समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (9) के साथ समान महत्तम समापवर्तक रखते हैं। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (9). Which is the equivalence class of (6)?
#gcd
#equivalence class
#finite set
A ({3,6})
B ({1,2,4,5,7,8})
C ({9})
D ({6})
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Correct Answer
A. ({3,6})
Step 1
Concept
(\gcd(6,9)=3) है। / (\gcd(6,9)=3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (\gcd(3,9)=3) और (\gcd(6,9)=3) है। / In the given set, (\gcd(3,9)=3) and (\gcd(6,9)=3).
Step 3
Exam Tip
समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / Elements with the same greatest common divisor lie in the same class.
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समतल में बिंदुओं पर (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) तब है जब \(x_1+y_1=x_2+y_2\)। बिंदु ((2,-1)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
For points in the plane, (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) holds when \(x_1+y_1=x_2+y_2\). Which is the equivalence class of ((2,-1))?
#coordinate geometry
#equivalence class
#line
A ({(x,y):x+y=1})
B ({(x,y):x-y=3})
C ({(x,y):xy=-2})
D ({(2,-1)})
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Correct Answer
A. ({(x,y):x+y=1})
Step 1
Concept
((2,-1)) के निर्देशांकों का योग (1) है। / The coordinate sum of ((2,-1)) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
संबंधित सभी बिंदुओं में (x+y=1) होना चाहिए। / All related points must satisfy (x+y=1).
Step 3
Exam Tip
समान योग वाले संबंध में तुल्यता वर्ग रेखा के रूप में मिलता है। / In a same-sum relation, the equivalence class is a line.
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समतल में बिंदुओं पर (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) तब है जब \(x_1-y_1=x_2-y_2\)। इस संबंध के तुल्यता वर्ग किस रूप में होंगे?
For points in the plane, (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) holds when \(x_1-y_1=x_2-y_2\). What form do the equivalence classes have?
#coordinate geometry
#parallel lines
#equivalence classes
A (x-y=c) रूप की समांतर रेखाएँ / Parallel lines of the form (x-y=c)
B मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त / Circles centered at the origin
C केवल एकल बिंदु / Singleton points only
D सभी बिंदुओं का एक वर्ग / One class of all points
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Correct Answer
A. (x-y=c) रूप की समांतर रेखाएँ / Parallel lines of the form (x-y=c)
Step 1
Concept
संबंध में (x-y) का मान स्थिर रहता है। / The value of (x-y) stays fixed in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(x-y=c) का आलेख एक सीधी रेखा है। / The equation (x-y=c) represents a straight line.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग (c) के लिए ये रेखाएँ समांतर तुल्यता वर्ग बनाती हैं। / Different values of (c) give parallel equivalence classes.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), तो \([a]\setminus[b]\) क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is \([a]\setminus[b]\)?
#set difference
#equivalence classes
#related elements
A \(\varnothing\)
B ([a])
C ([b])
D (A)
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Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
(aRb) होने पर (a) और (b) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / If (aRb), then (a) and (b) lie in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ([a]=[b]) है। / Therefore ([a]=[b]).
Step 3
Exam Tip
समान समुच्चयों का अंतर रिक्त समुच्चय होता है। / The difference of equal sets is the empty set.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#set difference
#disjoint classes
#equivalence relation
A \([a]\cap[b]=\varnothing\)
B ([a]=[b])
C (aRb)
D \([b]\subseteq[a]\)
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Correct Answer
A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो वे समान नहीं हो सकते। / If \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), the classes are not equal.
Step 3
Exam Tip
समान नहीं हैं, इसलिए दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection is empty.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,7},{2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), relation (R) has classes ({1,7},{2,6},{3,5},{4}). How many pairs are in (R)?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
A (13)
B (14)
C (10)
D (49)
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Step 1
Concept
वर्गों के आकार (2,2,2,1) हैं। / The class sizes are (2,2,2,1).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(2^2+2^2+2^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(2^2+2^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+1=13) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4+1=13).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b=8) या (a=b)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a+b=8) or (a=b). What type of relation is this?
#sum condition
#equivalence relation
#finite set
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=8) से (1,7), (2,6), (3,5) जुड़ते हैं और (4) अकेला रहता है। / The condition (a+b=8) links (1,7), (2,6), (3,5), while (4) remains alone.
Step 3
Exam Tip
ये अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / These form complete disjoint classes, so the relation is an equivalence relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। \([3]\cap[10]\) क्या है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). What is \([3]\cap[10]\)?
#modulo 7
#intersection of classes
#equivalence class
A ([3])
B \(\varnothing\)
C ([0])
D सभी पूर्णांक / All integers
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Step 1
Concept
(10-3=7), जो (7) से विभाज्य है। / (10-3=7), which is divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (3) और (10) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / Therefore (3) and (10) are in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गों का प्रतिच्छेद वही वर्ग होता है। / The intersection of equal classes is that same class.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। \([3]\cap[11]\) क्या है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). What is \([3]\cap[11]\)?
#modulo 7
#disjoint classes
#intersection
A \(\varnothing\)
B ([3])
C ([11])
D सभी पूर्णांक / All integers
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Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
(11-3=8), जो (7) से विभाज्य नहीं है। / (11-3=8), which is not divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (3) और (11) अलग तुल्यता वर्गों में हैं। / Thus (3) and (11) lie in different equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Distinct equivalence classes have empty intersection.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय हो। निम्न में से कौन सा कथन सही है?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. Which statement is correct?
#rational difference
#equivalence class
#real numbers
A \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{2}+5\) है / \([\sqrt{2}]\) contains \(\sqrt{2}+5\)
B \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{3}\) अवश्य है / \([\sqrt{2}]\) necessarily contains \(\sqrt{3}\)
C \([\sqrt{2}]\) केवल \({\sqrt{2}}\) है / \([\sqrt{2}]\) is only \({\sqrt{2}}\)
D सभी वास्तविक संख्याएँ एक ही वर्ग में हैं / All real numbers are in one class
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Correct Answer
A. \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{2}+5\) है / \([\sqrt{2}]\) contains \(\sqrt{2}+5\)
Step 1
Concept
(\(\sqrt{2}+5\)-\sqrt{2}=5) है। / (\(\sqrt{2}+5\)-\sqrt{2}=5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{2}+5\) उसी वर्ग में है। / Since (5) is rational, \(\sqrt{2}+5\) lies in the same class.
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतर वाले संबंध में परिमेय संख्या जोड़ने से वर्ग नहीं बदलता। / Adding a rational number does not change the class in this relation.
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