Level 52 • 41/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the fourteenth term of the arithmetic progression \(13,19,25,31,\ldots\)?
B. (91)
यहाँ \(a=13\) और \(d=6\) है, इसलिए \(a_{14}=13+13\times6=91\) है। परीक्षा में \(a_n=a+(n-1)d\) लगाएँ। / Here \(a=13\) and \(d=6\), so \(a_{14}=13+13\times6=91\). In exams, use \(a_n=a+(n-1)d\).
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B. \(2q=p+r\)
क्रमागत पदों का समान अंतर \(d\) होता है। अतः \(q=p+d\) और \(r=p+2d\); इसलिए \(p+r=2p+2d=2q\)। विकल्प A सामान्यतः सत्य नहीं है। परीक्षा में बीच का पद सिरों के पदों का औसत याद रखें। / Consecutive AP terms have common difference \(d\). Thus \(q=p+d\) and \(r=p+2d\), so \(p+r=2p+2d=2q\). Option A is not generally true. Exam tip: the middle term is the average of the end terms.
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What is the tenth term of the arithmetic progression \(96,88,80,72,\ldots\)?
B. (24)
यहाँ (d=-8) है, इसलिए (a_{10}=96+9(-8)=24) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / Here (d=-8), so (a_{10}=96+9(-8)=24). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
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If \(a_n=7n-5\), which term will be (121)?
C. अठारहवाँ पद18th term
121 कौन-सा पद है, यह जानने के लिए सामान्य पद को 121 के बराबर रखते हैं: \(7n-5=121\)। अतः \(7n=126\) और \(n=18\)। इसलिए 121 इस अनुक्रम का अठारहवाँ पद है। सत्रहवें पद पर मान \(114\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए मान का पदक्रम ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस मान के बराबर रखें। / To find which term equals 121, equate the general term to 121: \(7n-5=121\). Thus, \(7n=126\), so \(n=18\). Therefore, 121 is the 18th term of the sequence. The 17th term is \(114\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given value, set \(a_n\) equal to that value.
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B. 5
समांतर श्रेणी में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(93=18+(16-1)d\), अर्थात \(93=18+15d\)। इसलिए \(15d=75\) और \(d=5\)। विकल्प 6 तब मिलता यदि पदों के बीच के अंतर की संख्या 15 के स्थान पर गलत गिनी जाए। परीक्षा टिप: पहले और nवें पद के बीच हमेशा \(n-1\) अंतर होते हैं। / For an arithmetic progression, the nth-term formula is \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(93=18+(16-1)d\), so \(93=18+15d\). Thus, \(15d=75\) and \(d=5\). The value 6 can result from incorrectly counting the number of gaps between the first and sixteenth terms. Exam tip: there are always \(n-1\) gaps from the first term to the nth term.
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What is the general term of the arithmetic progression \(9,15,21,27,\ldots\)?
A. \(a_n=6n+3\)
पहला पद (9) और अंतर (6) है, इसलिए \(a_n=6n+3\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (9) and the difference is (6), so \(a_n=6n+3\). In exams, check the first term by putting (n=1).
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What is the sum of the first (12) terms of the arithmetic progression \(5,9,13,17,\ldots\)?
B. (324)
\(S_{12}=\frac{12}{2}[2\times5+11\times4]=324\) है। परीक्षा में योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / \(S_{12}=\frac{12}{2}[2\times5+11\times4]=324\). In exams, use the formula for \(S_n\).
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What is the sum of the first (9) terms of the arithmetic progression \(8,14,20,26,\ldots\)?
B. (288)
\(S_9=\frac{9}{2}[2\times8+8\times6]=288\) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_9=\frac{9}{2}[2\times8+8\times6]=288\). In exams, calculate inside the bracket first.
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If \(a_4=29\) and (d=6), what is the first term (a)?
B. 11
समांतर श्रेणी में चौथा पद \(a_4=a+(4-1)d=a+3d\) होता है। अतः \(29=a+3(6)=a+18\), इसलिए \(a=11\)। विकल्प 13 लेने पर चौथा पद \(13+18=31\) होगा, जो दिया गया 29 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the fourth term is \(a_4=a+(4-1)d=a+3d\). Thus, \(29=a+3(6)=a+18\), so \(a=11\). If 13 were chosen, the fourth term would be \(13+18=31\), not the given 29. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) for the \(n\)th term.
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What is the general term of the arithmetic progression \(31,26,21,16,\ldots\)?
B. \(a_n=36-5n\)
(n=1) पर (31) और (n=2) पर (26) देने वाला नियम \(a_n=36-5n\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में पहला पद मिलाएँ। / The rule \(a_n=36-5n\) gives (31) at (n=1) and (26) at (n=2). In exams, match the first term in a decreasing progression.
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For an arithmetic progression with (a=12) and \(a_7=54\), what is (d)?
C. 7
समांतर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_7=12+(7-1)d=12+6d\)। इसलिए \(54=12+6d\), जिससे \(6d=42\) और \(d=7\) मिलता है। विकल्प 6 लेने पर सातवाँ पद \(12+6\times6=48\) होगा, 54 नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) का प्रयोग करें। / The formula for an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Hence, \(a_7=12+(7-1)d=12+6d\). So, \(54=12+6d\), giving \(6d=42\) and \(d=7\). If \(d=6\), the seventh term would be \(12+6\times6=48\), not 54. Exam tip: use \(n-1\), not \(n\), in the formula for the \(n\)th term.
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In the arithmetic progression \(3,11,19,27,\ldots\), which term is (83)?
B. ग्यारहवाँ पद11th term
यहाँ प्रथम पद \(a=3\) और सार्वांतर \(d=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(3+(n-1)\times8=83\) से \((n-1)\times8=80\), इसलिए \(n=11\)। इसलिए 83 ग्यारहवाँ पद है। 12वाँ पद \(91\) होगा, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का पद क्रम ज्ञात करने के लिए उसे \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Here, the first term is \(a=3\) and the common difference is \(d=8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(3+(n-1)\times8=83\), giving \((n-1)\times8=80\), so \(n=11\). Therefore, 83 is the eleventh term. The twelfth term would be \(91\), so that option is not correct. Exam tip: To find the position of a number in an AP, equate it to \(a_n\) and solve for \(n\).
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If (a=17) and (d=-4), what is the value of \(a_8\)?
C. -11
समांतर श्रेणी का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_8=17+(8-1)(-4)=17-28=-11\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(-9\) तब मिलता यदि पदों की संख्या या \((n-1)\) का गुणक गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक अंतर \(d\) होने पर प्रत्येक अगले पद में कमी होती है। / The nth term of an arithmetic progression is given by \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_8=17+(8-1)(-4)=17-28=-11\). Hence, option C is correct. A value such as \(-9\) can result from using the wrong term number or forgetting the \((n-1)\) factor. Exam tip: when \(d\) is negative, each successive term decreases.
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B. \(2q=p+r\)
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर समान होता है, इसलिए \(q-p=r-q\)। दोनों पक्षों को व्यवस्थित करने पर \(2q=p+r\) मिलता है। \(q^2=pr\) गुणोत्तर श्रेणी से जुड़ा संबंध है। परीक्षा टिप: बीच का पद सिरों का औसत होता है। / In an AP, consecutive differences are equal: \(q-p=r-q\). Rearranging gives \(2q=p+r\), so the middle term is the average of the end terms. \(q^2=pr\) is associated with a GP. Exam tip: use equal differences to test an AP quickly.
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What is the sum of the first (18) terms of the arithmetic progression \(2,6,10,14,\ldots\)?
C. 648
यहाँ प्रथम पद \(a=2\), सार्वांतर \(d=4\) और \(n=18\) है। \(18\)वाँ पद \(a_{18}=a+17d=2+17\times4=70\) होगा। अतः \(S_{18}=\frac{18}{2}(a+a_{18})=9(2+70)=648\)। इसलिए सही उत्तर 648 है। 638 जैसा विकल्प सामान्यतः अंतिम पद या गुणा में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में हमेशा \((n-1)d\) जोड़ें, \(nd\) नहीं। / Here, the first term is \(a=2\), the common difference is \(d=4\), and \(n=18\). The 18th term is \(a_{18}=a+17d=2+17\times4=70\). Therefore, \(S_{18}=\frac{18}{2}(a+a_{18})=9(2+70)=648\). Hence, 648 is correct. An option such as 638 can result from a small error in finding the last term or multiplication. Exam tip: for the \(n\)th term, use \((n-1)d\), not \(nd\).
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A. समान्तर अंतर \(0\) हैThe common difference is \(0\).
AP में \(a_q-a_p=(q-p)d\) होता है। क्योंकि \(a_p=a_q\) और \(p\ne q\), इसलिए \((q-p)d=0\) से \(d=0\) मिलता है; अतः सभी पद समान होंगे। परीक्षा टिप: अलग स्थानों के बराबर पदों पर \(d=0\) जाँचें। / For an AP, \(a_q-a_p=(q-p)d\). Since \(a_p=a_q\) and \(p\ne q\), we get \((q-p)d=0\), so \(d=0\); hence every term is equal. Exam tip: equal terms at different positions indicate a zero common difference.
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If \(a_n=8n+4\), what is the sum of the first (7) terms?
B. (252)
पहले सात पद (12,20,28,36,44,52,60) हैं और योग (252) है। परीक्षा में नियम से पद निकालकर भी योग जाँच सकते हैं। / The first seven terms are (12,20,28,36,44,52,60), and their sum is (252). In exams, you can verify the sum by listing terms from the rule.
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Which term of the arithmetic progression \(19,26,33,\ldots\) is (89)?
C. ग्यारहवाँ पदEleventh term
यहाँ प्रथम पद \(a=19\) और सार्वांतर \(d=26-19=7\) है। समांतर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(89=19+(n-1)\times7\), जिससे \(70=7(n-1)\), इसलिए \(n=11\)। अतः 89 ग्यारहवाँ पद है। दसवें पद का मान \(19+9\times7=82\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर दिए गए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=19\) and the common difference is \(d=26-19=7\). The \(n\)th term of an AP is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(89=19+(n-1)\times7\), so \(70=7(n-1)\), giving \(n=11\). Therefore, 89 is the eleventh term. The tenth term is \(19+9\times7=82\), so it is not correct. Exam tip: identify \(a\) and \(d\) first, then equate the given value to \(a_n\).
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If \(a_2=14\) and \(a_8=50\), what is the first term?
C. 8
समांतर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a+d=14\) और आठवाँ पद \(a_8=a+7d=50\) होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(6d=36\), अतः \(d=6\)। इसलिए \(a=14-6=8\)। अतः पहला पद 8 है। विकल्प 6 अंतर है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो उनके पद-संख्या के अंतर से \(d\) निकालना सुविधाजनक होता है। / In an arithmetic progression, the second term is \(a_2=a+d=14\) and the eighth term is \(a_8=a+7d=50\). Subtracting the equations gives \(6d=36\), so \(d=6\). Hence, \(a=14-6=8\). Therefore, the first term is 8. Option 6 is the common difference, not the first term. Exam tip: when two terms are given, subtract their equations to find \(d\) quickly.
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In the arithmetic progression \(45,40,35,30,\ldots\), which term is zero?
C. दसवाँ पद10th term
यहाँ प्रथम पद \(a=45\) और सार्वांतर \(d=-5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(45+(n-1)(-5)=0\) से \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। नौवाँ पद \(5\) है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) का सूत्र लिखकर उसे दिए गए मान के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=45\) and the common difference is \(d=-5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(45+(n-1)(-5)=0\) gives \(n-1=9\), so \(n=10\). The ninth term is \(5\), not zero. Exam tip: To find the position of a specified term, write the formula for \(a_n\) and equate it to the given value.
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If (a=7) and \(a_{11}=67\), what is (d)?
C. \(6\)
समांतर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। यहाँ \(a=7\), \(n=11\) और \(a_{11}=67\) रखने पर \(67=7+10d\) मिलता है। अतः \(10d=60\), इसलिए \(d=6\)। \(d=5\) लेने पर ग्यारहवाँ पद \(57\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(d\) का गुणांक हमेशा \(n-1\) होता है। / The formula for an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=7\), \(n=11\), and \(a_{11}=67\) gives \(67=7+10d\). Hence, \(10d=60\), so \(d=6\). If \(d=5\), the eleventh term would be \(57\), so it is not correct. Exam tip: the coefficient of \(d\) in the \(n\)th-term formula is always \(n-1\).
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What is the sum of the first (14) terms of the arithmetic progression \(11,18,25,\ldots\)?
B. 791
यहाँ प्रथम पद \(a=11\), सार्वांतर \(d=18-11=7\) और \(n=14\) है। पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। अतः \(S_{14}=\frac{14}{2}[2(11)+13(7)]=7(22+91)=7\times113=791\)। इसलिए सही उत्तर 791 है। 773 प्राप्त करना सामान्यतः \((n-1)d\) या गुणा में त्रुटि के कारण होता है। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग-अलग लिख लें। / Here, the first term is \(a=11\), the common difference is \(d=18-11=7\), and \(n=14\). The sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Thus, \(S_{14}=\frac{14}{2}[2(11)+13(7)]=7(22+91)=7\times113=791\). Therefore, the correct answer is 791. A value such as 773 usually results from an error in using \((n-1)d\) or in multiplication. Exam tip: write down \(a\), \(d\), and \(n\) separately before applying the sum formula.
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If the fourth term of the arithmetic progression \(x,,x+8,,x+16,\ldots\) is (41), what is (x)?
B. (17)
चौथा पद (x+24=41) है, इसलिए (x=17) है। परीक्षा में बीजीय पदों को सीधे समीकरण में रखें। / The fourth term is (x+24=41), so (x=17). In exams, put algebraic terms directly into an equation.
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How many terms are there up to (50) in the arithmetic progression \(6,10,14,\ldots\)?
C. 12
यहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्वांतर \(d=4\) और अंतिम पद \(l=50\) है। सूत्र \(l=a+(n-1)d\) में मान रखने पर \(50=6+(n-1)4\), इसलिए \(n-1=11\) और \(n=12\)। अतः 50 तक कुल 12 पद हैं। 11 पद लेने पर अंतिम पद 46 होगा, 50 नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए अंतिम पद को \(a+(n-1)d\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=6\), the common difference is \(d=4\), and the last term is \(l=50\). Using \(l=a+(n-1)d\), we get \(50=6+(n-1)4\), so \(n-1=11\) and \(n=12\). Therefore, there are 12 terms up to 50. With 11 terms, the last term would be 46, not 50. Exam tip: To find the number of terms, equate the last term to \(a+(n-1)d\).
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If the first (4) terms of an arithmetic progression are (6,13,20,27), what is \(S_4\)?
B. 66
यहाँ \(S_4\), पहले चार पदों का योग है: \(S_4=6+13+20+27=66\)। अतः सही उत्तर 66 है। 70 एक संभावित गलती है, जो अंतिम पद 27 को गलत पढ़ने या जोड़ में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे जोड़ें; वैकल्पिक रूप से \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms: \(S_4=6+13+20+27=66\). Therefore, the correct answer is 66. A value such as 70 can result from misreading the last term or making an addition error. Exam tip: for a small number of terms, add directly; alternatively, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
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Which term of the arithmetic progression \(15,21,27,\ldots\) is (105)?
C. सोलहवाँ पद16th term
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=15\) और सार्वांतर \(d=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(105=15+(n-1)\times6\), जिससे \(n-1=15\) और \(n=16\) मिलता है। इसलिए 105 सोलहवाँ पद है। पंद्रहवाँ पद \(15+14\times6=99\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय \(n-1\) को न भूलें। / For this AP, the first term is \(a=15\) and the common difference is \(d=6\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(105=15+(n-1)\times6\), so \(n-1=15\) and \(n=16\). Therefore, 105 is the 16th term. The 15th term is \(15+14\times6=99\), so it is not correct. Exam tip: do not forget the \(n-1\) in the AP term formula.
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Which of the following nth-term expressions represents an arithmetic progression?
B. \(7-4n\)
विकल्प B में \(a_{n+1}-a_n=[7-4(n+1)]-(7-4n)=-4\) है, जो स्थिर है; इसलिए यह AP है। \(n^2-3\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(pn+q\) हमेशा AP देता है। / For option B, \(a_{n+1}-a_n=[7-4(n+1)]-(7-4n)=-4\), which is constant, so it is an AP. The differences for \(n^2-3\) change. Exam tip: every linear form \(pn+q\) represents an AP.
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What is the sum of the first (16) terms of the arithmetic progression \(4,9,14,19,\ldots\)?
B. (664)
\(S_{16}=\frac{16}{2}[8+15\times5]=664\) है। परीक्षा में भिन्न आए तो पहले कोष्ठक सरल करें। / \(S_{16}=\frac{16}{2}[8+15\times5]=664\). In exams, simplify the bracket first when a fraction appears.
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In the arithmetic progression \(90,81,72,\ldots\), which term is (9)?
B. दसवाँ पद10th term
यहाँ प्रथम पद 90 और सार्वांतर है। पदों का सामान्य रूप होता है। 9 के लिए , अतः और । इसलिए 9 दसवाँ पद है। नवाँ पद 18 होता है, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: घटती समांतर श्रेणी में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक रखना न भूलें। / Here, the first term is 90 and the common difference is -9. The general term is \(a_n=90+(n-1)(-9)\). For the term 9, \(90-9(n-1)=9\), so \(n-1=9\) and \(n=10\). Therefore, 9 is the 10th term. The 9th term is 18, so that option is not correct. Exam tip: always use a negative common difference for a decreasing arithmetic progression.
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What is the value of \(a_8+a_{12}\) for the arithmetic progression \(16,22,28,\ldots\)?
C. 132
यहाँ प्रथम पद 16 और सार्वांतर 6 है। अतः \(a_8=16+(8-1)\times6=58\) तथा \(a_{12}=16+(12-1)\times6=82\)। इसलिए \(a_8+a_{12}=58+82=140\) होता है, जो दिए गए विकल्पों में नहीं है। प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि है; इसलिए कोई भी विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) का प्रयोग अवश्य करें। / Here, the first term is 16 and the common difference is 6. Thus, \(a_8=16+(8-1)\times6=58\) and \(a_{12}=16+(12-1)\times6=82\). Therefore, \(a_8+a_{12}=58+82=140\), which is not among the given options. The question or options contain an error, so no option is correct. Exam tip: In \(a_n=a+(n-1)d\), be sure to use \(n-1\).
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If \(a_n=62-4n\), which term will be equal to (10)?
B. तेरहवाँ पद13th term
दिया है, \(a_n=62-4n\)। जिस पद का मान 10 है, उसके लिए \(62-4n=10\) होगा। अतः \(4n=52\), इसलिए \(n=13\)। इसलिए तेरहवाँ पद 10 के बराबर है। बारहवें पद का मान \(62-4(12)=14\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=62-4n\). For the term whose value is 10, set \(62-4n=10\). Thus, \(4n=52\), so \(n=13\). Hence, the 13th term is equal to 10. The 12th term is \(62-4(12)=14\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate the general term \(a_n\) to the given value and solve for \(n\).
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What is the sum of the first (11) terms of the arithmetic progression \(6,12,18,\ldots\)?
B. (396)
यह (6) के पहले (11) गुणजों का योग है, जो (396) है। परीक्षा में गुणजों की श्रेणी को जल्दी पहचानें। / This is the sum of the first (11) multiples of (6), which is (396). In exams, identify sequences of multiples quickly.
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C. 16
दो संख्याओं के बीच समान्तर माध्य उनका औसत होता है। अतः \((12+20)/2=16\)। इसलिए 16 रखने पर पद 12, 16, 20 बनते हैं और दोनों सार्वांतर 4 हैं। परीक्षा में मध्य पद के लिए सिरों का औसत लें। / The arithmetic mean of two numbers is their average: \((12+20)/2=16\). Thus the terms 12, 16, 20 have equal common differences of 4. Exam tip: for one middle AP term, take the average of the end terms.
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A. \(2t_n=t_{n-r}+t_{n+r}\)
समांतर श्रेणी में \(t_n=a+(n-1)d\) होता है। इसलिए दोनों समान दूरी वाले पदों का योग \(2[a+(n-1)d]=2t_n\) है। विकल्प B गुणोत्तर श्रेणी का गुणधर्म है। परीक्षा टिप: समान दूरी वाले पदों के लिए मध्य पद उनका औसत होता है। / In an AP, \(t_n=a+(n-1)d\). Adding the terms equally distant from \(t_n\) gives \(2[a+(n-1)d]=2t_n\). Option B is a property of a GP, not generally an AP. Exam tip: the middle term is the average of equidistant terms.
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If \(a_n=5n+6\), what is the value of \(a_5+a_9\)?
B. 82
दिया है कि \(a_n=5n+6\)। अतः \(a_5=5(5)+6=31\) और \(a_9=5(9)+6=51\)। इसलिए \(a_5+a_9=31+51=82\)। विकल्प C, 86, गलत है क्योंकि दोनों पदों में \(n\) का सही मान रखने पर योग 82 आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक मांगे गए पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर पहले पद ज्ञात करें। / Given \(a_n=5n+6\), \(a_5=5(5)+6=31\) and \(a_9=5(9)+6=51\). Therefore, \(a_5+a_9=31+51=82\). Option C, 86, is incorrect because direct substitution of the two required values of \(n\) gives 82. Exam tip: find each requested term separately by substituting its value of \(n\) before adding.
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In the arithmetic progression \(24,30,36,\ldots\), if \(a_n=102\), what is (n)?
C. 14
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 24 तथा सार्वांतर 6 है। अतः \(a_n=24+(n-1)\times6\) होगा। \(24+6(n-1)=102\) से \(6(n-1)=78\), इसलिए \(n-1=13\) और \(n=14\)। विकल्प 13 में \(n-1\) का मान लिया गया है, पद संख्या का नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या निकालते समय \(n-1\) से \(n\) प्राप्त करने के लिए अंत में 1 जोड़ना न भूलें। / Here, the first term is 24 and the common difference is 6. Thus, \(a_n=24+(n-1)\times6\). From \(24+6(n-1)=102\), we get \(6(n-1)=78\), so \(n-1=13\) and hence \(n=14\). Option 13 is the value of \(n-1\), not the term number. Exam tip: after finding \(n-1\), remember to add 1 to obtain \(n\).
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A. \(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\)
\(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\) को पुनर्व्यवस्थित करने पर \(a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n\) मिलता है; अतः अंतर स्थिर है और अनुक्रम AP है। विकल्प B GP की विशेषता है। परीक्षा में मध्य पद को पड़ोसी पदों के औसत से जाँचें। / Rearranging \(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\) gives \(a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n\), so consecutive differences are constant and the sequence is an AP. Option B is a GP property. Exam tip: test whether the middle term is the average of its neighbours.
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What is the sum of the first (24) terms of the arithmetic progression \(10,15,20,\ldots\)?
B. 1620
यहाँ प्रथम पद \(a=10\), सार्वांतर \(d=5\) और \(n=24\) हैं। \(n\)वाँ पद \(a+(n-1)d=10+23\times5=125\) होगा। अतः \(S_{24}=\frac{24}{2}(10+125)=12\times135=1620\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(1632\) जैसा उत्तर सामान्यतः अंतिम पद या पदों की संख्या गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: योग निकालते समय पहले \(n\)वाँ पद ज्ञात करें और \((n-1)\) अवश्य प्रयोग करें। / Here, the first term is \(a=10\), the common difference is \(d=5\), and \(n=24\). The 24th term is \(a+(n-1)d=10+23\times5=125\). Therefore, \(S_{24}=\frac{24}{2}(10+125)=12\times135=1620\). Hence, option B is correct. An answer such as \(1632\) can result from using an incorrect last term or number of terms. Exam tip: find the \(n\)th term first and remember to use \((n-1)\).
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If \(a_7=49\) and (a=13), what is (d)?
C. 6
समांतर श्रेणी में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_7=a+6d\)। दिए गए मान रखने पर \(49=13+6d\), इसलिए \(36=6d\) और \(d=6\) होगा। विकल्प 5 लेने पर सातवाँ पद \(13+6\times5=43\) आता है, 49 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(d\) का गुणांक हमेशा \(n-1\) होता है। / In an arithmetic progression, the nth term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_7=a+6d\). Substituting the given values gives \(49=13+6d\), so \(36=6d\) and \(d=6\). If 5 were chosen, the seventh term would be \(13+6\times5=43\), not 49. Exam tip: the coefficient of \(d\) in \(a_n\) is always \(n-1\).
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In the arithmetic progression \(18,14,10,6,\ldots\), which term is (-10)?
B. आठवाँ पद8th term
यहाँ प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=14-18=-4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(18+(n-1)(-4)=-10\) से \(-4(n-1)=-28\), इसलिए \(n-1=7\) और \(n=8\)। इसलिए \(-10\) आठवाँ पद है। निकटतम विकल्प सातवाँ पद गलत है, क्योंकि सातवाँ पद \(-6\) होगा। परीक्षा टिप: घटती हुई समांतर श्रेणी में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक रखना न भूलें। / Here, the first term is \(a=18\) and the common difference is \(d=14-18=-4\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(18+(n-1)(-4)=-10\), giving \(-4(n-1)=-28\), so \(n-1=7\) and \(n=8\). Therefore, \(-10\) is the eighth term. The closest distractor, the seventh term, is incorrect because the seventh term is \(-6\). Exam tip: In a decreasing AP, remember to use a negative common difference.
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How many terms of the arithmetic progression \(4,10,16,\ldots\) have sum (490)?
D. (14)
(S_n=\frac{n}{2}[8+6(n-1)]) में (n=14) रखने पर (602) मिलता है, इसलिए दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / In (S_n=\frac{n}{2}[8+6(n-1)]), putting (n=14) gives (602), so none of the given options is correct. In exams, you can check quickly by substituting options.
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