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बहुपद के पद \(2x^3\), \(x^2\) और \(4\) हैं। इनमें \(x\) की घातें क्रमशः 3, 2 और 0 हैं। इसलिए सबसे बड़ी घात 3 है, जो \(2x^3\) पद में है। \(x^2\) में घात केवल 2 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उच्चतम घात वाला पद पहचानें। / The terms of the polynomial are \(2x^3\), \(x^2\), and \(4\). Their powers of \(x\) are 3, 2, and 0 respectively. Therefore, \(2x^3\) has the highest power. The term \(x^2\) has power 2 only. Exam tip: Compare the exponents of the variable to identify the term with the highest power.
यह एक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{5}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। शून्य बहुपद में सभी गुणांक शून्य होते हैं, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए; गुणांक अपरिमेय भी हो सकते हैं। / This is a polynomial because the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Since \(\sqrt{5}\) is a real number, it can be a valid coefficient of \(x\). A zero polynomial has all coefficients equal to zero, which is not the case here. Exam tip: in a polynomial, variable powers must be \(0,1,2,\ldots\); coefficients may also be irrational.
\(\sqrt{x}\) को \(x^{\frac{1}{2}}\) लिखा जा सकता है। भिन्न घात होने से यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}\) can be written as \(x^{\frac{1}{2}}\). Due to the fractional power, it is not a polynomial.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें चर नहीं होता। \(12x^3\) में एकमात्र पद में \(x\) उपस्थित है, इसलिए इसमें कोई अलग नियतांक पद नहीं है। अतः इसका नियतांक पद \(0\) है। \(12\) गुणांक है, नियतांक पद नहीं। परीक्षा टिप: जिस पद में चर का घात \(0\) हो, वही नियतांक पद होता है। / A constant term contains no variable. The only term in \(12x^3\) contains \(x\), so there is no separate constant term. Hence, its constant term is \(0\). Here, \(12\) is the coefficient, not the constant term. Exam tip: A term with the variable raised to the power \(0\) is the constant term.
बहुपद x-5+x-3+x में x-5, x-3 और x के पद हैं, लेकिन x-4 का कोई पद नहीं है। किसी घात का पद अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक 0 माना जाता है। इसलिए x-4 का गुणांक 0 है। 1 को चुनना गलत होगा, क्योंकि x का गुणांक 1 है, x-4 का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद पूछा हो, उसे बहुपद के प्रत्येक पद में ध्यान से खोजें। / The polynomial x-5+x-3+x contains the terms x-5, x-3, and x, but it has no x-4 term. When a term of a particular degree is absent, its coefficient is taken as 0. Therefore, the coefficient of x-4 is 0. Choosing 1 would be incorrect because 1 is the coefficient of x, not x-4. Exam tip: Look for the exact power named in the question before identifying its coefficient.
A. हाँ, क्योंकि \(x^0=1\) और \(1-4x\) में \(x\) की घात एक ऋणेतर पूर्णांक है/Yes, because \(x^0=1\) and the exponent of \(x\) in \(1-4x\) is a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
\(x^0=1\) होता है, इसलिए दिया गया व्यंजक \(1-4x\) बन जाता है। इसमें \(x\) की घातें \(0\) और \(1\) हैं, जो दोनों ऋणेतर पूर्णांक हैं; अतः यह बहुपद है। शून्य घात बहुपद में मान्य होती है और घटाव या दो पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: जाँचें कि प्रत्येक चर की घात \(0,1,2,\ldots\) में हो। / Since \(x^0=1\), the given expression becomes \(1-4x\). The exponents of \(x\) are \(0\) and \(1\), both of which are non-negative integers; hence it is a polynomial. An exponent of zero is allowed, and neither subtraction nor having two terms prevents an expression from being a polynomial. Exam tip: check that every variable exponent is \(0,1,2,\ldots\).
B. हां, क्योंकि (x) की घात (1) है/Yes, because the power of (x) is (1)
Explanation
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\(\frac{3x}{5}\) में (x) की घात (1) है और गुणांक \(\frac{3}{5}\) है। भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य है। / In \(\frac{3x}{5}\), the power of (x) is (1) and the coefficient is \(\frac{3}{5}\). A fractional coefficient is valid in a polynomial.
A. हाँ, क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और \(x\) की घात एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।/Yes, because its coefficients are real numbers and the exponent of \(x\) is a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(-\frac{2}{3}x^3+4\) एक बहुपद है। बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं; वे ऋणात्मक या भिन्न भी हो सकते हैं। साथ ही, चर की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, और यहाँ \(x\) की घात \(3\) है। भिन्नात्मक गुणांक होना गलत नहीं है; भिन्नात्मक घात, जैसे \(x^{1/2}\), बहुपद में मान्य नहीं होती। परीक्षा टिप: घात जाँचें, गुणांक नहीं—घात \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए। / Yes, \(-\frac{2}{3}x^3+4\) is a polynomial. The coefficients of a polynomial may be any real numbers, including negative numbers and fractions. Also, the exponent of the variable must be a non-negative integer; here, the exponent of \(x\) is \(3\). A fractional coefficient is allowed, whereas a fractional exponent such as \(x^{1/2}\) is not allowed in a polynomial. Exam tip: check the exponents, not the form of the coefficients—exponents must be \(0,1,2,\ldots\).
सही उत्तर \(x^{\frac{4}{5}}+2\) है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घात \(\frac{4}{5}\) है, जो भिन्नात्मक घात है। बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\ldots\) जैसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक ही हो सकती है। \(x^4+5\), \(5x^2+1\) और \(4x+5\) में घातें क्रमशः 4, 2 और 1 हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय पहले चर की घातों को जाँचें। / The correct answer is \(x^{\frac{4}{5}}+2\) because the power of \(x\) is \(\frac{4}{5}\), a fractional exponent. In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). The exponents in \(x^4+5\), \(5x^2+1\), and \(4x+5\) are 4, 2, and 1 respectively, so they are polynomials. Exam tip: To identify a polynomial, first check the exponents of its variables.
बहुपद में चर की सबसे अधिक घात उसकी डिग्री होती है। यहाँ पदों की घातें 2, 1 और 0 हैं; सबसे अधिक घात 2 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 6 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable. Here, the exponents in the terms are 2, 1, and 0, and the greatest is 2. Therefore, the degree of the polynomial is 2. The number 6 is a coefficient, not the degree. Exam tip: identify the greatest power of the variable.
