Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A subset means every element of the first set is present in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
The elements (1) and (2) of (A) are both in (B).
Step 3
Exam Tip
In exams, check each element one by one. चरण 1: उपसमुच्चय में पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (A) के अवयव (1) और (2), दोनों (B) में हैं। चरण 3: परीक्षा में हर अवयव अलग-अलग जाँचें।
(A=[0,2]) contains all real numbers from (0) to (2), including the endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
(B=(0,2)) contains only the numbers between (0) and (2), so every element of (B) is in (A).
Step 3
Exam Tip
For intervals with the same endpoints, check endpoint inclusion before deciding the subset relation. चरण 1: (A=[0,2]) में (0) और (2) सहित बीच की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: (B=(0,2)) में केवल (0) और (2) के बीच की संख्याएँ आती हैं, इसलिए (B) का हर अवयव (A) में है। चरण 3: समान सिरों वाले खुले और बंद अंतराल में सिरों को देखकर उपसमुच्चय तय करें।
So no element of it can fail to belong to (A), hence it is a subset of every set.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse the empty set with zero. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसका कोई अवयव बाहर नहीं मिल सकता, अतः वह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। चरण 3: रिक्त समुच्चय और शून्य को अलग समझें।
Do not mix up \( \in \) and \( \subseteq \). चरण 1: हर समुच्चय अपने सभी अवयव स्वयं में रखता है। चरण 2: इसलिए (A) का हर अवयव (A) में ही है। चरण 3: \( \in \) और \( \subseteq \) के अर्थ में गलती न करें।
A. (5) समुच्चय (B) में नहीं है/(5) is not in set (B)
Step 1
Concept
For a subset, every element of (A) must be in (B).
Step 2
Why this answer is correct
The element (5) is not in (B), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Even one outside element is enough to reject a subset statement. चरण 1: उपसमुच्चय के लिए (A) का हर अवयव (B) में होना चाहिए। चरण 2: (5), (B) में नहीं है, इसलिए शर्त टूट जाती है। चरण 3: केवल एक बाहर का अवयव भी उपसमुच्चय को गलत कर देता है।
A proper subset uses elements from the original set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({7}) contains only an element of (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
A proper subset cannot be the whole set itself. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय से आते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({7}) में केवल (A) का अवयव है और यह (A) से छोटा है। चरण 3: उचित उपसमुच्चय में पूरा वही समुच्चय नहीं लिखना चाहिए।
If a set has (n) elements, the number of subsets is \(2^n\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=2), so \(2^2=4\).
Step 3
Exam Tip
For small sets, you can also list the subsets to verify. चरण 1: यदि समुच्चय में (n) अवयव हों, तो उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=2), इसलिए \(2^2=4\)। चरण 3: छोटे समुच्चय में उपसमुच्चय लिखकर भी जाँच सकते हैं।
A set with three elements has \(2^3=8\) total subsets.
Step 2
Why this answer is correct
A proper subset excludes the whole set itself, so the count is (8-1=7).
Step 3
Exam Tip
In proper subset questions, remember to subtract one. चरण 1: तीन अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। चरण 2: उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय हट जाता है। इसलिए संख्या (8-1=7) है। चरण 3: उचित उपसमुच्चय के प्रश्न में एक कम करना याद रखें।
Learn the chain of number sets in order. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग होती हैं। चरण 2: इसलिए (N) का हर अवयव (R) में आता है। चरण 3: संख्या-समुच्चयों की श्रृंखला को क्रम से याद करें।
A subset of (R) should contain real number elements. चरण 1: (R) में वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चरण 2: ({1,2,3}) के सभी अवयव संख्याएँ हैं और वास्तविक हैं। चरण 3: (R) के उपसमुच्चय में अवयव संख्या होने चाहिए।
Every integer is an element of (R), so \(Z \subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
Watch the direction of the subset symbol carefully. चरण 1: पूर्णांक वास्तविक संख्याओं के अंदर आते हैं। चरण 2: हर पूर्णांक (R) का अवयव है, इसलिए \(Z \subseteq R\)। चरण 3: बड़े समुच्चय और छोटे समुच्चय की दिशा ध्यान से देखें।
All elements of (Q) are found in (R), so \(Q \subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
Irrational numbers are also in (R), so \(Q\neq R\). चरण 1: हर परिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है। चरण 2: सभी (Q) के अवयव (R) में मिलते हैं, इसलिए \(Q \subseteq R\)। चरण 3: अपरिमेय संख्याएँ भी (R) में होती हैं, इसलिए (Q=R) नहीं है।
In a closed interval, do not forget the endpoints. चरण 1: वर्ग कोष्ठक सिरों को शामिल करते हैं। चरण 2: ([2,5]) में (2) और (5) दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल में दोनों सिरे लेने न भूलें।
In ((2,5)), (2) and (5) are not included, but numbers between them are included.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, exclude the endpoints. चरण 1: गोल कोष्ठक सिरों को शामिल नहीं करते। चरण 2: ((2,5)) में (2) और (5) नहीं आते, पर बीच की संख्याएँ आती हैं। चरण 3: खुले अंतराल में सिरों को अलग रखें।
The parenthesis (,)) excludes the right endpoint. So \(2 \le x < 5\).
Step 3
Exam Tip
In mixed intervals, read both ends separately. चरण 1: ([,) बाएँ सिरे को शामिल करता है। चरण 2: (,)) दाएँ सिरे को बाहर रखता है। इसलिए \(2 \le x < 5\)। चरण 3: मिश्रित अंतराल में दोनों सिरों के चिन्ह अलग-अलग पढ़ें।
The right square bracket includes (5). Therefore \(2 < x \le 5\).
Step 3
Exam Tip
When converting intervals to inequalities, check endpoint inclusion carefully. चरण 1: बाईं ओर गोल कोष्ठक (2) को बाहर रखता है। चरण 2: दाईं ओर वर्ग कोष्ठक (5) को शामिल करता है। इसलिए \(2 < x \le 5\)। चरण 3: अंतराल को असमानता में बदलते समय सिरों को ध्यान से देखें।
In (1<x<4), equality is not present at either endpoint.
Step 2
Why this answer is correct
So both (1) and (4) are excluded.
Step 3
Exam Tip
Use parentheses when equality is not included. चरण 1: (1<x<4) में दोनों सिरों पर बराबरी नहीं है। चरण 2: इसलिए (1) और (4) दोनों शामिल नहीं होंगे। चरण 3: बराबरी न हो तो गोल कोष्ठक लगाएँ।
This means both (1) and (4) are included, so the interval is ([1,4]).
Step 3
Exam Tip
Use square brackets when equality is included. चरण 1: दोनों ओर बराबरी का चिन्ह है। चरण 2: इसका मतलब (1) और (4) दोनों शामिल हैं। इसलिए अंतराल ([1,4]) होगा। चरण 3: बराबरी हो तो वर्ग कोष्ठक का प्रयोग करें।
All real numbers greater than (3) are taken, so the interval is (\(3,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Always use a parenthesis with infinity. चरण 1: (x>3) में (3) शामिल नहीं है। चरण 2: (3) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ ली जाती हैं, इसलिए (\(3,\infty\))। चरण 3: अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाएँ।
All numbers greater than (3) are also included. Therefore \([3,\infty\)) is correct.
Step 3
Exam Tip
Use a square bracket at the endpoint where equality is included. चरण 1: \(x\ge 3\) में (3) शामिल है। चरण 2: (3) से बड़ी सभी संख्याएँ भी शामिल हैं। इसलिए \([3,\infty\)) सही है। चरण 3: बराबरी वाले सिरे पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ।
All real numbers less than (5) are taken, so (\(-\infty,5\)) is correct.
Step 3
Exam Tip
Think of the direction on the number line. चरण 1: (x<5) में (5) शामिल नहीं है। चरण 2: (5) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(-\infty,5\)) सही है। चरण 3: कम-से-कम और अधिक-से-अधिक दिशा को संख्या रेखा पर सोचें।
All real numbers less than (5) are also included. Therefore the interval is (\(-\infty,5]\).
Step 3
Exam Tip
Use a parenthesis at infinity and a square bracket at (5). चरण 1: \(x\le 5\) में (5) शामिल है। चरण 2: (5) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ भी ली जाती हैं। इसलिए (\(-\infty,5]\) होगा। चरण 3: अनंत की ओर गोल कोष्ठक और (5) पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ।
(0) lies between them, so it belongs to the interval.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, take only numbers strictly between the endpoints. चरण 1: ((-1,1)) में (-1) और (1) शामिल नहीं होते। चरण 2: (0), इन दोनों के बीच है, इसलिए यह अंतराल में आता है। चरण 3: खुले अंतराल में बीच की संख्याएँ ही लें।
In a half-open interval, exclude the open endpoint. चरण 1: ([-3,2)) में बायाँ सिरा (-3) शामिल है। चरण 2: दायाँ सिरा (2) शामिल नहीं है। चरण 3: आधे खुले अंतराल में खुले सिरे को बाहर रखें।
A. (0) शामिल नहीं है और (4) शामिल है/(0) is not included and (4) is included
Step 1
Concept
The left parenthesis excludes (0).
Step 2
Why this answer is correct
The right square bracket includes (4).
Step 3
Exam Tip
Read the endpoints carefully before choosing the meaning of an interval. चरण 1: बाईं ओर गोल कोष्ठक (0) को बाहर रखता है। चरण 2: दाईं ओर वर्ग कोष्ठक (4) को शामिल करता है। चरण 3: सिरों को देखकर ही अंतराल का सही अर्थ लिखें।
To identify a closed interval, look for square brackets on both sides. चरण 1: वर्ग कोष्ठक सिरों को शामिल करते हैं। चरण 2: ([a,b]) में (a) और (b) दोनों शामिल होते हैं। चरण 3: बंद अंतराल पहचानने के लिए दोनों ओर वर्ग कोष्ठक देखें।
An open interval has parentheses on both sides. चरण 1: गोल कोष्ठक सिरों को बाहर रखते हैं। चरण 2: ((a,b)) में न (a) शामिल है और न (b)। चरण 3: खुले अंतराल में दोनों ओर गोल कोष्ठक होते हैं।
A subset need not be equal to the set; it only needs all its elements inside it. चरण 1: ({1,3}) के दोनों अवयव (A) में हैं। चरण 2: इसलिए ({1,3}), (A) का उपसमुच्चय है। चरण 3: उपसमुच्चय होने के लिए सारे अवयव मिलना जरूरी है, बराबर होना जरूरी नहीं।
In ({4,7}), the element (7) is not in (A). So it is not a subset.
Step 3
Exam Tip
In options, quickly identify any outside element. चरण 1: उपसमुच्चय के हर अवयव को (A) में होना चाहिए। चरण 2: ({4,7}) में (7), (A) में नहीं है। इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। चरण 3: विकल्पों में बाहरी अवयव जल्दी पहचानें।
The subsets are \(\emptyset\) and ({9}). चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। चरण 2: यहाँ (n=1), इसलिए \(2^1=2\)। चरण 3: वे उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({9}) हैं।
The only subset of \(\emptyset\) is \(\emptyset\) itself. चरण 1: रिक्त समुच्चय में अवयवों की संख्या (0) होती है। चरण 2: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^0=1\) होती है। चरण 3: \(\emptyset\) का एकमात्र उपसमुच्चय स्वयं \(\emptyset\) है।
In counting questions, first identify the number of elements. चरण 1: समुच्चय (A) में (3) अवयव हैं। चरण 2: कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। चरण 3: गिनती वाले प्रश्नों में पहले अवयवों की संख्या पहचानें।
A power set contains all subsets of the original set as its elements.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) is a subset of (A).
Step 3
Exam Tip
Elements of a power set are often sets themselves. चरण 1: घात समुच्चय में मूल समुच्चय के सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में होते हैं। चरण 2: ({1,2}), (A) का उपसमुच्चय है। चरण 3: घात समुच्चय में अवयव अक्सर समुच्चय के रूप में होते हैं।
In ([1,1]), the left and right endpoints are the same and included.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore only (1) belongs to it.
Step 3
Exam Tip
A closed interval with equal endpoints is a singleton set. चरण 1: ([1,1]) में बायाँ और दायाँ सिरा समान है और शामिल है। चरण 2: इसलिए केवल (1) ही आता है। चरण 3: समान सिरों वाले बंद अंतराल को एक अवयव वाला समुच्चय मानें।
There is no real number strictly between (1) and (1). So ((1,1)=\emptyset).
Step 3
Exam Tip
An open interval with equal endpoints is empty. चरण 1: खुले अंतराल में सिरे शामिल नहीं होते। चरण 2: (1) और (1) के बीच कोई वास्तविक संख्या नहीं है। इसलिए ((1,1)=\emptyset)। चरण 3: समान सिरों वाला खुला अंतराल रिक्त हो जाता है।
From \(-\infty\) to \(\infty\), all real numbers are included.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore it represents the whole real number set (R).
Step 3
Exam Tip
When the whole number line is covered, identify it as (R). चरण 1: \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इसलिए यह पूरा वास्तविक संख्या समुच्चय (R) है। चरण 3: पूरा संख्या रेखा दिखे तो (R) पहचानें।
Non-negative means (0) and numbers greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
Since (0) is included, the left side uses a square bracket.
Step 3
Exam Tip
Pay special attention to whether (0) is included or excluded. चरण 1: गैर-ऋणात्मक का अर्थ (0) और (0) से बड़ी संख्याएँ है। चरण 2: (0) शामिल है, इसलिए बाईं ओर वर्ग कोष्ठक होगा। चरण 3: (0) को शामिल या बाहर करने पर विशेष ध्यान दें।
(0) is not positive, so it is not included. Hence the interval is (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between positive and non-negative. चरण 1: धनात्मक वास्तविक संख्याएँ (0) से बड़ी होती हैं। चरण 2: (0) धनात्मक नहीं है, इसलिए वह शामिल नहीं होगा। अतः (\(0,\infty\))। चरण 3: धनात्मक और गैर-ऋणात्मक में अंतर याद रखें।
Think of the part to the left of (0) on the number line. चरण 1: ऋणात्मक संख्याएँ (0) से छोटी होती हैं। चरण 2: (0) ऋणात्मक नहीं है, इसलिए शामिल नहीं होगा। चरण 3: संख्या रेखा पर (0) के बाईं ओर वाला भाग सोचें।
Non-positive numbers include (0) and numbers less than (0).
Step 2
Why this answer is correct
Since (0) is included, the right endpoint uses a square bracket.
Step 3
Exam Tip
Distinguish non-positive from negative numbers. चरण 1: गैर-धनात्मक में (0) और (0) से छोटी संख्याएँ आती हैं। चरण 2: (0) शामिल है, इसलिए दाईं ओर वर्ग कोष्ठक होगा। चरण 3: गैर-धनात्मक और ऋणात्मक को अलग-अलग पहचानें।
It contains all real numbers from (2) to (6), including both endpoints.
Step 3
Exam Tip
Read square brackets as allowing equality. चरण 1: ([2,6]) बंद अंतराल है। चरण 2: इसमें (2) से (6) तक सभी वास्तविक संख्याएँ, दोनों सिरों सहित, आती हैं। चरण 3: वर्ग कोष्ठक को बराबरी के चिन्ह से जोड़कर पढ़ें।
It does not include (2) and (6), only the numbers between them.
Step 3
Exam Tip
Parentheses mean equality is not included. चरण 1: ((2,6)) खुला अंतराल है। चरण 2: इसमें (2) और (6) शामिल नहीं होते, केवल बीच की संख्याएँ आती हैं। चरण 3: गोल कोष्ठक का अर्थ बराबरी नहीं है।
\(\frac{1}{2}\) is a real number, so it belongs to (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{2}\) is not an integer, so it does not belong to (Z).
Step 3
Exam Tip
When identifying number-set subsets, check the type of each element. चरण 1: \(\frac{1}{2}\) वास्तविक संख्या है, इसलिए (R) में आती है। चरण 2: \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है, इसलिए (Z) में नहीं आती। चरण 3: संख्या-समुच्चय पहचानते समय हर अवयव की प्रकृति देखें।
\({\sqrt{2}}\) has exactly one element, so it is a singleton subset of (R).
Step 3
Exam Tip
Check both the number of elements and their type. चरण 1: \(\sqrt{2}\) एक वास्तविक संख्या है। चरण 2: \({\sqrt{2}}\) में केवल एक अवयव है, इसलिए यह (R) का एक-अवयवी उपसमुच्चय है। चरण 3: समुच्चय के अवयवों की संख्या और उनका प्रकार दोनों देखें।
The interval ((0,1)) contains all real numbers between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
There are infinitely many real numbers between them.
Step 3
Exam Tip
Intervals usually contain infinitely many elements. चरण 1: ((0,1)) में (0) और (1) के बीच सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इनके बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ हैं। चरण 3: अंतराल सामान्यतः अनंत अवयव रखते हैं।
A. (A) का हर अवयव (B) में है/Every element of (A) is in (B)
Step 1
Concept
\(A\subseteq B\) means all elements of (A) are in (B).
Step 2
Why this answer is correct
This is different from \(A\in B\).
Step 3
Exam Tip
Use the symbol to decide whether the statement is about an element or a subset. चरण 1: \(A\subseteq B\) का अर्थ है (A) के सभी अवयव (B) में हों। चरण 2: यह \(A\in B\) से अलग है। चरण 3: चिन्ह देखकर तय करें कि बात अवयव की है या उपसमुच्चय की।
Keep the difference between an element and a set clear. चरण 1: \( \in \) चिन्ह अवयव होने को दिखाता है। चरण 2: \(a\in A\) का अर्थ है (a) समुच्चय (A) में मौजूद है। चरण 3: एक अवयव और एक समुच्चय में अंतर रखें।
A. \(A\subseteq B\) और \(A\in B\) दोनों/Both \(A\subseteq B\) and \(A\in B\)
Step 1
Concept
Both (1) and (2) are in (B), so \(A\subseteq B\).
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) is also an element of (B), so \(A\in B\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, check subset and element relations separately. चरण 1: (1) और (2), दोनों (B) में हैं, इसलिए \(A\subseteq B\)। चरण 2: ({1,2}) भी (B) का एक अवयव है, इसलिए \(A\in B\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में उपसमुच्चय और अवयव दोनों अलग-अलग जाँचें।
The interval ([0,3]) contains numbers from (0) to (3), including both endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
Every element of ({0,1,2,3}) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
Check every number against the interval before choosing a subset. चरण 1: ([0,3]) में (0) से (3) तक की संख्याएँ दोनों सिरों सहित आती हैं। चरण 2: ({0,1,2,3}) के सभी अवयव इसी अंतराल में हैं। चरण 3: उपसमुच्चय चुनते समय हर संख्या को अंतराल में जाँचें।
The set ({0,1}) contains (0), so the whole set cannot be a subset of ((0,3)).
Step 3
Exam Tip
In open interval questions, spot endpoint values quickly. चरण 1: ((0,3)) में (0) शामिल नहीं है। चरण 2: ({0,1}) में (0) है, इसलिए यह पूरा समुच्चय ((0,3)) का उपसमुच्चय नहीं हो सकता। चरण 3: खुले अंतराल के सिरों को विकल्पों में तुरंत पहचानें।
