समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है। (R) तुल्यता संबंध है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\). Is (R) an equivalence relation?
#finite relation
#properties
#equivalence
A हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
B नहीं, सममिति नहीं है / No, symmetry fails
C नहीं, स्वतुल्यता नहीं है / No, reflexivity fails
D नहीं, संक्रामकता नहीं है / No, transitivity fails
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Correct Answer
A. हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
Step 1
Concept
सभी ((a,a)) युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममिति है। / ((2,1)) is present with ((1,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}), ({3}), ({4}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / The classes are ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब \(|a-b|\leq 2\)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On integers, (aRb) if \(|a-b|\leq 2\). Why is this not an equivalence relation?
#counterexample
#transitivity
#integers
A स्वतुल्यता टूटती है / Reflexivity fails
B सममिति टूटती है / Symmetry fails
C संक्रामकता टूटती है / Transitivity fails
D संबंध रिक्त है / The relation is empty
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Correct Answer
C. संक्रामकता टूटती है / Transitivity fails
Step 1
Concept
(|a-a|=0), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|a-a|=0), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममिति है। / Distance is the same in both directions, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) और (3R5), पर (1R5) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R3) and (3R5), but (1R5) is false, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (x-y=0)। यह संबंध कौन सा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (x-y=0). Which relation is this?
#equality relation
#real numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध और समानता संबंध / Equivalence relation and equality relation
B केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
C केवल संक्रामक संबंध / Only transitive relation
D तुल्यता संबंध नहीं / Not an equivalence relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध और समानता संबंध / Equivalence relation and equality relation
Step 1
Concept
(x-y=0) का अर्थ (x=y) है। / (x-y=0) means (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होती है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध तुल्यता संबंध का सबसे मूल उदाहरण है। / The equality relation is the most basic example of an equivalence relation.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर किसी तुल्यता संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो (R) में कम से कम कितने युग्म होंगे?
If an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\) contains ((1,2)) and ((2,3)), what is the minimum number of pairs in (R)?
#minimum pairs
#closure
#equivalence relation
A (3)
B (5)
C (7)
D (9)
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Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) होने से संक्रामकता के कारण (1) और (3) भी जुड़े होंगे। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity connects (1) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
सममिति और स्वतुल्यता से तीनों अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / With symmetry and reflexivity, all three elements are in one class.
Step 3
Exam Tip
एक तीन-अवयवी वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / One class of size (3) gives \(3^2=9\) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के (3) से भाग देने पर समान शेषफल आए। ([2]) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). What is ([2])?
#equivalence class
#modulo
#finite set
A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3,5,6})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) देता है। / In (A), (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([2]={2,5})। / Hence ([2]={2,5}).
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समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। इस संबंध के कितने अलग-अलग तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (4). How many distinct equivalence classes does this relation have?
#integers
#modulo
#number of classes
A (2)
B (3)
C (4)
D अनंत / Infinitely many
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Step 1
Concept
(4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। / Division by (4) gives possible remainders (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
हर शेषफल एक अलग तुल्यता वर्ग देता है। / Each remainder gives one equivalence class.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में मापांक (n) के लिए सामान्यतः (n) वर्ग बनते हैं। / For integers modulo (n), there are usually (n) classes.
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किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध (R) के वर्ग ({a,b}), ({c}), और ({d,e,f}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
An equivalence relation (R) on a set (A) has classes ({a,b}), ({c}), and ({d,e,f}). How many pairs are in (R)?
#class sizes
#counting
#ordered pairs
A (6)
B (10)
C (14)
D (36)
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Step 1
Concept
हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / All ordered pairs inside each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
आकार (2,1,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\) होंगे। / The class sizes are (2,1,3), so the count is \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\).
Step 3
Exam Tip
कुल (14) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (14).
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वास्तविक संख्याओं पर (xRy) तभी जब \(x^3=y^3\)। इस संबंध का सही निष्कर्ष क्या है?
On real numbers, (xRy) if \(x^3=y^3\). What is the correct conclusion about this relation?
#cubic function
#real numbers
#equivalence
A यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation like equality
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation like equality
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^3=y^3\) से (x=y) मिलता है। / For real numbers, \(x^3=y^3\) implies (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह समानता संबंध जैसा व्यवहार करता है। / So the relation behaves like equality.
Step 3
Exam Tip
समानता आधारित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / Equality-based relations are reflexive, symmetric, and transitive.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(x-y\geq 0\)। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(x-y\geq 0\). Why is this not an equivalence relation?
#symmetry
#counterexample
#real numbers
A सममिति नहीं है / Symmetry fails
B स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
C संक्रामकता नहीं है / Transitivity fails
D यह संबंध खाली है / The relation is empty
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Correct Answer
A. सममिति नहीं है / Symmetry fails
Step 1
Concept
(x-x=0), इसलिए स्वतुल्यता है। / (x-x=0), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (3R2) सही है, तो (2R3) सही नहीं है। / (3R2) is true, but (2R3) is not true.
Step 3
Exam Tip
उल्टा युग्म हमेशा नहीं मिलता, इसलिए सममिति टूटती है। / The reverse pair does not always hold, so symmetry fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a+b) (3) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a+b) is divisible by (3). Why is this not an equivalence relation?
#reflexivity
#counterexample
#divisibility
A स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
B सममिति नहीं है / Symmetry fails
C संक्रामकता नहीं है / Transitivity fails
D संबंध में कोई युग्म नहीं है / The relation has no pair
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Correct Answer
A. स्वतुल्यता नहीं है / Reflexivity fails
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) को (3) से विभाज्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a+a) must be divisible by (3) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(1+1=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। / (1+1=2), which is not divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिवाद से स्वतुल्यता टूट जाती है। / One counterexample is enough to break reflexivity.
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