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दिए गए समीकरण में \(8x\) को दूसरी ओर ले जाएँ: \(4y=-8x+28\)। अब 4 से भाग देने पर \(y=-2x+7\) मिलता है। अतः \(y=mx+c\) से तुलना करने पर \(m=-2\) और \(c=7\) हैं। विकल्प A में \(y\)-अवरोध सही है, लेकिन ढाल का ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा टिप: \(Ax+By=C\) में \(y\) का गुणांक हटाने के लिए पूरे समीकरण को \(B\) से विभाजित करें। / Move \(8x\) to the other side: \(4y=-8x+28\). Dividing by 4 gives \(y=-2x+7\). Comparing this with \(y=mx+c\), we get \(m=-2\) and \(c=7\). In option A, the y-intercept is correct, but the negative sign of the slope is missing. Exam tip: For \(Ax+By=C\), divide the whole equation by the coefficient of \(y\) after isolating the \(y\)-term.
x = 4 वाली रेखा y-अक्ष के समानांतर है, अतः उसे नहीं काटती और इसका y-अवरोध नहीं होता। y = 4, y-अक्ष को काटती है। परीक्षा टिप: x = स्थिरांक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। / The line x = 4 is parallel to the y-axis, so it never meets the y-axis and has no y-intercept. In contrast, y = 4 meets it at (0, 4). Exam tip: x = constant denotes a vertical line.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल है। यहाँ \(x\) का गुणांक \(k+4\) है, इसलिए \(k+4=9\)। अतः \(k=9-4=5\)। विकल्प \(9\) ढाल का मान है, \(k\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में हमेशा \(x\) के गुणांक को ढाल पहचानें। / A line in the form \(y=mx+c\) has slope \(m\). Here, the coefficient of \(x\) is \(k+4\), so \(k+4=9\). Therefore, \(k=9-4=5\). Option \(9\) is the slope, not the value of \(k\). Exam tip: In \(y=mx+c\), identify the coefficient of \(x\) as the slope.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-2\) ऋणात्मक तथा \(c=4\) है। विकल्प C की ढाल ऋणात्मक है, पर उसका अवरोध \(-4\) है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Option A has \(m=-2\), which is negative, and \(c=4\). Option C also has a negative slope but its intercept is \(-4\). Exam tip: check the coefficient of \(x\) and the constant term separately.
दिए गए बिंदु \((-3,14)\) को रेखा \(y=mx+5\) में रखने पर \(14=m(-3)+5\) मिलता है। अतः \(14=-3m+5\), इसलिए \(-3m=9\) और \(m=-3\)। इसलिए ढाल \(-3\) है। \(5\) रेखा का y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: बिंदु के \(x\) और \(y\) मान को क्रमशः \(x\) और \(y\) के स्थान पर रखें। / Substitute the point \((-3,14)\) in \(y=mx+5\): \(14=m(-3)+5\). Thus, \(14=-3m+5\), so \(-3m=9\) and \(m=-3\). Therefore, the slope is \(-3\). The number \(5\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: substitute the point's x- and y-coordinates in the line equation carefully.
ढाल-अंतःखंड रूप में \(y\) अकेला होता है, \(x\) का गुणांक ढाल और स्थिर पद \(y\)-अंतःखंड होता है। A में ढाल \(-3\) तथा अंतःखंड 7 है। B को पहले \(y\) के लिए हल करना पड़ेगा। परीक्षा में \(y=mx+c\) का स्वरूप पहचानें। / In slope-intercept form, \(y\) is isolated; the coefficient of \(x\) is the slope and the constant is the y-intercept. In A, the slope is \(-3\) and the intercept is 7. Option B must first be rearranged for \(y\). Exam tip: look for \(y=mx+c\) directly.
\(x=4\) में x का मान स्थिर रहता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और इसकी ढाल अपरिभाषित होती है। यह y-अक्ष से नहीं मिलती। परीक्षा टिप: \(x=c\) सदैव vertical line होती है। / In \(x=4\), the x-coordinate is fixed, so the graph is a vertical line and its slope is undefined. It does not meet the y-axis. Exam tip: an equation \(x=c\) always represents a vertical line.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। \(y=-2x+4\) में ढाल \(-2\) ऋणात्मक तथा अवरोध 4 है। परीक्षा में पहले समीकरण को इसी रूप में पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=-2x+4\), the slope is \(-2\) and the intercept is 4. Exam tip: identify \(m\) and \(c\) directly first.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है। यहाँ ढाल \(2p-3\) है, इसलिए \(2p-3=13\)। अतः \(2p=16\) और \(p=8\)। विकल्प \(7\) लेने पर ढाल \(2(7)-3=11\) होगी, जो 13 नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक को देखें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). Here, the slope is \(2p-3\), so \(2p-3=13\). Hence, \(2p=16\) and \(p=8\). If \(p=7\), the slope would be \(2(7)-3=11\), not 13. Exam tip: To identify the slope, look at the coefficient of \(x\).
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-2\), इसलिए रेखा नीचे उतरती है, तथा \(c=5>0\), इसलिए y-अक्ष पर कटान मूल बिंदु से ऊपर है। विकल्प C की ढाल सही है, पर उसका y-अवरोध ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ढाल का चिन्ह और स्थिरांक का चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For option A, \(m=-2\) gives a downward slope, while \(c=5>0\) places the y-intercept above the origin. Option C also has a negative slope, but its intercept is below the origin. Exam tip: check the signs of \(m\) and \(c\) separately.
एक जल-टंकी में आरम्भ में 120 लीटर पानी है और उसमें 8 लीटर प्रति मिनट की स्थिर दर से पानी भरा जा रहा है। एक विद्यार्थी पानी की मात्रा \(W\) और समय \(t\) के लिए \(W=120t+8\) लिखता है। उसके मॉडल में कौन-सी त्रुटि है?
A. प्रति मिनट की दर और प्रारम्भिक मात्रा को परस्पर बदल दिया गया है; सही मॉडल \(W=8t+120\) है।/The per-minute rate and the initial amount have been interchanged; the correct model is \(W=8t+120\).
Explanation
Simple Explanation
रेखीय मॉडल में \(t=0\) पर \(W\) का मान प्रारम्भिक मात्रा होता है, इसलिए \(W=120\) चाहिए। 8 प्रति मिनट ढाल है, अतः सही मॉडल \(W=8t+120\) है। परीक्षा टिप: स्थिर पद को \(t=0\) रखकर जाँचें। / In a linear model, the value of \(W\) at \(t=0\) is the initial amount, so it must be 120. The rate 8 litres per minute is the slope; hence \(W=8t+120\). Exam tip: substitute \(t=0\) to check the intercept.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब -4y+12=0, अतः -4y=-12 और y=3 मिलता है। इसलिए रेखा y-अक्ष को (0,3) पर काटती है और उसका y-अवरोध 3 है। -3 चिन्ह की गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. Then -4y+12=0, so -4y=-12 and y=3. Hence, the line crosses the y-axis at (0,3), and its y-intercept is 3. The value -3 may result from a sign error. Exam tip: always set x=0 to find the y-intercept.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल q - 2 और दूसरी रेखा की ढाल 5 है। समान ढाल के लिए q - 2 = 5, अतः q = 7। विकल्प 6 लेने पर पहली ढाल 4 होगी, जो 5 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: समानांतर या समान ढाल वाली रेखाओं में x के गुणांकों को बराबर रखें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. The slopes of the first and second lines are q - 2 and 5 respectively. For equal slopes, q - 2 = 5, so q = 7. If q were 6, the first slope would be 4, not 5. Exam tip: for parallel lines or lines with equal slopes, equate their coefficients of x.
रेखा के समीकरण \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। पहली रेखा \(y=-6x+s\) का \(y\)-अवरोध \(s\) है, जबकि दूसरी रेखा \(y=2x-9\) का \(y\)-अवरोध \(-9\) है। दोनों अवरोध समान हैं, इसलिए \(s=-9\)। \(-6\) पहली रेखा का ढाल है, अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is the constant term \(c\). The \(y\)-intercept of \(y=-6x+s\) is \(s\), while that of \(y=2x-9\) is \(-9\). Since the intercepts are equal, \(s=-9\). Note that \(-6\) is the slope of the first line, not its intercept. Exam tip: put \(x=0\) to find the \(y\)-intercept.
A. यह प्रत्येक a के लिए सत्य है/It is true for every a
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y=mx+c में ढाल x का गुणांक m तथा y-अवरोध स्थिर पद c होता है। यहाँ ढाल a+3 और y-अवरोध a है। अतः उनका अंतर (a+3)-a=3 है, जो a के प्रत्येक मान के लिए समान रहता है। a=3 या a=0 रखने पर भी अंतर 3 आता है, लेकिन यह केवल उन्हीं मानों तक सीमित नहीं है। परीक्षा टिप: y=mx+c में पहले x का गुणांक और फिर स्थिर पद पहचानें। / In the form y=mx+c, the slope is the coefficient of x, m, and the y-intercept is the constant term, c. Here, the slope is a+3 and the y-intercept is a. Therefore, their difference is (a+3)-a=3, which remains true for every value of a. Although a=3 and a=0 also give a difference of 3, the statement is not restricted to those values. Exam tip: In y=mx+c, first identify the coefficient of x and then the constant term.
रेखा \(y=mx+c\) में \(c\), y-अक्ष अवरोध और \(m\), ढाल है। विकल्प A में दोनों का अवरोध \(-3\) है, पर ढालें \(2\) और \(-1\) हैं। B में ढाल समान है, इसलिए वे समानांतर हैं। परीक्षा टिप: पहले \(c\), फिर \(m\) मिलाइए। / In \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept and \(m\) is the slope. In option A, both intercepts are \(-3\), while the slopes are \(2\) and \(-1\). In B, equal slopes make the lines parallel. Exam tip: compare \(c\) first, then \(m\).
दी गई रेखा की ढाल \(\frac{3}{2}\) है; लम्बवत रेखा की ढाल \(-\frac{2}{3}\) होगी। y-अवरोध 4 रखने पर A मिलता है। B समानांतर है। टिप: लम्बवत ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है। / The given line has slope \(\frac{3}{2}\), so a perpendicular line has slope \(-\frac{2}{3}\). With y-intercept 4, A follows. B is parallel. Tip: perpendicular slopes multiply to \(-1\).
रेखा को \(y=mx+c\) रूप में लिखें: \(2y=-3x+8\), इसलिए \(y=-\frac{3}{2}x+4\)। अतः ढाल \(-\frac{3}{2}\) और y-अवरोधन 4 है। चिह्न बदलना भूलना सामान्य त्रुटि है। / Write the equation in \(y=mx+c\) form: \(2y=-3x+8\), so \(y=-\frac{3}{2}x+4\). Hence the slope is \(-\frac{3}{2}\) and the y-intercept is 4. Exam tip: check signs while transposing terms.
A. यह x-अक्ष के समानांतर है और इसका y-अवरोध \(-6\) है।
Explanation
Simple Explanation
\(y=0x-6\) में x का गुणांक 0 है, इसलिए ढाल 0 होती है और रेखा क्षैतिज, अर्थात x-अक्ष के समानांतर होती है। \(x=0\) रखने पर \(y=-6\) मिलता है, इसलिए y-अवरोध \(-6\) है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m=0\) होने पर रेखा हमेशा क्षैतिज होती है। / In \(y=0x-6\), the coefficient of x is 0, so the slope is 0 and the line is horizontal, parallel to the x-axis. Putting \(x=0\) gives \(y=-6\), so the y-intercept is \(-6\). Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m=0\) always represents a horizontal line.
A. रेखाएँ \(y=2x+5\) और \(y=-3x+5\)/Lines \(y=2x+5\) and \(y=-3x+5\)
Explanation
Simple Explanation
रेखा \(y=mx+c\) में \(c\) y-अवरोध और \(m\) ढाल है। विकल्प A में दोनों का \(c=5\) है, जबकि ढालें 2 और -3 हैं। परीक्षा में \(x\) के गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept and \(m\) is the slope. In option A, both lines have \(c=5\), while their slopes are 2 and -3. Exam tip: compare the x-coefficient and constant term separately.
रेखा का ढाल \(\frac{7}{3}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 3 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 7 इकाई बढ़ता है। इसलिए \(\Delta y=21\) के लिए \(\frac{7}{3}\Delta x=21\) होगा। अतः \(\Delta x=21\times\frac{3}{7}=9\)। विकल्प 7 लेने पर \(y\) में केवल \(\frac{49}{3}\) की वृद्धि होगी, 21 की नहीं। परीक्षा टिप: रेखा \(y=mx+c\) में परिवर्तन के प्रश्नों के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) का प्रयोग करें। / The slope is \(\frac{7}{3}\), meaning that an increase of 3 units in \(x\) increases \(y\) by 7 units. For \(\Delta y=21\), we use \(\frac{7}{3}\Delta x=21\). Hence, \(\Delta x=21\times\frac{3}{7}=9\). If \(x\) increased by 7, then \(y\) would increase by only \(\frac{49}{3}\), not 21. Exam tip: for a line \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\) in change-based questions.
B. रेखा घटती है और y-अवरोध ऋणात्मक है/The line falls and the y-intercept is negative
Explanation
Simple Explanation
रूप y = px + q में p रेखा की ढाल और q y-अवरोध होता है। यहाँ p = -5 है, इसलिए x बढ़ने पर y घटता है और रेखा नीचे की ओर जाती है। q = -4 होने से रेखा y-अक्ष को -4 पर काटती है, जो ऋणात्मक y-अवरोध है। विकल्प C गलत है क्योंकि क्षैतिज रेखा के लिए ढाल 0 होती है। परीक्षा टिप: ढाल का चिह्न रेखा के बढ़ने या घटने को बताता है, जबकि स्थिर पद y-अवरोध बताता है। / In y = px + q, p is the slope of the line and q is its y-intercept. Here, p = -5, so y decreases as x increases and the line falls from left to right. Since q = -4, the line meets the y-axis at -4, giving a negative y-intercept. Option C is incorrect because a horizontal line has slope 0. Exam tip: the sign of the slope shows whether a line rises or falls, while the constant term gives the y-intercept.
\(x=5\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो y-अक्ष \((x=0)\) को नहीं काटती; इसलिए इसका y-अवरोध नहीं है। \(y=2x+1\) में y-अवरोध 1 है। परीक्षा टिप: \(x=c\), जहाँ \(c\ne0\), का y-अवरोध नहीं होता। / \(x=5\) is a vertical line and never meets the y-axis, whose equation is \(x=0\); hence it has no y-intercept. In contrast, \(y=2x+1\) meets it at 1. Exam tip: \(x=c\), for \(c\ne0\), has no y-intercept.
\(x=5\) में x का मान नियत है, इसलिए इसकी रेखा ऊर्ध्वाधर होती है और y-अक्ष के समानांतर रहती है। y-अक्ष का समीकरण \(x=0\) है, अतः \(x=5\) उसे नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=\text{नियतांक}\) हमेशा ऊर्ध्वाधर रेखा है। / In \(x=5\), the x-coordinate is fixed, so the graph is a vertical line parallel to the y-axis. Since the y-axis is \(x=0\), it cannot meet \(x=5\). Exam tip: any equation \(x=\text{constant}\) represents a vertical line.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(c\), \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(2n-5=7\) होगा। अतः \(2n=12\) और \(n=6\)। इसलिए ढाल \(n-3=6-3=3\) है। विकल्प 2 ढाल नहीं है; वह \(n\) का मान निकालने की प्रक्रिया में नहीं मिलता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल होता है। / A line in the form \(y=mx+c\) has \(c\) as its \(y\)-intercept. Here, \(2n-5=7\). Thus, \(2n=12\) and \(n=6\). Therefore, the slope is \(n-3=6-3=3\). Option 2 is not the slope; it does not result from substituting the value of \(n\). Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=5\) धनात्मक है। विकल्प C की ढाल सही है, पर उसका अवरोध ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) के गुणांक का चिह्न पहले जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-3\) is negative and \(c=5\) is positive. Option C has a negative slope but a negative intercept. Exam tip: check the signs of both coefficients separately.
रेखा की ढाल \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{18}{3}=6\) है। दिया गया बिंदु \((0,-8)\) बताता है कि \(y\)-अवरोध \(-8\) है। अतः ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में रेखा \(y=6x-8\) होगी। \(y=18x-8\) में अवरोध सही है, लेकिन उसकी ढाल 18 है। परीक्षा टिप: पहले परिवर्तन से ढाल निकालें, फिर \(x=0\) वाले बिंदु से \(y\)-अवरोध पहचानें। / The slope is \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{18}{3}=6\). The point \((0,-8)\) shows that the \(y\)-intercept is \(-8\). Therefore, using slope-intercept form \(y=mx+c\), the line is \(y=6x-8\). In \(y=18x-8\), the intercept is correct, but the slope is 18, not 6. Exam tip: find the slope from the changes first, then use the point with \(x=0\) to identify the \(y\)-intercept.
जब \(x\) में \(4\) की वृद्धि पर \(y\) में \(20\) की कमी होती है, तो ढाल \(m=\frac{-20}{4}=-5\) होगी। रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,12)\) पर काटती है, इसलिए \(y\)-अवरोध \(12\) है। अतः समीकरण \(y=-5x+12\) है। \(y=-20x+12\) में अवरोध सही है, पर उसकी ढाल \(-20\) है। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर निकालते समय कमी के लिए ऋण चिह्न अवश्य लगाएँ। / When \(x\) increases by \(4\) and \(y\) decreases by \(20\), the slope is \(m=\frac{-20}{4}=-5\). Since the line meets the \(y\)-axis at \((0,12)\), its \(y\)-intercept is \(12\). Therefore, the equation is \(y=-5x+12\). Although \(y=-20x+12\) has the correct intercept, its slope is \(-20\), not \(-5\). Exam tip: Use a negative sign for the change in \(y\) when the quantity decreases.
\(y=mx+c\) में \(m>0\) होने पर रेखा बाएँ से दाएँ ऊपर जाती है और \(c=-5\) y-अक्ष पर कटाव को मूल बिंदु से नीचे रखता है। इसलिए A सही है; B में \(m<0\) है। परीक्षा टिप: \(m\) व \(c\) के चिन्ह अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m>0\) means the line rises left to right, and \(c=-5\) puts its y-intercept below zero. Thus A is correct; B has \(m<0\). Exam tip: inspect \(m\) and \(c\) separately.
रेखा के रूप y = mx + c में y-अवरोध c होता है। यहाँ y-अवरोध u + 3 है, इसलिए u + 3 = 11 से u = 8 मिलता है। अब ढाल 2u - 1 = 2(8) - 1 = 15 है। 16 प्राप्त करना सामान्यतः अंतिम 1 को घटाना भूलने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले y-अवरोध से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे ढाल के गुणांक में रखें। / In the form y = mx + c, the y-intercept is c. Here, the y-intercept is u + 3, so u + 3 = 11 gives u = 8. Therefore, the slope is 2u - 1 = 2(8) - 1 = 15. Option 16 can result from forgetting to subtract 1. Exam tip: first find the parameter using the y-intercept, then substitute it into the coefficient of x.
A. (y)-अवरोध (7), ढाल \(-\frac{4}{5}\)/(y)-intercept (7), slope \(-\frac{4}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
(5y=-4x+35) से \(y=-\frac{4}{5}x+7\) मिलता है। इसलिए (y)-अवरोध (7) और ढाल \(-\frac{4}{5}\) है। / From (5y=-4x+35), \(y=-\frac{4}{5}x+7\). So the (y)-intercept is (7) and slope is \(-\frac{4}{5}\).
किसी रेखा का y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। पहली रेखा में y=b और दूसरी रेखा में y=6 मिलता है। चूँकि दोनों रेखाएँ y-अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती हैं, उनके y-अवरोध समान होंगे। अतः b=6। 5 पहली रेखा का ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find a line’s y-intercept, put x=0. For the first line, y=b, while for the second line, y=6. Since both lines meet the y-axis at the same point, their y-intercepts must be equal. Hence, b=6. The number 5 is the slope of the first line, not its y-intercept. Exam tip: always set x=0 to find the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। इसलिए समान ढाल होने पर \(a=6\) होगा। पहली रेखा में \(x=3\) रखने पर \(y=6\times3-7=11\) मिलता है। \(5\) दूसरी रेखा का y-अवरोध है, इसलिए वह पहली रेखा के y-मान को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: पहले ढालों की तुलना करके अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर दिए गए \(x\) का मान रखें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope. Since the slopes are equal, \(a=6\). Substituting \(x=3\) in the first line gives \(y=6\times3-7=11\). The \(5\) is the y-intercept of the second line, so it does not affect the y-value of the first line. Exam tip: first equate the slopes to find the unknown coefficient, then substitute the given value of \(x\).
y-अवरोध 5 होने का अर्थ है कि x=0 पर y=5, इसलिए c=5 है। अतः समीकरण y=-8x+5 होगा। x=-2 रखने पर y=-8(-2)+5=16+5=21 मिलता है। 20 एक निकट विकल्प हो सकता है, लेकिन वह स्थिर पद 5 को सही ढंग से जोड़ने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक x को रखने पर गुणनफल के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें। / A y-intercept of 5 means that when x=0, y=5; therefore, c=5. The equation is y=-8x+5. Substituting x=-2 gives y=-8(-2)+5=16+5=21. Option 20 may seem close, but it does not result from adding the constant term 5 correctly. Exam tip: When substituting a negative value of x, check the sign of the product carefully.
दी गई रेखा की ढाल \(2\) है। लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणन \(-1\) होता है, इसलिए आवश्यक ढाल \(-\frac{1}{2}\) होगी। \(y\)-अवरोध \(3\) रखने पर समीकरण \(y=-\frac{1}{2}x+3\) मिलता है। विकल्प D की ढाल सही है, पर उसका अवरोध \(-3\) है। परीक्षा में \(y=mx+c\) में \(m\) और \(c\) अलग-अलग जाँचें। / The given line has slope \(2\). For perpendicular lines, the product of slopes is \(-1\), so the required slope is \(-\frac{1}{2}\). With y-intercept \(3\), the equation is \(y=-\frac{1}{2}x+3\). Option D has the correct slope but intercept \(-3\). Exam tip: check \(m\) and \(c\) separately in \(y=mx+c\).
एक डिलीवरी सेवा में दूरी \(x\) किमी और कुल शुल्क \(y\) रुपये है। 3 किमी के लिए शुल्क 260 रुपये तथा 7 किमी के लिए 420 रुपये है। निम्न में से कौन-सा रैखिक मॉडल इस स्थिति को सही दर्शाता है?
ढाल \((420-260)/(7-3)=40\) रुपये प्रति किमी है। \(y=40x+b\) में 3 किमी पर 260 रखने से \(b=140\) मिलता है। विकल्प B में 260 को गलती से y-अवरोध माना गया है। परीक्षा में \(x=0\) रखकर स्थिर शुल्क जाँचें। / The slope is \((420-260)/(7-3)=40\) rupees per km. Substituting \(x=3, y=260\) in \(y=40x+b\) gives \(b=140\). Option B wrongly treats the charge at 3 km as the y-intercept. Exam tip: put \(x=0\) to check the fixed charge.
\(x=4\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(x\) का परिवर्तन शून्य होता है, इसलिए ढाल \(\Delta y/\Delta x\) अपरिभाषित है। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) वाली रेखा की ढाल सदैव अपरिभाषित होती है। / \(x=4\) is a vertical line. Its change in \(x\) is zero, so the slope \(\Delta y/\Delta x\) is undefined. Exam tip: any line of the form \(x=\text{constant}\) has an undefined slope.
दिया है कि \(m+c=12\) और \(c=5\)। \(c\) का मान रखने पर \(m+5=12\) मिलता है, अतः \(m=7\)। समीकरण \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल को दर्शाता है, इसलिए सही उत्तर \(7\) है। \(5\) y-अवरोधक \(c\) का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(m\) होती है। / Given \(m+c=12\) and \(c=5\), substituting the value of \(c\) gives \(m+5=12\). Hence, \(m=7\). In the equation \(y=mx+c\), \(m\) represents the slope, so the correct answer is \(7\). The value \(5\) is the y-intercept \(c\), not the slope. Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is always the slope.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में ढाल \(m\) होती है और \(y\)-अवरोध \(c\) होता है। दी गई ढाल से \(m=-4\) है। अतः \(m+c=3\) में रखने पर \(-4+c=3\), इसलिए \(c=7\)। विकल्प \(5\) लेने पर \(m+c=1\) होगा, जो दी गई शर्त को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) को सीधे \(y\)-अवरोध पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Given slope \(m=-4\). Substituting in \(m+c=3\) gives \(-4+c=3\), so \(c=7\). Choosing \(5\) would give \(m+c=1\), which does not satisfy the condition. Exam tip: In \(y=mx+c\), identify \(c\) directly as the \(y\)-intercept.
दिया गया बिंदु \((6,9)\) रेखा पर स्थित है, इसलिए \(x=6\) और \(y=9\) रखें: \(9=\frac{2}{3}\times 6+c=4+c\)। अतः \(c=9-4=5\)। विकल्प B में 4 केवल \(\frac{2}{3}\times6\) का मान है, यह \(y\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा में बिंदु के \(x,y\) मान सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात नियतांक ज्ञात करें। / Since the point \((6,9)\) lies on the line, substitute \(x=6\) and \(y=9\): \(9=\frac{2}{3}\times 6+c=4+c\). Hence, \(c=9-4=5\). Option B, 4, is only the value of \(\frac{2}{3}\times6\), not the y-intercept. Exam tip: To find an unknown constant in a line equation, substitute the coordinates of the given point.
दी गई रेखा का ढाल \(\frac{1}{3}\) है। लंबवत रेखाओं के ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है, इसलिए आवश्यक ढाल \(-3\) होगा। y-अवरोध 4 रखने पर समीकरण \(y=-3x+4\) मिलता है। परीक्षा में ढाल और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / The given line has slope \(\frac{1}{3}\). Slopes of perpendicular lines have product \(-1\), so the required slope is \(-3\). With y-intercept 4, the equation is \(y=-3x+4\). Exam tip: check the slope and constant term separately.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध नियत पद \(c\) होता है। यहाँ \(a+1=6\), अतः \(a=5\)। इसलिए ढाल \(m=3a-2=3(5)-2=13\) है। विकल्प 12 तब मिलता यदि \(-2\) को गलत ढंग से शामिल न किया जाए। परीक्षा टिप: पहले \(y\)-अवरोध से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे ढाल के गुणांक में रखें। / In the form \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is the constant term \(c\). Here, \(a+1=6\), so \(a=5\). Therefore, the slope is \(m=3a-2=3(5)-2=13\). Option 12 would result from incorrectly ignoring the \(-2\). Exam tip: first use the \(y\)-intercept to find the parameter, then substitute it into the coefficient of \(x\).
\(2x+4y=8\) को \(y=-\frac12x+2\) लिखने पर इसकी ढाल \(-\frac12\) मिलती है। लंबवत रेखा की ढाल \(2\) होती है; \(y\)-अवरोध \(-3\) रखने पर \(y=2x-3\) मिलता है। परीक्षा में ढालों का गुणनफल \(-1\) जाँचें। / Writing \(2x+4y=8\) as \(y=-\frac12x+2\) gives slope \(-\frac12\). A perpendicular line has slope \(2\); with y-intercept \(-3\), it is \(y=2x-3\). Exam tip: perpendicular slopes multiply to \(-1\).
A. ढाल \(\frac{2}{3}\), (y)-अवरोध (3)/Slope \(\frac{2}{3}\), (y)-intercept (3)
Explanation
Simple Explanation
(-3y=-2x-9) से \(y=\frac{2}{3}x+3\) मिलता है। इसलिए ढाल \(\frac{2}{3}\) और (y)-अवरोध (3) है। / From (-3y=-2x-9), \(y=\frac{2}{3}x+3\). So the slope is \(\frac{2}{3}\) and the (y)-intercept is (3).
समान ढाल से (t+1=8) और (t=7) है। दूसरी रेखा का (y)-अवरोध (2t-3=11) नहीं बल्कि (11) है। / Equal slopes give (t+1=8) and (t=7). The second line's (y)-intercept is (2t-3=11), so option (A) is correct.
पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(v-4\) है और दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(5\) है। समान \(y\)-अवरोध के लिए \(v-4=5\), अतः \(v=9\)। दूसरी रेखा \(y=(v+1)x+5\) की ढाल \(v+1=9+1=10\) होगी। \(9\) केवल \(v\) का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। / The y-intercept of the first line is \(v-4\), while that of the second line is \(5\). Since the y-intercepts are equal, \(v-4=5\), so \(v=9\). The slope of the second line \(y=(v+1)x+5\) is \(v+1=9+1=10\). Note that \(9\) is the value of \(v\), not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept.
रेखा की ढाल \(-\frac{3}{2}\) है। अतः \(x\) में प्रत्येक 2 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। यदि \(x\) में वृद्धि \(\Delta x\) हो, तो \(y\) में कमी \(\frac{3}{2}\Delta x\) होगी। इसलिए \(\frac{3}{2}\Delta x=18\), जिससे \(\Delta x=12\) मिलता है। विकल्प 13 लेने पर कमी \(\frac{3}{2}\times13=19.5\) होगी, 18 नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल में \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है। / The slope is \(-\frac{3}{2}\). Thus, for every increase of 2 units in \(x\), \(y\) decreases by 3 units. If the increase in \(x\) is \(\Delta x\), the decrease in \(y\) is \(\frac{3}{2}\Delta x\). Hence, \(\frac{3}{2}\Delta x=18\), so \(\Delta x=12\). If 13 were chosen, the decrease would be \(\frac{3}{2}\times13=19.5\), not 18. Exam tip: With a negative slope, increasing \(x\) decreases \(y\).
एक रेखा बिंदुओं
(0,-3) और
(4,5) से गुजरती है। रवि कहता है कि उसका y-अवरोध 5 है, क्योंकि दूसरे बिंदु का y-निर्देशांक 5 है। रवि के कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. रवि गलत है; ढाल 2 और y-अवरोध -3 है।/Ravi is incorrect; the slope is 2 and the y-intercept is -3.
Explanation
Simple Explanation
ढाल
\(m=(5-(-3))/(4-0)=2\) है। y-अवरोध वह y-मान है जहाँ
\(x=0\); यहाँ वह -3 है। 5 केवल बिंदु
(4,5) का y-निर्देशांक है। परीक्षा में पहले
\(x=0\) वाला बिंदु देखें। / The slope is
\(m=(5-(-3))/(4-0)=2\). A y-intercept is the y-value when
\(x=0\), so it is -3 here. The value 5 is only the y-coordinate of
(4,5). Exam tip: first locate the point with
\(x=0\).
दिया है कि \(c=-6\) और \(m-c=14\)। \(c\) का मान रखने पर \(m-(-6)=14\), अर्थात \(m+6=14\)। इसलिए \(m=8\) है। अतः रेखा की ढाल 8 है। 6 को उत्तर मान लेना सामान्य गलती है; वह \(c\) के ऋणात्मक मान का परिमाण है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(m-c\) में ऋणात्मक \(c\) रखने पर कोष्ठक अवश्य लगाएँ। / Given \(c=-6\) and \(m-c=14\), substitute the value of \(c\): \(m-(-6)=14\), so \(m+6=14\). Hence, \(m=8\). Therefore, the slope of the line is 8. Choosing 6 is a common error; it is the magnitude of the negative value of \(c\), not the slope. Exam tip: always use brackets when substituting a negative value in \(m-c\).
दिया है कि m=-2 और 2c+m=10। m का मान रखने पर 2c-2=10, अतः 2c=12 और c=6 प्राप्त होता है। रेखा y=mx+c में y-अवरोध c होता है, इसलिए सही उत्तर 6 है। 5 चुनना गलत होगा, क्योंकि वह समीकरण 2c-2=10 को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए y=mx+c में स्थिर पद c पहचानें। / Given m=-2 and 2c+m=10, substituting m gives 2c-2=10. Hence, 2c=12 and c=6. In the line y=mx+c, the y-intercept is c, so the correct answer is 6. Choosing 5 is incorrect because it does not satisfy 2c-2=10. Exam tip: In y=mx+c, identify the constant term c to find the y-intercept.
