अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
For a non-empty set (A), which statement about the universal relation \(A\times A\) is correct?
#universal relation
#equivalence
#properties
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / \(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रामकता तीनों अपने आप पूरी होती हैं। / Therefore reflexivity, symmetry, and transitivity all hold automatically.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण मानें। / Treat the universal relation as a basic example of an equivalence relation.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(\varnothing\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
For a non-empty set (A), which statement about the empty relation \(\varnothing\) is correct?
#empty relation
#reflexivity
#equivalence
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है / It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
C यह केवल स्वतुल्य है / It is only reflexive
D यह सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
B. यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है / It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
Step 1
Concept
अरिक्त (A) में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। / For non-empty (A), each ((a,a)) is required for reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। / The empty relation has no pair, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध जांचते समय सबसे पहले स्वतुल्यता देखें। / When testing equivalence, check reflexivity first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने अलग-अलग तुल्यता संबंध संभव हैं जिनके ठीक दो तुल्यता वर्ग हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many distinct equivalence relations are possible with exactly two equivalence classes?
#counting
#partitions
#equivalence relations
A (3)
B (5)
C (7)
D (15)
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Step 1
Concept
ठीक दो तुल्यता वर्गों का अर्थ है (A) को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two equivalence classes mean splitting (A) into two non-empty blocks.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को दो अरिक्त अनाम समूहों में बांटने के तरीके (7) हैं। / The number of ways to divide (4) elements into two unnamed non-empty blocks is (7).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंधों की गिनती विभाजनों की गिनती से जुड़ी होती है। / Counting equivalence relations is the same as counting partitions.
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यदि \(f:A\to B\) कोई फलन है और (aRb) तभी जब (f(a)=f(b)), तो (R) कैसा संबंध है?
If \(f:A\to B\) is a function and (aRb) if (f(a)=f(b)), what type of relation is (R)?
#function
#kernel relation
#equivalence
A हमेशा तुल्यता संबंध / Always an equivalence relation
B केवल जब (f) एकैकी हो / Only when (f) is one-one
C केवल जब (f) आच्छादी हो / Only when (f) is onto
D कभी तुल्यता संबंध नहीं / Never an equivalence relation
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Correct Answer
A. हमेशा तुल्यता संबंध / Always an equivalence relation
Step 1
Concept
(f(a)=f(a)), इसलिए स्वतुल्यता है। / (f(a)=f(a)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(a)=f(b)), तो (f(b)=f(a)), इसलिए सममिति है। / If (f(a)=f(b)), then (f(b)=f(a)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता संक्रामक होती है, इसलिए संबंध हमेशा तुल्यता संबंध है। / Equality is transitive, so the relation is always an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (xRy) तभी जब \(x^2=y^2\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (xRy) if \(x^2=y^2\). What is the equivalence class of (2)?
#squares
#equivalence class
#finite set
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-1,1})
D ({-2,-1,1,2})
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Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
\(2^2=4\) है। / \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। / In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें। / For square-based relations, check both positive and negative values.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (|x|=|y|)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (|x|=|y|). What type of relation is this?
#absolute value
#real numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|x|=|x|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|x|=|x|), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (|x|=|y|), तो (|y|=|x|), इसलिए सममिति है। / If (|x|=|y|), then (|y|=|x|), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता की संक्रामकता से (|x|=|z|) भी मिलेगा। / By transitivity of equality, (|x|=|z|) also follows.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+b) (2) से विभाज्य हो। नीचे दिए गए में कौन सा कथन सही है?
On integers, (aRb) if (a+b) is divisible by (2). Which statement is correct?
#parity
#integers
#equivalence relation
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a), इसलिए स्वतुल्यता है। / (a+a=2a), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) और (b+a) समान हैं, इसलिए सममिति है। / (a+b) and (b+a) are the same, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ समान समता रखती हैं, तो पहली और तीसरी भी समान समता रखती हैं। / If two pairs show the same parity, the first and third also have the same parity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\)। (R) के कौन से तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\). Which are the equivalence classes of (R)?
#floor function
#equivalence classes
#finite set
A ({1},{2,3},{4,5},{6})
B ({1,2},{3,4},{5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1,2,3},{4,5,6})
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Correct Answer
A. ({1},{2,3},{4,5},{6})
Step 1
Concept
हर अवयव के लिए \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) निकालें। / Compute \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) for each element.
Step 2
Why this answer is correct
मान (0,1,2,3) क्रमशः वर्ग ({1},{2,3},{4,5},{6}) देते हैं। / The values (0,1,2,3) give the classes ({1},{2,3},{4,5},{6}).
Step 3
Exam Tip
समान मान देने वाले अवयव हमेशा एक वर्ग में आते हैं। / Elements giving the same value form one equivalence class.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?
If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), which statement is necessarily true?
#equivalence class
#same class
#relation
A ([a]=[b])
B \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C (a=b)
D \([a]\subsetneq[b]\)
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Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान तुल्यता वर्ग में हैं। / \((a,b)\in R\) means (a) and (b) are in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग में होने पर उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / Elements in the same class have equal equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
ध्यान रखें कि ([a]=[b]) से (a=b) जरूरी नहीं होता। / Remember, ([a]=[b]) does not necessarily mean (a=b).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many ordered pairs are in the relation?
#modulo
#counting ordered pairs
#equivalence
A (9)
B (18)
C (27)
D (81)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर तीन वर्ग बनते हैं और प्रत्येक में (3) अवयव हैं। / Division by (3) gives three classes, each with (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (9+9+9=27) होंगे। / Total pairs are (9+9+9=27).
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