यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के वर्ग किससे मिलते हैं?
If (R) and (S) are equivalence relations on (A), the classes of \(R\cap S\) are obtained from what?
#intersection
#equivalence relations
#partitions
A (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों से / Non-empty intersections of classes of (R) and (S)
B केवल (R) के सबसे बड़े वर्ग से / Only the largest class of (R)
C केवल (S) के सबसे छोटे वर्ग से / Only the smallest class of (S)
D हमेशा एक ही सार्वत्रिक वर्ग से / Always one universal class
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Correct Answer
A. (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों से / Non-empty intersections of classes of (R) and (S)
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि दोनों विभाजनों के वर्गों के प्रतिच्छेद बनने लगते हैं। / This creates intersections of blocks from the two partitions.
Step 3
Exam Tip
खाली प्रतिच्छेद छोड़कर बाकी प्रतिच्छेद नए वर्ग बनाते हैं। / The non-empty intersections become the new classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5,6}) और (S) के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। \(R\cap S\) में कितने वर्ग होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R) has classes ({1,2,3},{4,5,6}), and (S) has classes ({1,4},{2,5},{3,6}). How many classes are in \(R\cap S\)?
#intersection
#partition refinement
#equivalence classes
A (6)
B (3)
C (2)
D (1)
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Step 1
Concept
दोनों विभाजनों के वर्गों को काटकर देखें। / Intersect the blocks of the two partitions.
Step 2
Why this answer is correct
हर प्रतिच्छेद एक-एक तत्व देता है: ({1},{2},{3},{4},{5},{6})। / Each non-empty intersection is a singleton: ({1},{2},{3},{4},{5},{6}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cap S\) पहचान संबंध जैसा होगा और (6) वर्ग होंगे। / Thus \(R\cap S\) has (6) classes, like the identity relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\) और (aSb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{6}\)। \(R\cap S\) में (14) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\), and (aSb) holds when \(a\equiv b \pmod{6}\). In \(R\cap S\), what is the equivalence class of (14)?
#intersection
#modulo 12
#equivalence class
A \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 2 \pmod{12}}\)
B \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 14 \pmod{10}}\)
C \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 0 \pmod{12}}\)
D ({14})
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Correct Answer
A. \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 2 \pmod{12}}\)
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में अंतर (4) और (6) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / In the intersection, the difference must be divisible by both (4) and (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह मापांक (12) के समान है। / This is congruence modulo (12).
Step 3
Exam Tip
(14) का (12) से शेष (2) है, अतः वर्ग \(x\equiv 2 \pmod{12}\) वाला है। / (14) has remainder (2) modulo (12), so the class is \(x\equiv 2 \pmod{12}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म, ((1,2),(2,1),(2,5),(5,2)) हैं। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) contains all diagonal pairs, ((1,2),(2,1),(2,5),(5,2)). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?
#minimum completion
#transitivity
#symmetry
A ((1,5),(5,1))
B ((1,3),(3,1))
C ((4,5),(5,4))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
A. ((1,5),(5,1))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,5)) होने से संक्रमणता के लिए ((1,5)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,5)), transitivity requires ((1,5)).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए ((5,1)) भी चाहिए। / Symmetry then requires ((5,1)).
Step 3
Exam Tip
तब (1,2,5) एक पूर्ण तुल्यता वर्ग बन जाएगा। / Then (1,2,5) become one complete equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) संख्या (7) से विभाज्य हो या (a=b)। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (7) or (a=b). What are the classes of this relation?
#sum condition
#equivalence classes
#finite set
A ({1,6},{2,5},{3,4})
B ({1,2,3},{4,5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1,2,3,4,5,6})
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Correct Answer
A. ({1,6},{2,5},{3,4})
Step 1
Concept
(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=7) से (1) और (6), (2) और (5), (3) और (4) जुड़ते हैं। / The condition (a+b=7) links (1) with (6), (2) with (5), and (3) with (4).
Step 3
Exam Tip
ये तीन अलग पूरे वर्ग बनाते हैं। / These form three separate complete classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (a+b) (7) से विभाज्य हो या (a=b) वाले संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the relation where (a+b) is divisible by (7) or (a=b), how many ordered pairs are there?
#counting pairs
#sum condition
#equivalence relation
A (12)
B (6)
C (18)
D (36)
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Step 1
Concept
वर्ग ({1,6},{2,5},{3,4}) हैं। / The classes are ({1,6},{2,5},{3,4}).
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\cos a=\cos b\)। (0) के तुल्यता वर्ग का सही रूप कौन सा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(\cos a=\cos b\). Which is the correct form of the equivalence class of (0)?
#cosine function
#equivalence class
#real numbers
A \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
B \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
C \({\frac{\pi}{2}+n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
D ({0})
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Correct Answer
A. \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x=1\) के हल \(x=2n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\cos x=1\) are \(x=2n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय संबंधों में समान फलन मान वाले सभी कोण वर्ग में आते हैं। / In trigonometric relations, include all angles with the same function value.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (\tau(a)=\tau(b)), जहाँ (\tau(n)) धनात्मक भाजकों की संख्या है। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (\tau(a)=\tau(b)), where (\tau(n)) is the number of positive divisors. Which is the equivalence class of (6)?
#divisor function
#equivalence class
#finite set
A ({6,8,10})
B ({2,3,5,7})
C ({4,9})
D ({1})
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Correct Answer
A. ({6,8,10})
Step 1
Concept
(6) के भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए (\tau(6)=4)। / The divisors of (6) are (1,2,3,6), so (\tau(6)=4).
Step 2
Why this answer is correct
(8) और (10) के भी (4) धनात्मक भाजक हैं। / (8) and (10) also have (4) positive divisors.
Step 3
Exam Tip
समान भाजक-संख्या वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same divisor count form one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\tau(a)=\tau(b)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\tau(a)=\tau(b))?
#divisor function
#number of classes
#equivalence relation
A (4)
B (5)
C (3)
D (10)
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Step 1
Concept
भाजक-संख्या के मान (1,2,3,4) मिलते हैं। / The divisor-count values appearing are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), ({6,8,10}) बनते हैं। / The classes are ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), and ({6,8,10}).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग \(\tau\) मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या है। / The number of distinct \(\tau\)-values gives the number of classes.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq [b]\cup[c]\), तथा \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\subseteq [b]\cup[c]\), with \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#equivalence classes
#intersection
#logical conclusion
A ([a]=[b])
B ([a]=[c]) अवश्य / ([a]=[c]) necessarily
C \([b]\cap[c]\neq\varnothing\) अवश्य / \([b]\cap[c]\neq\varnothing\) necessarily
D \([a]=\varnothing\)
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Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
\([a]\cap[b]\neq\varnothing\) होने से दो तुल्यता वर्ग समान होते हैं। / Since \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), the two equivalence classes are equal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ([a]=[b]) तुरंत मिल जाता है। / Hence ([a]=[b]) follows directly.
Step 3
Exam Tip
संघ वाली अतिरिक्त शर्त की जरूरत नहीं, मुख्य संकेत प्रतिच्छेद है। / The union condition is extra; the key clue is the non-empty intersection.
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