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C. (10) से कम प्राकृतिक संख्याएँ/Natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
A set must have clearly decided members.
Step 2
Why this answer is correct
Natural numbers less than (10) are definitely \(1,2,3,\ldots,9\).
Step 3
Exam Tip
In exams, avoid vague words such as beautiful, intelligent, or popular. चरण 1: समुच्चय वह संग्रह है जिसके सदस्य स्पष्ट रूप से तय हों। चरण 2: (10) से कम प्राकृतिक संख्याएँ निश्चित रूप से \(1,2,3,\ldots,9\) हैं। चरण 3: परीक्षा में सुंदर, बुद्धिमान, लोकप्रिय जैसे अस्पष्ट शब्दों से सावधान रहें।
A. (10) से कम सम प्राकृतिक संख्याएँ/Even natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
The given members are (2,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
All of them are even natural numbers less than (10).
Step 3
Exam Tip
In description form, write the common property of the members. चरण 1: दिए गए सदस्य (2,4,6,8) हैं। चरण 2: ये सभी (10) से कम सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: वर्णन विधि में सदस्यों की साझा पहचान लिखें, केवल सूची नहीं।
In roster form, all members are listed separately inside braces.
Step 2
Why this answer is correct
The English vowels are (a,e,i,o,u).
Step 3
Exam Tip
While listing, do not miss or add any member. चरण 1: सूची विधि में सभी सदस्यों को कोष्ठक में अलग-अलग लिखा जाता है। चरण 2: अंग्रेज़ी वर्णमाला के स्वर (a,e,i,o,u) हैं। चरण 3: सूची बनाते समय कोई सदस्य न छूटे और कोई अतिरिक्त सदस्य न जुड़ जाए।
In exams, check the convention used for natural numbers carefully. चरण 1: यहाँ (N) प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। चरण 2: \(x\leq 5\) होने से (1) से (5) तक की प्राकृतिक संख्याएँ मिलती हैं। चरण 3: अपने पाठ्यक्रम में प्राकृतिक संख्याओं की शुरुआत (1) से मानी जाती है या नहीं, यह ध्यान रखें।
B. (5) और (6) के बीच की प्राकृतिक संख्याएँ/Natural numbers between (5) and (6)
Step 1
Concept
An empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number between (5) and (6).
Step 3
Exam Tip
The word between usually excludes the endpoints, so read carefully. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई भी सदस्य नहीं होता। चरण 2: (5) और (6) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: बीच शब्द का अर्थ अक्सर सिरों को छोड़ना होता है, इसलिए ध्यान से पढ़ें।
Check both conditions, even and prime, together. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: एकमात्र सम अभाज्य संख्या (2) है। चरण 3: सम और अभाज्य दोनों शर्तों को साथ-साथ जाँचें।
\(\in\) means belongs to and \(\notin\) means does not belong to.
Step 2
Why this answer is correct
(7) is present in the given set.
Step 3
Exam Tip
First check membership, then choose the option. चरण 1: \(\in\) का अर्थ है सदस्य है और \(\notin\) का अर्थ है सदस्य नहीं है। चरण 2: (7) दिए गए समुच्चय में मौजूद है। चरण 3: प्रतीक पढ़ते समय पहले सदस्यता जाँचें, फिर विकल्प चुनें।
Pay attention to inclusive and exclusive inequality signs. चरण 1: (Z) पूर्णांकों का समुच्चय है। चरण 2: \(-2\leq x<3\) में (-2) शामिल है पर (3) शामिल नहीं है। चरण 3: असमानता में बंद और खुले सिरों पर विशेष ध्यान दें।
B. \(x^2=4\) के प्राकृतिक हलों का समुच्चय/Set of natural solutions of \(x^2=4\)
Step 1
Concept
A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
In natural numbers, \(x^2=4\) has only (x=2).
Step 3
Exam Tip
Always check the given number system while forming a solution set. चरण 1: एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2=4\) का हल केवल (x=2) है। चरण 3: हलों का समुच्चय बनाते समय दिए गए संख्या-समूह को जरूर देखें।
Count distinct elements, not their order. चरण 1: (n(G)) समुच्चय (G) में सदस्यों की संख्या बताता है। चरण 2: (G) में (a,b,c) तीन सदस्य हैं। चरण 3: सूची विधि में अलग-अलग सदस्यों को गिनें, क्रम को नहीं।
While finding cardinality, count each element once. चरण 1: समुच्चय में किसी सदस्य की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। चरण 2: यहाँ अलग सदस्य केवल (1,2,3) हैं। चरण 3: समुच्चय की संख्या निकालते समय दोहराए गए सदस्यों को एक बार ही गिनें।
To check equality, compare elements, not order. चरण 1: समान समुच्चयों में बिल्कुल वही सदस्य होते हैं। चरण 2: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता। चरण 3: समानता जाँचते समय क्रम नहीं, सदस्य देखें।
In divisor questions, do not forget (1) and the number itself. चरण 1: धनात्मक भाजक वे संख्याएँ हैं जो (12) को पूर्ण रूप से भाग देती हैं। चरण 2: ऐसे भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 3: भाजक वाले प्रश्नों में (1) और स्वयं संख्या को न भूलें।
In set-builder form, write both rule and range correctly. चरण 1: दिए गए सदस्य (3) के गुणज हैं। चरण 2: (n=1,2,3,4) रखने पर (3,6,9,12) मिलते हैं। चरण 3: निर्माण विधि में नियम और सीमा दोनों सही लिखें।
Remember the difference between natural and whole numbers. चरण 1: (W) पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है, जिसमें (0) भी आता है। चरण 2: (4) से छोटी पूर्ण संख्याएँ (0,1,2,3) हैं। चरण 3: प्राकृतिक और पूर्ण संख्याओं में अंतर याद रखें।
C. कक्षा के मेहनती विद्यार्थियों का संग्रह/Collection of hardworking students of a class
Step 1
Concept
The members of a set must be clear and definite.
Step 2
Why this answer is correct
Hardworking can depend on opinion, so the members are not fixed.
Step 3
Exam Tip
Check vague adjectives before calling a collection a set. चरण 1: समुच्चय के सदस्य स्पष्ट और निश्चित होने चाहिए। चरण 2: मेहनती शब्द व्यक्ति के विचार पर निर्भर हो सकता है, इसलिए सदस्य निश्चित नहीं हैं। चरण 3: अस्पष्ट विशेषणों वाले संग्रह को समुच्चय मानने से पहले जाँचें।
\(1^2,2^2,3^2,4^2\) are less than (20), but \(5^2=25\).
Step 3
Exam Tip
In square conditions, test the next number to confirm the boundary. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग जाँचें। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2,4^2\) सभी (20) से छोटे हैं, पर \(5^2=25\) है। चरण 3: वर्ग वाली शर्त में अगली संख्या भी जाँचकर सीमा पक्की करें।
A prime number is greater than (1) and has exactly two factors.
Step 2
Why this answer is correct
Prime numbers less than (15) are (2,3,5,7,11,13).
Step 3
Exam Tip
Never count (1) as a prime number. चरण 1: अभाज्य संख्या (1) से बड़ी होती है और उसके ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (15) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7,11,13) हैं। चरण 3: (1) को अभाज्य संख्या न मानें।
(18,36,54) are less than (70), but (72) is greater.
Step 3
Exam Tip
Do not include a multiple beyond the given limit. चरण 1: (18) के धनात्मक गुणज लिखें। चरण 2: (18,36,54) (70) से छोटे हैं, पर (72) बड़ा है। चरण 3: गुणजों की गिनती में अंतिम सीमा से अधिक संख्या शामिल न करें।
A. (5) से छोटी पूर्ण संख्याओं के वर्ग/Squares of whole numbers less than (5)
Step 1
Concept
The elements are \(0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\).
Step 2
Why this answer is correct
These are squares of whole numbers less than (5).
Step 3
Exam Tip
When (0) is included, consider whole numbers carefully. चरण 1: दिए गए सदस्य \(0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\) हैं। चरण 2: ये (5) से छोटी पूर्ण संख्याओं के वर्ग हैं। चरण 3: यदि (0) शामिल हो, तो पूर्ण संख्याओं की संभावना जरूर देखें।
Integers can include both negative and positive numbers.
Step 2
Why this answer is correct
((-3)2=9) and \(3^2=9\), so both are elements.
Step 3
Exam Tip
In square equations, do not forget the negative solution. चरण 1: पूर्णांकों में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। चरण 2: ((-3)2=9) और \(3^2=9\), इसलिए दोनों सदस्य हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल को न भूलें।
Since the condition is less than (7), (7) is not included.
Step 3
Exam Tip
When it says less than, exclude the boundary number. चरण 1: विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(1,3,5,7,\ldots\) होती हैं। चरण 2: (7) से छोटी होने के कारण (7) शामिल नहीं होगा। चरण 3: छोटी लिखा हो तो सीमा वाली संख्या को शामिल न करें।
A. \(T={x:x\) (10) से छोटी अभाज्य संख्या है(})/\(T={x:x\) is a prime number less than (10})
Step 1
Concept
(2,3,5,7) are all prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are exactly the prime numbers less than (10).
Step 3
Exam Tip
Remember that (2) is prime and even, so saying only odd is incorrect. चरण 1: (2,3,5,7) सभी अभाज्य हैं। चरण 2: ये सभी (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 3: ध्यान रखें कि (2) अभाज्य भी है और सम भी, इसलिए केवल विषम कहना गलत होगा।
Always notice the difference between (<) and \(\leq\). चरण 1: शर्त \(2<x\leq 6\) है। चरण 2: इसमें (3,4,5,6) आएँगे, पर (2) नहीं आएगा। चरण 3: असमानता में (<) और \(\leq\) का अंतर हमेशा देखें।
C. एक वर्ष के महीनों का समुच्चय/Set of months in a year
Step 1
Concept
A finite set has a countable number of elements that ends.
Step 2
Why this answer is correct
A year has (12) months, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
Number systems like natural numbers or integers are usually infinite. चरण 1: सीमित समुच्चय में सदस्यों की संख्या गिनी जा सकती है और समाप्त होती है। चरण 2: एक वर्ष में (12) महीने होते हैं, इसलिए यह सीमित है। चरण 3: संख्या-समूह जैसे प्राकृतिक या पूर्णांक सामान्यतः अनंत होते हैं।
Do not include (0) as a factor because division by zero is not allowed. चरण 1: गुणनखंड वह संख्या है जो दी गई संख्या को पूरा भाग दे। चरण 2: (6) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। चरण 3: (0) को गुणनखंड में शामिल न करें, क्योंकि भाग देना संभव नहीं है।
The natural numbers between (4) and (12) are (5) to (11).
Step 3
Exam Tip
Convert word limits into symbols before choosing. चरण 1: बीच में होने का अर्थ सामान्यतः दोनों सिरों को छोड़ना है। चरण 2: (4) और (12) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ (5) से (11) तक हैं। चरण 3: शब्दों में दी गई सीमा को प्रतीकों में बदलकर जाँचें।
Do not include (20) because the condition is less than, not less than or equal to. चरण 1: (20) से छोटी (5) की प्राकृतिक गुणज संख्याएँ लिखें। चरण 2: वे (5,10,15) हैं, इसलिए कुल (3) सदस्य हैं। चरण 3: (20) को शामिल न करें क्योंकि शर्त छोटी है, छोटी या बराबर नहीं।
Find the variable range first, then apply the rule. चरण 1: \(n\in W\) और (n<4) से (n=0,1,2,3) होगा। चरण 2: (2n+1) रखने पर (1,3,5,7) मिलते हैं। चरण 3: चर की सीमा पहले निकालें, फिर नियम लगाएँ।
With negative numbers, carefully include or exclude endpoints. चरण 1: (Z) में पूर्णांक आते हैं। चरण 2: \(-3<x\leq 2\) से (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 3: ऋणात्मक संख्याओं वाली असमानता में सिरों को ध्यान से शामिल या बाहर करें।
Repetition does not create a new element in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the same distinct elements (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
For equality, ignore repetition and order; compare distinct elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराव से नया सदस्य नहीं बनता। चरण 2: दोनों समुच्चयों में अलग सदस्य (1,2,3) ही हैं। चरण 3: समानता में पुनरावृत्ति और क्रम को महत्व न दें, केवल अलग सदस्य देखें।
Apply both words, positive and less than, together. चरण 1: धनात्मक गुणज (6) से शुरू होंगे, (0) से नहीं। चरण 2: (30) से छोटी गुणज संख्याएँ (6,12,18,24) हैं। चरण 3: धनात्मक और छोटी दोनों शब्दों का अर्थ साथ में लगाएँ।
If there is exactly one solution, the solution set is a singleton set. चरण 1: समीकरण (x+3=8) हल करें। चरण 2: (x=5) मिलता है, इसलिए समुच्चय में केवल एक सदस्य है। चरण 3: यदि हल एक ही हो, तो हल-समुच्चय एकल समुच्चय होता है।
Powers of (10) include \(10^0=1\), \(10^1=10\), and \(10^2=100\).
Step 2
Why this answer is correct
Less than (100) leaves (1) and (10).
Step 3
Exam Tip
In power questions, remember \(10^0=1\). चरण 1: (10) की घातों में \(10^0=1\), \(10^1=10\), \(10^2=100\) आते हैं। चरण 2: (100) से कम होने के कारण (1) और (10) ही रहेंगे। चरण 3: घात के प्रश्नों में \(10^0=1\) को याद रखें।
When asked for the false statement, identify both included and excluded numbers. चरण 1: शर्त \(1\leq x\leq 4\) से (1,2,3,4) मिलते हैं। चरण 2: (5) इस सीमा के बाहर है। चरण 3: गलत कथन पूछे जाने पर सही सदस्यता के साथ-साथ बाहर की संख्या भी पहचानें।
Do not add a number unless it divides exactly. चरण 1: (9) को पूरा भाग देने वाली धनात्मक संख्याएँ खोजें। चरण 2: (1,3,9) सभी (9) के गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंडों में ऐसी संख्या न जोड़ें जो पूर्ण भाग न दे।
Combine both conditions to select only the inside numbers. चरण 1: (2) से बड़ा होने पर (2) शामिल नहीं होगा। चरण 2: (9) से छोटा होने पर (9) भी शामिल नहीं होगा। चरण 3: दो शर्तों को मिलाकर अंदर की संख्याएँ चुनें।
To test membership, identify whether the number is a square. चरण 1: पूर्ण वर्ग वे होते हैं जो किसी पूर्ण संख्या के वर्ग हों। चरण 2: (16,25,36) पूर्ण वर्ग हैं, पर (48) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: सदस्यता जाँचते समय संख्या को वर्ग के रूप में पहचानें।
(M) has the same elements, only in a different order.
Step 3
Exam Tip
Order does not matter in a set. चरण 1: (L) की सूची (1,2,3) है। चरण 2: (M) में भी वही सदस्य हैं, केवल क्रम अलग है। चरण 3: समुच्चय में क्रम का कोई प्रभाव नहीं होता।
The squares of integers must be less than or equal to (4).
Step 2
Why this answer is correct
(-2,-1,0,1,2) satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
For square conditions, check both negative and positive values. चरण 1: पूर्णांकों के वर्ग (4) से छोटे या बराबर होने चाहिए। चरण 2: (-2,-1,0,1,2) के वर्ग (4) या उससे कम हैं। चरण 3: वर्ग में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मानों को जाँचें।
Dots often indicate that the pattern continues indefinitely. चरण 1: अनंत समुच्चय में सदस्य गिनकर समाप्त नहीं होते। चरण 2: सम संख्याएँ \(2,4,6,8,\ldots\) लगातार चलती रहती हैं। चरण 3: जहाँ बिंदु आगे अनंत बढ़ने का संकेत दे, वहाँ अनंतता पहचानें।
The positive factors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
The odd elements among them are (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
When there are two conditions, list the larger collection and then filter it. चरण 1: (24) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: इनमें विषम सदस्य केवल (1) और (3) हैं। चरण 3: जब दो शर्तें हों, तो पहले बड़ा संग्रह बनाकर छाँटें।
Always apply the given number set while selecting solutions. चरण 1: (16) के वर्गमूल (-4) और (4) होते हैं। चरण 2: लेकिन \(x\in N\) है, इसलिए केवल (4) लिया जाएगा। चरण 3: हल चुनते समय समुच्चय की सीमा जरूर लागू करें।
\(0^2,1^2,2^2,3^2\) are less than (10), but \(4^2=16\).
Step 3
Exam Tip
Whole numbers do not include negative numbers. चरण 1: (W) पूर्ण संख्याएँ हैं, इसलिए (0) से शुरू करें। चरण 2: \(0^2,1^2,2^2,3^2\) (10) से छोटे हैं, पर \(4^2=16\) है। चरण 3: पूर्ण संख्या में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं आतीं।
With \(1\leq n\leq 5\), we get exactly these five squares.
Step 3
Exam Tip
The difference between (<) and \(\leq\) can change the last element. चरण 1: (R) में \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: \(1\leq n\leq 5\) रखने पर यही पाँच वर्ग मिलते हैं। चरण 3: (<) और \(\leq\) में अंतर से अंतिम सदस्य बदल सकता है।
If no element satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्यतः (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (1) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: जब कोई सदस्य शर्त पूरी न करे, तो समुच्चय रिक्त होता है।
Natural numbers divisible by (3) are \(3,6,9,12,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Less than (10) leaves (3,6,9).
Step 3
Exam Tip
Do not include the next multiple beyond the limit. चरण 1: (3) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ \(3,6,9,12,\ldots\) हैं। चरण 2: (10) से छोटी संख्याएँ (3,6,9) ही हैं। चरण 3: सीमा से बाहर का अगला गुणज शामिल न करें।
B. यह समुच्चय है क्योंकि चार अक्षरों की शर्त स्पष्ट है/It is a set because the condition of four letters is clear
Step 1
Concept
For a collection to be a set, membership must be definite.
Step 2
Why this answer is correct
Whether a word has four letters can be checked clearly.
Step 3
Exam Tip
A large collection can still be a set if the rule is clear. चरण 1: किसी संग्रह को समुच्चय मानने के लिए सदस्यता स्पष्ट होनी चाहिए। चरण 2: चार अक्षरों वाला शब्द है या नहीं, यह जाँचा जा सकता है। चरण 3: बड़ा संग्रह भी समुच्चय हो सकता है, यदि नियम स्पष्ट हो।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integers (-2,-1,0,1,2) satisfy it.
Step 3
Exam Tip
In absolute value questions, check numbers on both sides of (0). चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) यह शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में दोनों ओर की संख्याएँ जाँचें।
First convert word-based limits into clear numerical limits. चरण 1: सबसे छोटी दो अंकों की संख्या (10) है। चरण 2: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक हैं। चरण 3: शब्दों में दी गई संख्या-सीमा को पहले स्पष्ट संख्या में बदलें।
