\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). Choose the correct statement.
#reflexive symmetric
#ordered pairs
#relation type
A (R) सममित और परावर्ती है / (R) is symmetric and reflexive
B (R) सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / (R) is symmetric but not reflexive
C (R) परावर्ती है लेकिन सममित नहीं / (R) is reflexive but not symmetric
D (R) न सममित है न परावर्ती / (R) is neither symmetric nor reflexive
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Correct Answer
A. (R) सममित और परावर्ती है / (R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
तीनों विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी मौजूद है और बाकी युग्म विकर्ण हैं। / ((1,2)) appears with ((2,1)), and the remaining pairs are diagonal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित भी है। / Hence the relation is also symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है। (R) किस कारण सममित नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\). Why is (R) not symmetric?
#missing reverse pair
#symmetric relation
#counterexample
A ((2,1)) अनुपस्थित है / ((2,1)) is missing
B ((1,1)) उपस्थित है / ((1,1)) is present
C ((3,3)) उपस्थित है / ((3,3)) is present
D ((2,2)) उपस्थित है / ((2,2)) is present
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Correct Answer
A. ((2,1)) अनुपस्थित है / ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना जरूरी है। / Symmetry requires ((2,1)) whenever ((1,2)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है। / The relation contains ((1,2)) but not ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता को खराब नहीं करते, कमी उलटे युग्म की है। / Diagonal pairs do not break symmetry; the missing reverse pair does.
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किसी (5) अवयवों वाले समुच्चय पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है?
On a set with (5) elements, how many symmetric relations have no diagonal pair?
#irreflexive symmetric
#counting relations
#diagonal pairs
A \(2^{10}\)
B \(2^{15}\)
C \(2^5\)
D \(10^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सभी (5) विकर्ण युग्म न लेने हैं, इसलिए वे तय हो गए। / All (5) diagonal pairs are fixed as excluded.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) उलटे युग्म-जोड़े स्वतंत्र हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) independent off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़े के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी। / Each group has two choices, so the number is \(2^{10}\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंध (R) में ठीक (2) विकर्ण युग्म और ठीक (2) विकर्ण-बाह्य युग्म-जोड़े हैं। ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), a symmetric relation (R) has exactly (2) diagonal pairs and exactly (2) off-diagonal mirror-pair groups. How many such relations are possible?
#advanced counting
#symmetric relation
#combinations
A \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
B \(4\cdot6\)
C \(2^8\)
D \(\binom{10}{4}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्मों में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}\) हैं। / Choose (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण-बाह्य उलटे युग्म-जोड़े में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}\) हैं। / Choose (2) off-diagonal mirror groups from (6) in \(\binom{6}{2}\) ways.
Step 3
Exam Tip
दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) है। / The choices are independent, so the total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\).
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यदि (R) सममित है और \((a,b)\notin R\), तो क्या \((b,a)\notin R\) निश्चित रूप से होगा?
If (R) is symmetric and \((a,b)\notin R\), must \((b,a)\notin R\) also be true?
#logical reasoning
#symmetric relation
#contrapositive
A हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा / Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
B नहीं, सममितता अनुपस्थित युग्मों पर कुछ नहीं कहती / No, symmetry says nothing about absent pairs
C हाँ, केवल जब (a=b) हो / Yes, only when (a=b)
D नहीं, ((b,a)) हमेशा संबंध में होगा / No, ((b,a)) is always in the relation
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा / Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि किसी भी उपस्थित युग्म का उलटा भी उपस्थित होगा। / Symmetry says the reverse of every present pair is also present.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((b,a)\in R\) होता, तो उलटकर \((a,b)\in R\) भी होना चाहिए था। / If \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) would also have to be present.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \((a,b)\notin R\), इसलिए \((b,a)\notin R\) निश्चित है। / Since \((a,b)\notin R\), \((b,a)\notin R\) must be true.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Choose the correct statement about (R).
#symmetric not reflexive
#relation classification
#ordered pairs
A सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive
B परावर्ती है लेकिन सममित नहीं / It is reflexive but not symmetric
C सममित नहीं है / It is not symmetric
D सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
A. सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। / ((1,2)) appears with ((2,1)), and ((2,3)) appears with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर उपस्थित गैर-विकर्ण युग्म का उलटा मौजूद है। / Thus every present non-diagonal pair has its reverse.
Step 3
Exam Tip
((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / The diagonal pairs are missing, so it is not reflexive.
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यदि किसी संबंध की निर्देशित आकृति में (x) से (y) तक तीर है, तो सममित संबंध के लिए क्या जरूरी है?
If the directed graph of a relation has an arrow from (x) to (y), what is necessary for the relation to be symmetric?
#directed graph
#symmetric relation
#visual reasoning
A (y) से (x) तक भी तीर हो / There must also be an arrow from (y) to (x)
B (x) पर घेरा जरूर हो / There must be a loop at (x)
C (y) पर घेरा जरूर हो / There must be a loop at (y)
D कोई और तीर नहीं होना चाहिए / There must be no other arrow
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Correct Answer
A. (y) से (x) तक भी तीर हो / There must also be an arrow from (y) to (x)
Step 1
Concept
निर्देशित आकृति में तीर (x) से (y) का अर्थ \((x,y)\in R\) है। / An arrow from (x) to (y) represents \((x,y)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए \((y,x)\in R\) भी होना चाहिए। / Symmetry requires \((y,x)\in R\) as well.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उलटी दिशा का तीर जरूरी है। / Therefore an arrow in the reverse direction is necessary.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\). What type of relation is (R)?
#equality relation
#symmetric relation
#functions
A सममित है / It is symmetric
B सममित नहीं है / It is not symmetric
C रिक्त संबंध है / It is empty
D केवल दो युग्मों वाला है / It has only two pairs
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Correct Answer
A. सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a^2=b^2\), तो समानता पलटने पर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। / If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) से \((b,a)\in R\) मिलता है। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समानता वाले संबंधों में अक्सर सममितता सीधे उलटकर जांची जाती है। / Relations based on equality are often checked by simply reversing the equality.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq5\}\) है। (R) सममित है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq5\}\). Is (R) symmetric?
#inequality relation
#symmetric relation
#sum condition
A हाँ, सममित है / Yes, it is symmetric
B नहीं, सममित नहीं है / No, it is not symmetric
C केवल परावर्ती है / It is only reflexive
D केवल रिक्त है / It is only empty
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Correct Answer
A. हाँ, सममित है / Yes, it is symmetric
Step 1
Concept
\(a+b\leq5\) होने पर \(b+a\leq5\) भी होगा। / If \(a+b\leq5\), then \(b+a\leq5\) also.
Step 2
Why this answer is correct
योग क्रम बदलने से नहीं बदलता। / The sum does not change when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर युग्म का उलटा भी शर्त पूरी करता है और संबंध सममित है। / So every pair's reverse also satisfies the condition, making the relation symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है। (R) सममित क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\leq b\}\). Why is (R) not symmetric?
#less than equal relation
#counterexample
#symmetric relation
A \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
B \((2,2)\in R\)
C \((4,4)\in R\)
D हर युग्म का उलटा है / Every pair has its reverse
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Correct Answer
A. \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
\(1\leq2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। / Since \(1\leq2\), ((1,2)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\leq1\) गलत है, इसलिए ((2,1)) संबंध में नहीं है। / But \(2\leq1\) is false, so ((2,1)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
क्रम-आधारित असमानता वाले संबंध अक्सर सममित नहीं होते। / Order-based inequality relations are often not symmetric.
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