अतः सही उत्तर \(2.1\) है। \(1.99\), 2 के बहुत निकट है, लेकिन 2 से छोटा है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना के लिए आवश्यक होने पर उनके अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या समान कर लें। / \(2.1\) can be written as \(2.10\). Comparing \(2.10\) and \(1.99\), their whole-number parts are 2 and 1 respectively; therefore, \(2.10>1.99\). Hence, \(2.1\) is greater. Although \(1.99\) is very close to 2, it is still less than 2. Exam tip: When comparing decimals, add trailing zeroes if needed to make the number of decimal places equal.
दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-16+0}{2}=\frac{-16}{2}=-8\)। अतः \(-8\), \(-16\) और \(0\) से समान दूरी पर है। \(-7\) मध्य बिंदु नहीं है, क्योंकि वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा \(\frac{a+b}{2}\) का प्रयोग करें। / The midpoint of two numbers is their average: \(\frac{-16+0}{2}=\frac{-16}{2}=-8\). Thus, \(-8\) is equally distant from \(-16\) and \(0\). \(-7\) is not the midpoint because it is not at the same distance from both numbers. Exam tip: use \(\frac{a+b}{2}\) to find the midpoint on a number line.
समान दशमलव स्थानों तक लिखें: \(-5.55=-5.550\)। अब \(-5.555\) और \(-5.550\) की तुलना करने पर \(-5.555\) अधिक ऋणात्मक है, इसलिए वह संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर है और छोटी है। \(-5.550\) बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों में जिस संख्या का परिमाण अधिक होता है, वह छोटी होती है। / Write the numbers to the same number of decimal places: \(-5.55=-5.550\). Comparing \(-5.555\) and \(-5.550\), \(-5.555\) is more negative, so it lies farther left on the number line and is smaller. Thus, \(-5.550\) is greater. Exam tip: among negative decimals, the number with the greater magnitude is the smaller number.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|-100-0|=|-100|=100\)। इसलिए सही उत्तर 100 है। 99 केवल -100 से -1 तक की दूरी हो सकती है, -100 से 0 तक नहीं। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(|-100-0|=|-100|=100\). Therefore, the correct answer is 100. The value 99 would be the distance from -100 to -1, not from -100 to 0. Exam tip: distance is always non-negative.
C. अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers exist
Explanation
Simple Explanation
परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। परिमेय संख्या \(r\) को \(a\) और \(b\) के बीच लें; बड़े \(n\) पर \(r+\sqrt{2}/n\) भी उसी अंतराल में अपरिमेय है। अतः C सही है। टिप: सघन का अर्थ हर अंतराल में अनंत संख्याएँ है। / Both sets are dense. Choose rational \(r\) between \(a\) and \(b\); for large \(n\), \(r+\sqrt{2}/n\) stays in the interval and is irrational. Thus C is correct. Exam tip: dense means infinitely many numbers in every interval.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -28-(-14)\rvert=\lvert -14\rvert=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। 13 और 15 क्रमशः एक कम और एक अधिक हैं, इसलिए वे दूरी नहीं दर्शाते। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference: \(\lvert -28-(-14)\rvert=\lvert -14\rvert=14\). Therefore, the correct answer is 14. Values such as 13 and 15 are one less or one more, so they do not represent the distance. Exam tip: a distance is always non-negative.
सही उत्तर -0.49 है। संख्या रेखा पर जो ऋणात्मक संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। क्योंकि -0.49, -0.5 की तुलना में शून्य के अधिक निकट है, इसलिए -0.49 > -0.5। “दोनों बराबर” गलत है क्योंकि दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में कम परिमाण वाली संख्या बड़ी होती है। / The correct answer is -0.49. On a number line, the negative number closer to zero is greater. Since -0.49 is closer to zero than -0.5, we have -0.49 > -0.5. “Both are equal” is incorrect because the decimal values are different. Exam tip: among negative numbers, the number with the smaller magnitude is greater.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-7+13}{2}=\frac{6}{2}=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। 2 मध्य बिंदु नहीं है, क्योंकि वह -7 और 13 से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-7+13}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, 3 is the correct answer. The number 2 is not the midpoint because it is not equally distant from -7 and 13. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
-13.5 को -13.50 लिखा जा सकता है। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है और छोटी होती है। चूँकि -13.50 < -13.05, इसलिए -13.5 छोटा है। -13.05 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह शून्य के अधिक निकट है, इसलिए बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करने के लिए दशमलव स्थानों को बराबर करके देखें। / -13.5 can be written as -13.50. On a number line, the more negative number lies farther to the left and is smaller. Since -13.50 < -13.05, -13.5 is the smaller number. Although -13.05 looks similar, it is closer to zero and is therefore greater. Exam tip: write negative decimals with the same number of decimal places before comparing them.
दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-9+(-2)}{2}=\frac{-11}{2}=-5.5\)। इसलिए सही उत्तर \(\displaystyle -\frac{11}{2}\) है। \(-6\) दोनों संख्याओं के बीच तो है, पर वह उनसे समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर मध्य बिंदु निकालने के लिए दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers is their average: \(\frac{-9+(-2)}{2}=\frac{-11}{2}=-5.5\). Therefore, \(\displaystyle -\frac{11}{2}\) is correct. Although \(-6\) lies between the two numbers, it is not at equal distance from both. Exam tip: add the two coordinates and divide by 2 to find a midpoint on the number line.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है। अतः \(\left|-3-(-15)\right|=\left|12\right|=12\)। इसलिए सही उत्तर \(12\) है। \(18\) दोनों संख्याओं के निरपेक्ष मानों को जोड़ने से मिलता है, पर दूरी निकालने के लिए अंतर का निरपेक्ष मान लेना चाहिए। परीक्षा टिप: दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference. Thus, \(\left|-3-(-15)\right|=\left|12\right|=12\). Therefore, \(12\) is correct. \(18\) is obtained by adding the absolute values of the numbers, but distance must be found using the absolute difference. Exam tip: distance can never be negative.
-0.11 को -0.110 लिख सकते हैं। तुलना करने पर -0.101, -0.110 से शून्य के अधिक निकट है, इसलिए -0.101 बड़ा है। दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हैं क्योंकि उनके दशमलव अंकों में अंतर है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में शून्य के अधिक निकट वाली संख्या बड़ी होती है। / -0.11 can be written as -0.110. On comparing, -0.101 is closer to zero than -0.110, so -0.101 is greater. The numbers are not equal because their decimal digits differ. Exam tip: Among negative numbers, the number closer to zero is greater.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{4+(-12)}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \( -4 \) है। \( -8 \) दोनों संख्याओं का योग है, मध्य बिंदु नहीं। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{4+(-12)}{2}=\frac{-8}{2}=-4\). Therefore, \( -4 \) is correct. \( -8 \) is the sum of the two numbers, not their midpoint. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find the midpoint.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|20-(-60)|=|80|=80\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 79 तब मिलता यदि ऋणात्मक चिह्न को गलत ढंग से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय हमेशा बड़े और छोटे मान का अंतर लेकर उसका निरपेक्ष मान लिखें। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference: \(|20-(-60)|=|80|=80\). Therefore, the correct answer is 80. A value such as 79 can result from handling the negative sign incorrectly. Exam tip: always take the absolute value of the difference when finding distance.
क्योंकि \(1^2=1\) और \(2^2=4\), इसलिए \(\sqrt{2}\), 1 और 2 के बीच है। साथ ही \(1.4^2=1.96\) तथा \(1.5^2=2.25\), अतः यह 1.4 के पास यानी 2 से अधिक दूर नहीं, बल्कि 1 से? नहीं—यह 1.4 है, इसलिए 1 के बजाय 2 के अधिक निकट है। परीक्षा में वर्गों की तुलना करके स्थान पहचानें। / Since \(1^2=1\) and \(2^2=4\), \(\sqrt{2}\) lies between 1 and 2. Also, \(1.4^2=1.96\) and \(1.5^2=2.25\), so \(\sqrt{2}\approx1.414\), which is closer to 1 than to 2. Therefore the stated option should identify it as nearer 1; check midpoint \(1.5\) in exams.
