Level 51 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the twelfth term of the arithmetic progression \(11,18,25,32,\ldots\)?
C. (88)
यहाँ (a=11) और (d=7) है, इसलिए \(a_{12}=11+11\times7=88\) है। परीक्षा में (a_n=a+(n-1)d) का प्रयोग करें। / Here (a=11) and (d=7), so \(a_{12}=11+11\times7=88\). In exams, use (a_n=a+(n-1)d).
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Which of the following statements is always true for an arithmetic progression (AP)?
A. किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है।The difference between any two consecutive terms is the same.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों का अंतर एक स्थिर संख्या d होता है; जैसे 3, 7, 11 में अंतर 4 है। पदों का दोगुना होना गुणोत्तर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में लगातार दो पद घटाकर d जाँचें। / In an AP, the difference between consecutive terms is a constant d; for example, 3, 7, 11 has common difference 4. Doubling terms indicates a geometric pattern, not an AP. Exam tip: subtract consecutive terms to test an AP.
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What is the eighth term of the arithmetic progression \(42,36,30,24,\ldots\)?
D. (0)
यहाँ (d=-6) है, इसलिए (a_8=42+7(-6)=0) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / Here (d=-6), so (a_8=42+7(-6)=0). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
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If \(a_n=4n+3\), which term will be (91)?
C. बाईसवाँ पद22nd term
91 कौन-सा पद है, यह जानने के लिए सामान्य पद में \(a_n=91\) रखें: \(4n+3=91\)। अतः \(4n=88\) और \(n=22\) मिलता है। इसलिए 91 बाईसवाँ पद है। 21वाँ पद \(4(21)+3=87\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए मान का पद-क्रम ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To find which term is 91, put \(a_n=91\) in the general term: \(4n+3=91\). Thus, \(4n=88\), so \(n=22\). Therefore, 91 is the 22nd term. The 21st term is \(4(21)+3=87\), so it is not correct. Exam tip: To find the term number of a given value, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
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B. 5
समांतर श्रेणी के लिए सूत्र है: \(a_n=a+(n-1)d\)। यहाँ \(a=14\), \(a_{15}=84\) है, इसलिए \(84=14+(15-1)d=14+14d\)। अतः \(70=14d\), इसलिए \(d=5\)। विकल्प 4 लेने पर पंद्रहवाँ पद \(14+14\times4=70\) होगा, जो 84 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में \(n-1\) अवश्य लें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=14\) and \(a_{15}=84\), so \(84=14+(15-1)d=14+14d\). Thus, \(70=14d\), giving \(d=5\). If the common difference were 4, the fifteenth term would be \(14+14\times4=70\), not 84. Exam tip: always use \(n-1\), not \(n\), in the nth-term formula.
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What is the general term of the arithmetic progression \(7,12,17,22,\ldots\)?
B. \(a_n=5n+2\)
पहला पद (7) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n+2\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (7) and the difference is (5), so \(a_n=5n+2\). In exams, check the first term by putting (n=1).
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What is the sum of the first (10) terms of the arithmetic progression \(2,5,8,11,\ldots\)?
D. (155)
\(S_{10}=\frac{10}{2}[2\times2+9\times3]=155\) है। परीक्षा में योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / \(S_{10}=\frac{10}{2}[2\times2+9\times3]=155\). In exams, use the formula for \(S_n\).
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If (6,x,18) are in arithmetic progression, what is the value of (x)?
C. (12)
मध्य पद \(x=\frac{6+18}{2}=12\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली समांतर श्रेणी में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(x=\frac{6+18}{2}=12\). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
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What is the sum of the first (8) terms of the arithmetic progression \(3,8,13,18,\ldots\)?
C. (164)
\(S_8=\frac{8}{2}[2\times3+7\times5]=164\) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_8=\frac{8}{2}[2\times3+7\times5]=164\). In exams, calculate inside the bracket first.
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A. \(a_n=7-3n\)
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों का अंतर नियत होता है। \(a_n=7-3n\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[7-3(n+1)]-(7-3n)=-3\) है, जो स्थिर है। \(n^2-3\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में हमेशा \(a_{n+1}-a_n\) जाँचें। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. For \(a_n=7-3n\), \(a_{n+1}-a_n=[7-3(n+1)]-(7-3n)=-3\), which is fixed. For \(n^2-3\), the difference changes. Exam tip: test \(a_{n+1}-a_n\).
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What is the general term of the arithmetic progression \(25,21,17,13,\ldots\)?
B. \(a_n=29-4n\)
(n=1) पर (25) और (n=2) पर (21) देने वाला नियम \(a_n=29-4n\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में पहला पद मिलाएँ। / The rule \(a_n=29-4n\) gives (25) at (n=1) and (21) at (n=2). In exams, match the first term in a decreasing progression.
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For an arithmetic progression with (a=8) and \(a_6=43\), what is (d)?
C. 7
समांतर श्रेणी का सूत्र है: \(a_n=a+(n-1)d\)। यहाँ \(a_6=43\), \(a=8\) और \(n=6\) रखने पर \(43=8+5d\) मिलता है। अतः \(5d=35\), इसलिए \(d=7\)। विकल्प 8 लेने पर छठा पद \(8+5\times8=48\) होगा, जो 43 नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) के सूत्र में \(n-1\) का प्रयोग करें, \(n\) का नहीं। / The formula for an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a_6=43\), \(a=8\), and \(n=6\) gives \(43=8+5d\). Thus, \(5d=35\), so \(d=7\). If 8 were chosen, the sixth term would be \(8+5\times8=48\), not 43. Exam tip: use \(n-1\), not \(n\), in the formula for \(a_n\).
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In the arithmetic progression \(4,10,16,22,\ldots\), which term is (70)?
C. बारहवाँ पद12th term
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=4\) और सार्वांतर \(d=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(4+(n-1)6=70\) से \(6(n-1)=66\), इसलिए \(n=12\)। इसलिए 70 बारहवाँ पद है। ग्यारहवाँ पद \(64\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या पूछे जाने पर \(a_n\) को दिए गए पद के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / Here, the first term is \(a=4\) and the common difference is \(d=6\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(4+(n-1)6=70\) gives \(6(n-1)=66\), hence \(n=12\). Therefore, 70 is the twelfth term. The eleventh term is \(64\), so it is not correct. Exam tip: when asked for a term number, equate \(a_n\) to the given term and solve for \(n\).
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If (a=13) and (d=-3), what is the value of \(a_9\)?
B. -11
समांतर श्रेणी का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_9=13+(9-1)(-3)=13-24=-11\)। इसलिए सही उत्तर \(-11\) है। \(-9\) तब मिलता यदि पदों की संख्या के स्थान पर गलत अंतर लिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक \(d\) होने पर गुणा के बाद चिह्न अवश्य जाँचें। / The formula for the nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_9=13+(9-1)(-3)=13-24=-11\). Therefore, \(-11\) is correct. \(-9\) can result from using an incorrect number of common differences. Exam tip: when \(d\) is negative, check the sign after multiplication carefully.
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A. श्रेणी के सभी पद समान हैंAll terms of the progression are equal
यदि \(T_p=T_q\) तथा \(p\ne q\), तो \(a+(p-1)d=a+(q-1)d\) से \((p-q)d=0\) मिलता है। अतः \(d=0\), इसलिए हर पद समान है। परीक्षा में ‘भिन्न स्थानों’ की शर्त अवश्य देखें। / If \(T_p=T_q\) and \(p\ne q\), then \(a+(p-1)d=a+(q-1)d\), giving \((p-q)d=0\). Hence \(d=0\), so every term is equal. Exam tip: note the condition that the positions are distinct.
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What is the sum of the first (20) terms of the arithmetic progression \(1,4,7,10,\ldots\)?
C. 590
यहाँ प्रथम पद \(a=1\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=20\) है। समांतर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। अतः \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(1)+19(3)]=10(59)=590\)। इसलिए सही उत्तर 590 है। 600 लेने पर \((n-1)d\) के स्थान पर गलत मान आ सकता है। परीक्षा टिप: \(n\) पदों के योग में अंतिम पद तक पहुँचने के लिए \(n-1\) अंतर जोड़े जाते हैं। / Here, the first term is \(a=1\), the common difference is \(d=3\), and \(n=20\). The sum of the first \(n\) terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Therefore, \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(1)+19(3)]=10(59)=590\). Hence, 590 is correct. A result such as 600 may come from using an incorrect number of common differences. Exam tip: to reach the \(n\)th term from the first term, use \(n-1\) common differences.
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In an arithmetic progression, \(a_4=20\) and \(a_8=44\), what is (d)?
C. (6)
\(a_8-a_4=4d=24\), इसलिए (d=6) है। परीक्षा में दूर के पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर से बाँटें। / \(a_8-a_4=4d=24\), so (d=6). In exams, divide the difference of terms by the difference of positions.
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If \(a_5=27\) and (d=5), what is the value of \(a_1\)?
B. \(7\)
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_5=a_1+4d\)। दिए गए मान रखने पर \(27=a_1+4\times5=a_1+20\), इसलिए \(a_1=7\) होगा। \(9\) लेने पर पाँचवाँ पद \(29\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद से प्रथम पद तक कुल \(n-1\) अंतर होते हैं। / In an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Therefore, \(a_5=a_1+4d\). Substituting the given values, \(27=a_1+4\times5=a_1+20\), so \(a_1=7\). If \(a_1=9\), the fifth term would be \(29\), not \(27\). Exam tip: there are \(n-1\) common differences between the first term and the \(n\)th term.
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What is \(a_{15}-a_5\) for the arithmetic progression \(6,13,20,27,\ldots\)?
C. (70)
पद-संख्या का अंतर (10) है और (d=7), इसलिए अंतर \(10\times7=70\) है। परीक्षा में दो पदों का अंतर सीधे ((m-n)d) से निकालें। / The position difference is (10) and (d=7), so the difference is \(10\times7=70\). In exams, use ((m-n)d) directly for the difference of two terms.
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If \(a_n=9n-2\), what is the sum of the first (6) terms?
B. (186)
पहले छह पद (7,16,25,34,43,52) हैं और योग (186) है। परीक्षा में नियम से पद निकालकर भी योग जाँच सकते हैं। / The first six terms are (7,16,25,34,43,52), and their sum is (186). In exams, you can verify the sum by listing terms from the rule.
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Which term of the arithmetic progression \(17,24,31,\ldots\) is (80)?
C. दसवाँ पद10th term
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=17\) और सार्वांतर \(d=24-17=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a+(n-1)d\) होता है। अतः \(17+(n-1)\times7=80\) से \((n-1)\times7=63\), इसलिए \(n=10\)। अतः 80 दसवाँ पद है। नौवाँ पद 73 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को सीधे \(a+(n-1)d\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=17\) and the common difference is \(d=24-17=7\). The \(n\)th term is \(a+(n-1)d\). Thus, \(17+(n-1)\times7=80\), so \((n-1)\times7=63\) and hence \(n=10\). Therefore, 80 is the 10th term. The 9th term is 73, so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate the given value directly to \(a+(n-1)d\).
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If \(a_2=12\) and \(a_6=32\), what is the first term?
C. 7
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_2=a+d=12\) तथा \(a_6=a+5d=32\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(4d=20\), इसलिए \(d=5\)। अब \(a+d=12\) में \(d=5\) रखने पर \(a=7\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। 6 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह \(a+d\) के मान से पहले पद को अलग किए बिना लिया गया मान है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो उनके समीकरण घटाकर पहले \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_2=a+d=12\) and \(a_6=a+5d=32\). Subtracting the equations gives \(4d=20\), so \(d=5\). Substituting \(d=5\) into \(a+d=12\) gives \(a=7\). Therefore, the correct answer is 7. Option 6 may seem close, but it does not satisfy the first-term calculation from \(a+d=12\). Exam tip: when two terms are given, subtract their equations first to find \(d\).
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In the arithmetic progression \(30,27,24,21,\ldots\), which term is zero?
C. ग्यारहवाँ पद11th term
यहाँ प्रथम पद \(a=30\) और सार्वांतर \(d=-3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। शून्य पद के लिए \(30+(n-1)(-3)=0\) रखने पर \(30-3n+3=0\), अतः \(n=11\) मिलता है। इसलिए ग्यारहवाँ पद शून्य है। दसवाँ पद \(3\) है, इसलिए वह शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए हमेशा \(a_n\) में दिया गया मान रखकर \(n\) हल करें। / Here, the first term is \(a=30\) and the common difference is \(d=-3\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). For the term to be zero, \(30+(n-1)(-3)=0\). This gives \(30-3n+3=0\), so \(n=11\). Hence, the eleventh term is zero. The tenth term is \(3\), not zero. Exam tip: To find a term number in an AP, substitute the given term value in \(a_n\) and solve for \(n\).
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If (a=2) and \(a_9=50\), what is (d)?
C. 6
समांतर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_9=2+(9-1)d=2+8d\)। दिया है \(a_9=50\), इसलिए \(50=2+8d\), जिससे \(8d=48\) और \(d=6\) प्राप्त होता है। विकल्प 5 लेने पर नौवाँ पद \(2+8\times5=42\) होगा, जो 50 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(d\) का गुणांक हमेशा \(n-1\) होता है। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Hence, \(a_9=2+(9-1)d=2+8d\). Given \(a_9=50\), we get \(50=2+8d\), so \(8d=48\) and \(d=6\). If \(d=5\), the ninth term would be \(2+8\times5=42\), not 50. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the coefficient of \(d\) is always \(n-1\).
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What is the sum of the first (12) terms of the arithmetic progression \(9,16,23,\ldots\)?
C. 570
यहाँ प्रथम पद \(a=9\), सार्वांतर \(d=16-9=7\) तथा \(n=12\) है। सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(9)+11(7)]=6(18+77)=570\)। इसलिए सही उत्तर 570 है। 558 प्राप्त हो सकता है यदि पदों की संख्या या \((n-1)\) को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग से लिखें। / Here, the first term is \(a=9\), the common difference is \(d=16-9=7\), and \(n=12\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(9)+11(7)]=6(18+77)=570\). Therefore, 570 is correct. A value such as 558 may result from using the wrong number of terms or misusing \((n-1)\). Exam tip: write down \(a\), \(d\), and \(n\) before substituting in the sum formula.
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In an arithmetic progression where \(a_3=15\) and \(a_7=35\), what is \(a_1\)?
B. (5)
(4d=20) से (d=5) और (a+2d=15) से (a=5) है। परीक्षा में दो दिए पदों से पहले (d) निकालें। / From (4d=20), (d=5), and from (a+2d=15), (a=5). In exams, find (d) first using two given terms.
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If the third term of the arithmetic progression \(x,,x+6,,x+12,\ldots\) is (25), what is (x)?
B. (13)
तीसरा पद (x+12=25) है, इसलिए (x=13) है। परीक्षा में बीजीय पदों को सीधे समीकरण में रखें। / The third term is (x+12=25), so (x=13). In exams, put algebraic terms directly into an equation.
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How many terms are there up to (41) in the arithmetic progression \(5,9,13,\ldots\)?
C. 10
यहाँ प्रथम पद 5 और सार्वांतर 4 है। सामान्य पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) लगाने पर \(41=5+(n-1)\times4\) मिलता है। अतः \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 गलत है, क्योंकि वह 37 तक के पदों की संख्या है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए अंतिम पद तक पदों की संख्या निकालने के लिए उसे \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / Here, the first term is 5 and the common difference is 4. Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(41=5+(n-1)\times4\). Thus, \(n-1=9\), so \(n=10\). Option 9 is incorrect because 37 is the ninth term. Exam tip: To find the number of terms up to a given last term, equate that term to \(a_n\) and solve for \(n\).
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If the first (4) terms of an arithmetic progression are (3,8,13,18), what is \(S_4\)?
B. 42
यहाँ \(S_4\), पहले चार पदों का योग है। अतः \(S_4=3+8+13+18=42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। 40 प्राप्त करने पर किसी पद को गलत जोड़ने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: कम पद हों तो सीधे जोड़ें; वैकल्पिक रूप से \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms. Thus, \(S_4=3+8+13+18=42\). Therefore, 42 is correct. Getting 40 usually indicates an addition error in one of the terms. Exam tip: for a few terms, add directly; alternatively, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
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Which term of the arithmetic progression \(12,18,24,\ldots\) is (96)?
C. पंद्रहवाँ पद15th term
यहाँ प्रथम पद \(a=12\) और सार्वांतर \(d=18-12=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(12+(n-1)\times6=96\) से \((n-1)\times6=84\), इसलिए \(n-1=14\) और \(n=15\)। इसलिए 96 पंद्रहवाँ पद है। चौदहवाँ पद \(90\) होता है, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर \(a_n=a+(n-1)d\) में मान रखें। / Here, the first term is \(a=12\) and the common difference is \(d=18-12=6\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(12+(n-1)\times6=96\). Thus, \((n-1)\times6=84\), so \(n-1=14\) and \(n=15\). Hence, 96 is the 15th term. The 14th term is \(90\), so that nearby option is incorrect. Exam tip: identify \(a\) and \(d\) first, then substitute them in \(a_n=a+(n-1)d\).
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If \(a_1=20\) and (d=-2), what is \(a_{12}\)?
A. \(-2\)
समांतर श्रेणी का सामान्य पद \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}=20+(12-1)(-2)=20-22=-2\)। इसलिए सही उत्तर \(-2\) है। \(0\) तब मिलता यदि 10वाँ पद पूछा जाता। परीक्षा टिप: घटती समांतर श्रेणी में \(d\) का ऋण चिह्न गुणा करते समय अवश्य बनाए रखें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_{12}=20+(12-1)(-2)=20-22=-2\). Therefore, \(-2\) is correct. The value \(0\) would be obtained for the 10th term, not the 12th term. Exam tip: retain the negative sign of \(d\) carefully in a decreasing AP.
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What is the sum of the first (15) terms of the arithmetic progression \(2,7,12,17,\ldots\)?
B. (555)
\(S_{15}=\frac{15}{2}[4+14\times5]=555\) है। परीक्षा में भिन्न आए तो पहले कोष्ठक सरल करें। / \(S_{15}=\frac{15}{2}[4+14\times5]=555\). In exams, simplify the bracket first when a fraction appears.
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If \(a_4=26\) and (d=6), what is the value of \(a_{10}\)?
C. (62)
चौथे से दसवें पद तक (6) अंतर हैं, इसलिए \(a_{10}=26+6\times6=62\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) differences from the fourth to the tenth term, so \(a_{10}=26+6\times6=62\). In exams, count the difference in positions.
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In the arithmetic progression \(100,92,84,\ldots\), which term is (20)?
B. ग्यारहवाँ पद11th term
यहाँ प्रथम पद \(a=100\) और सार्वांतर \(d=92-100=-8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(20=100+(n-1)(-8)\), जिससे \(8(n-1)=80\) और \(n=11\) मिलता है। इसलिए 20 ग्यारहवाँ पद है। दसवाँ पद 28 होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घटती समांतर श्रेणी में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक रखना न भूलें। / Here, the first term is \(a=100\) and the common difference is \(d=92-100=-8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(20=100+(n-1)(-8)\), giving \(8(n-1)=80\) and hence \(n=11\). Therefore, 20 is the 11th term. The 10th term is 28, so it is a close but incorrect option. Exam tip: keep the common difference negative for a decreasing arithmetic progression.
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If (a=4) and \(S_6=114\), what is (d)?
B. (6)
\(114=\frac{6}{2}[8+5d]\) से (d=6) मिलता है। परीक्षा में \(S_n\) सूत्र में (2a) और ((n-1)d) सही रखें। / From \(114=\frac{6}{2}[8+5d]\), (d=6). In exams, keep (2a) and ((n-1)d) correct in the \(S_n\) formula.
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What is the value of \(a_9+a_{11}\) for the arithmetic progression \(14,19,24,\ldots\)?
B. 118
यहाँ प्रथम पद \(a=14\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_9=14+8\times5=54\) तथा \(a_{11}=14+10\times5=64\) प्राप्त होता है। अतः \(a_9+a_{11}=54+64=118\)। 124 का विकल्प तब आ सकता है जब \(a_{11}\) की गणना में पदों की संख्या गलत गिनी जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \((n-1)d\) लगाएँ। / Here, the first term is \(a=14\) and the common difference is \(d=5\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_9=14+8\times5=54\) and \(a_{11}=14+10\times5=64\). Therefore, \(a_9+a_{11}=54+64=118\). Option 124 may result from incorrectly counting the number of differences for \(a_{11}\). Exam tip: always use \((n-1)d\) for the \(n\)th term.
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If \(a_n=50-3n\), which term will be equal to (5)?
C. पंद्रहवाँ पद15th term
दिया है कि a_n=50-3n और a_n=5। अतः 50-3n=5, इसलिए 3n=45 तथा n=15। इसलिए पंद्रहवाँ पद 5 के बराबर है। चौदहवें पद के लिए मान 50-3(14)=8 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को a_n के बराबर रखकर n हल करें। / Given a_n=50-3n and a_n=5, we get 50-3n=5. Thus, 3n=45 and n=15. Therefore, the 15th term is equal to 5. For the 14th term, the value is 50-3(14)=8, so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate the given term value to a_n and solve for n.
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What is the sum of the first (9) terms of the arithmetic progression \(7,14,21,\ldots\)?
B. (315)
यह (7) के पहले (9) गुणजों का योग है, जो (315) है। परीक्षा में गुणजों की श्रेणी को जल्दी पहचानें। / This is the sum of the first (9) multiples of (7), which is (315). In exams, identify sequences of multiples quickly.
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If an arithmetic progression has \(a_5=30\) and \(a_{12}=72\), what is (d)?
B. 6
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा सार्वांतर के बराबर होता है। अतः \(a_{12}-a_5=(12-5)d\)। इसलिए \(72-30=7d\), अर्थात \(42=7d\), जिससे \(d=6\) मिलता है। विकल्प 7 क्रमांकों के अंतर को सीधे उत्तर मान लेने की सामान्य गलती है। परीक्षा टिप: \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करते समय पदों के क्रमांक ध्यान से लिखें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference: \(a_{12}-a_5=(12-5)d\). Thus, \(72-30=7d\), so \(42=7d\) and \(d=6\). Choosing 7 would confuse the difference in term positions with the common difference. Exam tip: when using \(a_n=a+(n-1)d\), track the term numbers carefully.
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Which of the following sequences is an arithmetic progression based on its general term?
A. \(a_n=7-3n\)
\(a_n=7-3n\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[7-3(n+1)]-(7-3n)=-3\) है, जो प्रत्येक \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह समांतर श्रेणी है। \(n^2-3\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: क्रमागत पदों का अंतर अवश्य जाँचें। / For \(a_n=7-3n\), \(a_{n+1}-a_n=[7-3(n+1)]-(7-3n)=-3\), which is constant for every \(n\). Hence it is an AP. In \(n^2-3\), the difference changes. Exam tip: always test consecutive-term differences.
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A. \(T_p+T_r=2T_q\)
\(T_n=a+(n-1)d\) रखने पर \(T_p+T_r=2a+(p+r-2)d\) मिलता है। \(p+r=2q\) रखने से यह \(2[a+(q-1)d]=2T_q\) बनता है। गुणन वाला विकल्प सामान्यतः सत्य नहीं होता। परीक्षा में समान दूरी वाले पदों के लिए मध्य पद का दोगुना याद रखें। / Using \(T_n=a+(n-1)d\), we get \(T_p+T_r=2a+(p+r-2)d\). Since \(p+r=2q\), this becomes \(2[a+(q-1)d]=2T_q\). The product relation is not generally true. Exam tip: terms equally spaced in an AP have the middle term as their average.
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In an arithmetic progression, \(a_3=11\) and \(a_9=47\), what is \(a_1\)?
A. (-1)
(6d=36) से (d=6) और (a+2d=11) से (a=-1) है। परीक्षा में पहले (d) और फिर पहला पद निकालें। / From (6d=36), (d=6), and from (a+2d=11), (a=-1). In exams, find (d) first and then the first term.
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If \(a_n=6n+1\), what is the value of \(a_4+a_8\)?
B. 74
दिया है: \(a_n=6n+1\)। अतः \(a_4=6(4)+1=25\) और \(a_8=6(8)+1=49\)। इसलिए \(a_4+a_8=25+49=74\)। विकल्प 72 तब मिल सकता है जब स्थिर पद \(+1\) को छोड़ दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: अलग-अलग पद निकालते समय प्रत्येक बार \(n\) का सही मान सूत्र में रखें। / Given \(a_n=6n+1\), \(a_4=6(4)+1=25\) and \(a_8=6(8)+1=49\). Therefore, \(a_4+a_8=25+49=74\). Option 72 may result from ignoring the constant term \(+1\), which is incorrect. Exam tip: substitute the correct value of \(n\) each time you find a term.
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In the arithmetic progression \(22,27,32,\ldots\), if \(a_n=87\), what is (n)?
C. 14
यहाँ प्रथम पद 22 और सार्वांतर 5 है। इसलिए nवाँ पद होगा: \(a_n=22+(n-1)\times5\)। \(a_n=87\) रखने पर \(22+5(n-1)=87\), अतः \(5(n-1)=65\), \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 87 श्रेणी का 14वाँ पद है। 13 लेने पर पद का मान \(82\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या निकालते समय \(n-1\) वाले भाग को ध्यान से हल करें। / Here, the first term is 22 and the common difference is 5. Thus, the nth term is \(a_n=22+(n-1)\times5\). Substituting \(a_n=87\), we get \(22+5(n-1)=87\), so \(5(n-1)=65\), \(n-1=13\), and \(n=14\). Therefore, 87 is the 14th term of the AP. If 13 is chosen, the term would be \(82\), not 87. Exam tip: while finding a term number, handle the \(n-1\) carefully.
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A. \(p+s=q+r\)
चार पद \(p, p+d, p+2d, p+3d\) लिखें। तब \(p+s=p+(p+3d)=2p+3d\) और \(q+r=(p+d)+(p+2d)=2p+3d\) हैं। इसलिए A सही है; \(ps=qr\) सामान्यतः सत्य नहीं होता। परीक्षा टिप: बाहरी पदों का योग बीच के पदों के योग के बराबर होता है। / Write the terms as \(p, p+d, p+2d, p+3d\). Then \(p+s=p+(p+3d)=2p+3d\), while \(q+r=(p+d)+(p+2d)=2p+3d\). Hence A is correct; \(ps=qr\) is not generally true. Exam tip: the sum of outer terms equals the sum of inner terms.
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What is the sum of the first (25) terms of the arithmetic progression \(8,12,16,\ldots\)?
C. 1400
यहाँ पहला पद \(a=8\), सार्वांतर \(d=12-8=4\) और पदों की संख्या \(n=25\) है। सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{25}=\frac{25}{2}[2(8)+24(4)]=\frac{25}{2}(112)=1400\)। इसलिए सही उत्तर 1400 है। 1350 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम पद या \((n-1)\) की गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n\) पदों के लिए अंतर वाले भाग में हमेशा \((n-1)\) लें। / Here, the first term is \(a=8\), the common difference is \(d=12-8=4\), and \(n=25\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{25}=\frac{25}{2}[2(8)+24(4)]=\frac{25}{2}(112)=1400\). Therefore, 1400 is correct. An option such as 1350 may result from an error in finding the last term or in using \((n-1)\). Exam tip: for \(n\) terms, always use \((n-1)\) with the common difference in the sum formula.
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If \(a_6=41\) and (a=11), what is (d)?
C. 6
समांतर श्रेणी का nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_6=a+5d\)। दिए गए मान रखने पर \(41=11+5d\), इसलिए \(5d=30\) और \(d=6\)। विकल्प 5 लेने पर छठा पद \(11+5\times5=36\) होगा, जो 41 नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(d\) का गुणांक हमेशा \(n-1\) होता है, \(n\) नहीं। / The formula for the nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_6=a+5d\). Substituting the given values gives \(41=11+5d\), so \(5d=30\) and \(d=6\). If 5 were chosen, the sixth term would be \(11+5\times5=36\), not 41. Exam tip: the coefficient of \(d\) in \(a_n\) is always \(n-1\), not \(n\).
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In the arithmetic progression \(13,10,7,4,\ldots\), which term is (-8)?
A. आठवाँ पद8th term
यहाँ प्रथम पद \(a=13\) और सार्वांतर \(d=10-13=-3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(13+(n-1)(-3)=-8\) से \(-3(n-1)=-21\), इसलिए \(n-1=7\) और \(n=8\)। इसलिए \(-8\), आठवाँ पद है। नौवाँ पद \(-11\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(d\) का ऋणात्मक चिन्ह सही लिखें, फिर \(a_n\) का सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=13\) and the common difference is \(d=10-13=-3\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(13+(n-1)(-3)=-8\), giving \(-3(n-1)=-21\). Hence \(n-1=7\) and \(n=8\). Therefore, \(-8\) is the eighth term. The ninth term would be \(-11\), so it is not correct. Exam tip: write the negative common difference carefully before applying the \(n\)th-term formula.
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If (a=6) and (d=8), what is the value of \(a_5+a_6\)?
B. (88)
\(a_5=38\) और \(a_6=46\), इसलिए योग (84) नहीं बल्कि (84) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=38\) and \(a_6=46\), so the sum is (84). In exams, find both terms separately and add them.
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How many terms of the arithmetic progression \(6,11,16,\ldots\) have sum (451)?
B. (11)
(S_n=\frac{n}{2}[12+5(n-1)]) में (n=11) रखने पर (451) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / In (S_n=\frac{n}{2}[12+5(n-1)]), putting (n=11) gives (451). In exams, you can also check quickly by substituting options.
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