Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a-b) परिमेय है और (b-c) परिमेय है, तो उनका योग (a-c) भी परिमेय होगा। / If (a-b) is rational and (b-c) is rational, their sum (a-c) is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर आधारित संबंधों में अंतरों का योग मुख्य विचार है। / In difference-based relations, adding differences is the key idea.
अपरिमेय अंतर और अपरिमेय अंतर का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / The sum of two irrational differences is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\) लें; (a-b) अपरिमेय और (b-c) अपरिमेय है, पर (a-c=0) परिमेय है। / Take \(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\); (a-b) and (b-c) are irrational, but (a-c=0) is rational.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या वाले प्रश्नों में विरोधी उदाहरण सावधानी से बनाएं। / Build counterexamples carefully in irrational-number relations.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। बाकी समान जोड़ियां अपनी ही जरूरत पूरी करती हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present. The other self-pairs satisfy their own requirements.
Step 3
Exam Tip
उलटी जोड़ियों के साथ दोनों समान जोड़ियां हों तो संक्रमण बच सकता है। / Reverse pairs can still be transitive if both self-pairs are present.
A. (R) अवश्य संक्रमण है/(R) is necessarily transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों गुण शामिल होते हैं। / An equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा संबंध संक्रमण अवश्य होगा। / Therefore such a relation must be transitive.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता सुनते ही तीनों गुण याद करें। / When you hear equivalence relation, remember all three properties.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)), तथा ((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,2)) require ((2,2)), and ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), both present.
Step 3
Exam Tip
कठिन सूची में जोड़ी-दर-जोड़ी जांच करके ही निष्कर्ष दें। / In hard lists, conclude only after pair-by-pair checking.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है, भले ही ((2,2)) मौजूद हो। / ((1,3)) is missing, so the relation is not transitive, even though ((2,2)) is present.
Step 3
Exam Tip
एक भी जरूरी जोड़ी की कमी काफी होती है। / One missing required pair is enough.
