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वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-1) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). A sign chart gives (x<-1) or \(x\ge 3\).
\(y=\frac{5x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), इसलिए \(y\ne 5\)। रैखिक भिन्न फलन में हर शून्य करने वाला (y) परिसर से हटता है। / From \(y=\frac{5x-1}{x+2}\), \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), so \(y\ne 5\). In a linear fractional function, the (y) making the denominator zero is excluded.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक वास्तविक होने के लिए \(2-|x+1|\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(|x+1|\le 2\), जिससे \(-2\le x+1\le 2\) और इसलिए \(-3\le x\le 1\)। इस कारण प्रांत \([-3,1]\) है। सिरों \(x=-3\) और \(x=1\) को शामिल करना न भूलें, क्योंकि वहाँ वर्गमूल के अंदर का मान शून्य है। / For the square root to be real, its radicand must satisfy \(2-|x+1|\ge 0\). Thus, \(|x+1|\le 2\), which gives \(-2
ayle x+1\le 2\), and hence \(-3\le x\le 1\). Therefore, the domain is \([-3,1]\). The endpoints are included because the radicand is zero there. Exam tip: for a square-root function, set the expression under the radical greater than or equal to zero.
क्योंकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\)। अतः \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\)। अधिकतम मान 4 तब प्राप्त होता है जब \\(x=2\\)। जब \\(|x|\\to\\infty\\), तब वर्गमूल का मान अनंत की ओर बढ़ता है और \\(f(x)\\to-\\infty\\)। इसलिए परिसर \\((-\\infty,4]\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें; ऋणात्मक चिह्न होने पर वही अधिकतम फलन-मूल्य निर्धारित करता है। / Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\). Therefore, \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\). The maximum value 4 is attained at \\(x=2\\). As \\(|x|\\to\\infty\\), the square-root term tends to infinity, so \\(f(x)\\to-\\infty\\). Hence the range is \\((-\\infty,4]\\). Exam tip: first find the minimum of the radical expression; because it is subtracted, that minimum gives the maximum value of the function.
लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(\frac{x+4}{x-1}>0\) आवश्यक है। महत्वपूर्ण बिंदु \(x=-4\) और \(x=1\) हैं। संकेत-जाँच से भिन्नराशि \(x<-4\) या \(x>1\) के लिए धनात्मक होती है। \(x=-4\) पर लघुगणक का तर्क 0 और \(x=1\) पर भिन्नराशि अपरिभाषित है, इसलिए दोनों शामिल नहीं हैं। अतः प्रांत \((-�infty,-4)\cup(1,\infty)\) है। परीक्षा टिप: ऐसी समस्याओं में पहले लघुगणक के तर्क को \(>0\) रखकर critical points पर sign chart बनाइए। / The logarithm requires a positive argument, so \(\frac{x+4}{x-1}>0\). The critical points are \(x=-4\) and \(x=1\). A sign analysis shows that the fraction is positive when \(x<-4\) or \(x>1\). At \(x=-4\), the logarithm argument is zero, and at \(x=1\), the fraction is undefined; hence neither endpoint is included. Therefore, the domain is \((-�infty,-4)\cup(1,\infty)\). Exam tip: For logarithmic rational expressions, first impose that the argument is strictly positive and then use a sign chart.
हर ((x+3)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator ((x+3)2+4\ge 4), so the maximum is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
वर्गमूल के लिए ((x+2)(5-x)\ge 0) चाहिए। यह गुणनफल \(-2\le x\le 5\) पर अनऋणात्मक है। / For the square root, ((x+2)(5-x)\ge 0) is required. This product is non-negative for \(-2\le x\le 5\).
((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left\(x-\frac{3}{2}\right\)2) का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) और न्यूनतम (0) मिलता है। / ((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left\(x-\frac{3}{2}\right\)2) has maximum \(\frac{49}{4}\). The square root gives maximum \(\frac{7}{2}\) and minimum (0).
\(t=|x-1|\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+3}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=|x-1|\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+3}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-10x+24>0\) चाहिए। ((x-4)(x-6)>0) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-10x+24>0\) is required. From ((x-4)(x-6)>0), the outer intervals are obtained.
(f(x)=(x-2)2+4), इसलिए न्यूनतम (4) है। सिरों पर (f(0)=8) और (f(5)=13), इसलिए अधिकतम (13) है। / Since (f(x)=(x-2)2+4), the minimum is (4). At the endpoints, (f(0)=8) and (f(5)=13), so the maximum is (13).
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t+3}{t+1}=1+\frac{2}{t+1}\)। इसलिए मान (1) से बड़े और (3) तक हैं। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+3}{t+1}=1+\frac{2}{t+1}\). Hence values are greater than (1) and up to (3).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge 2\) और हर वाले वर्गमूल के लिए (x-5>0) चाहिए। संयुक्त शर्त (x>5) है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge 2\), and for the denominator square root, (x-5>0) is needed. The combined condition is (x>5).
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{3t+1}{t+1}=3-\frac{2}{t+1}\)। (t=0) पर (1) मिलता है और (3) केवल सीमा मान है। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{3t+1}{t+1}=3-\frac{2}{t+1}\). At (t=0), the value is (1), and (3) is only a limiting value.
\(t=x^2-1\) लेने पर \(t\in[-1,\infty\)) और \(t\ne 0\)। इसलिए \(\frac{1}{t}\) के मान ((-\infty,-1]\cup\(0,\infty\)) हैं। / Taking \(t=x^2-1\), we get \(t\in[-1,\infty\)) and \(t\ne 0\). Hence \(\frac{1}{t}\) has values ((-\infty,-1]\cup\(0,\infty\)).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(\log_{5}x>0\) चाहिए। आधार (5>1) होने से (x>1) मिलता है। / The square root is in the denominator, so \(\log_{5}x>0\) is required. Since the base (5>1), this gives (x>1).
दो बिंदुओं (-2) और (4) से दूरी का योग न्यूनतम (6) होता है। इनके बीच किसी भी (x) पर वही न्यूनतम मान मिलता है। / The sum of distances from (-2) and (4) has minimum (6). Any (x) between these points gives the same minimum value.
दो निश्चित बिंदुओं (1) और (5) से दूरियों का अंतर (-4) से (4) तक रहता है। अंतरालों पर चिह्न हटाकर सीमा मान जांचें। / The difference of distances from fixed points (1) and (5) lies from (-4) to (4). Remove signs interval-wise and check endpoint values.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य और धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(a-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le a\)। अतः फलन का परिभाषा-क्षेत्र \((-�infty,a]\) होगा। दिए गए परिभाषा-क्षेत्र \((-�infty,9]\) से \(a=9\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{a-x}\) जैसे फलन में दाएँ छोर का मान सीधे \(a\) होता है। / The expression under a square root must be non-negative, so \(a-x\ge 0\), which gives \(x\le a\). Hence, the domain is \((-�infty,a]\). Comparing it with the given domain \((-�infty,9]\) gives \(a=9\). The distractor \(-9\) would result from overlooking the sign of \(x\). Exam tip: For \(\sqrt{a-x}\), the right-hand endpoint of the domain is \(a\).
परिमेय फलन का हर शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। यहाँ \(x^2-a=0\), अर्थात् \(x^2=a\)। प्रांत से हटाए गए मान \(x=-3\) और \(x=3\) हैं, इसलिए \(a=(-3)^2=3^2=9\)। अतः सही उत्तर \(9\) है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मान प्रांत से बाहर होते हैं। / A rational function is undefined wherever its denominator is zero. Here, \(x^2-a=0\), so \(x^2=a\). The excluded values are \(x=-3\) and \(x=3\); hence \(a=(-3)^2=3^2=9\). Therefore, the correct answer is \(9\). Exam tip: Set the denominator equal to zero to identify the values excluded from the domain.
वर्गमूल के लिए \(6x-x^2-5\ge 0\) चाहिए। इसे (-(x-1)(x-5)\ge 0) लिखने पर \(1\le x\le 5\) मिलता है। / The square root needs \(6x-x^2-5\ge 0\). Writing it as (-(x-1)(x-5)\ge 0) gives \(1\le x\le 5\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक \(6x-x^2-5=4-(x-3)^2\) है। इसके लिए \((x-3)^2\leq 4\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([1,5]\) है। व्यंजक का मान \([0,4]\) में होता है और उसका वर्गमूल लेने पर \(f(x)\) का परास \([0,2]\) मिलता है। विकल्प C केवल अंदर के व्यंजक का परास है, फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करें, फिर वर्गमूल लें। / The radicand can be rewritten as \(6x-x^2-5=4-(x-3)^2\). For the function to be real, \((x-3)^2\leq 4\), giving the domain \([1,5]\). The radicand varies from 0 to 4, so taking its square root gives \(f(x)\in[0,2]\). Option C is the range of the radicand, not of the function. Exam tip: for a square-root function, first find the range of the expression under the root and then apply the square root.
हर \(|x+3|+2\ge 2\), इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator \(|x+3|+2\ge 2\), so the maximum value is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0).
मूल प्रांत में \(x\ne 3\) है और सरलीकरण से (f(x)=x+3)। इसलिए (x=3) पर आने वाला मान (6) परिसर से हटेगा। / The original domain has \(x\ne 3\), and simplification gives (f(x)=x+3). Hence the value (6), which would occur at (x=3), is excluded from the range.
मूल हर (x-3) है, इसलिए (x=3) स्वीकार्य नहीं है। सरलीकरण के बाद भी हटे हुए बिंदु को प्रांत में न जोड़ें। / The original denominator is (x-3), so (x=3) is not allowed. Even after simplification, do not add the removed point to the domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक radicand गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) और \(8-x\ge 0\) से \(x\le 8\) मिलता है। इन दोनों शर्तों का छेदन \([-2,8]\) है। दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा, क्योंकि वहाँ संबंधित वर्गमूल का मान शून्य होता है; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय सभी radicands के लिए अलग-अलग \(\ge 0\) शर्तें लगाकर उनका छेदन लें। / Every radicand must be non-negative for the square roots to be real. Thus, \(x+2\ge 0\) gives \(x\ge -2\), while \(8-x\ge 0\) gives \(x\le 8\). Their intersection is \([-2,8]\). Both endpoints are included because the corresponding square root is zero there, so option B is incorrect. Exam tip: For a function containing square roots, impose a \(\ge 0\) condition on each radicand and take the intersection of the resulting sets.
वास्तविक मान के लिए \(x+2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\), अतः \(-2\le x\le 8\)। अब कॉशी-श्वार्ज असमता से \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\)। इसलिए \(f(x)\le 2\sqrt{5}\)। समानता तब मिलती है जब \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), अर्थात् \(x=3\)। अतः अधिकतम मान \(2\sqrt{5}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलों के परिभाषित होने का अंतराल और फिर समानता की स्थिति जाँचें। / For real values, \(x+2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so the domain is \(-2\le x\le 8\). By the Cauchy–Schwarz inequality, \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\). Hence \(f(x)\le 2\sqrt{5}\). Equality occurs when \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), which gives \(x=3\). Therefore, the maximum value is \(2\sqrt{5}\). Exam tip: first determine the domain of radical expressions, then check the equality condition for the inequality used.
बंद अंतराल ([-2,8]) में न्यूनतम सिरों पर आता है। दोनों सिरों पर मान \(\sqrt{10}\) है। / On the closed interval ([-2,8]), the minimum occurs at the endpoints. At both endpoints, the value is \(\sqrt{10}\).
\(|2x|\le x^2+1\) क्योंकि ((x-1)2\ge 0) और ((x+1)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|2x|\le x^2+1\) because ((x-1)2\ge 0) and ((x+1)2\ge 0). Hence the values lie from (-1) to (1), and both occur.
\(|3x|\le \frac{x^2+9}{2}\), इसलिए \(\left|\frac{3x}{x^2+9}\right|\le \frac{1}{2}\)। समानता \(x=\pm 3\) पर मिलती है। / Since \(|3x|\le \frac{x^2+9}{2}\), \(\left|\frac{3x}{x^2+9}\right|\le \frac{1}{2}\). Equality occurs at \(x=\pm 3\).
हर में \(\sqrt{x^2-4}\) है, इसलिए उसके अंदर का व्यंजक केवल गैर-ऋणात्मक होना पर्याप्त नहीं है; हर शून्य भी नहीं हो सकता। अतः \(x^2-4>0\) आवश्यक है। इससे \(x^2>4\), यानी \(x<-2\) या \(x>2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\) है। विकल्प B में \(x=\pm2\) शामिल हैं, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूलांक के अंदर का व्यंजक हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / Since \(\sqrt{x^2-4}\) is in the denominator, its radicand must be non-negative and the denominator must also be nonzero. Hence, \(x^2-4>0\), so \(x^2>4\), giving \(x<-2\) or \(x>2\). Therefore, the domain is \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(x=\pm2\), where the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, require the expression under the root to be strictly positive.
वर्गमूल के अंदर की राशि के लिए \(9-x^2\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(-3\le x\le 3\)। साथ ही, हर \(x+1\neq 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x=-1\) को हटाना होगा। अतः प्रांत \([-3,3]\setminus\{-1\}\) है। विकल्प C में \(-1\) को नहीं हटाया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल के लिए असमता और हर के लिए शून्य से भिन्न होने की शर्त दोनों जाँचें। / For the square root to be defined, \(9-x^2\ge 0\), which gives \(-3\le x\le 3\). Also, the denominator must be non-zero, so \(x+1\neq 0\), excluding \(x=-1\). Therefore, the domain is \([-3,3]\setminus\{-1\}\). Option C is incorrect because it includes \(-1\), where the denominator becomes zero. Exam tip: for such functions, impose both the radicand condition and the non-zero denominator condition.
\(\sqrt{x}\ge 0\), इसलिए हर कम से कम (1) है। (x=0) पर (1) मिलता है और \(x\to\infty\) पर मान (0) के पास जाता है। / Since \(\sqrt{x}\ge 0\), the denominator is at least (1). At (x=0), the value is (1), and as \(x\to\infty\), it approaches (0).
(x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए अंदर का न्यूनतम (1) है। वर्गमूल के बाद परिसर \([1,\infty\)) होगा। / Since (x-2+2x+2=(x+1)2+1), the inside minimum is (1). After square root, the range is \([1,\infty\)).
क्योंकि \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), इसलिए लघुगणक का तर्क सदैव \(1\) या उससे अधिक है। इसका न्यूनतम मान \(1\) तब मिलता है जब \(x=-1\), और \(\log_2 1=0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बढ़ता है, तर्क तथा फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि न्यूनतम फलन मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करके उस पर लघुगणक लगाएँ। / Since \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), the logarithm's argument is always at least \(1\). Its minimum value is \(1\) at \(x=-1\), giving \(\log_2 1=0\). As \(|x|\) increases, the argument and hence the function value grow without bound. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum function value is \(0\), not \(1\). Exam tip: find the minimum value of the quadratic expression first, then apply the logarithm.
क्योंकि \(x\in[0,2)\), इसलिए \(2x\in[0,4)\)। अतः \(\lfloor 2x\rfloor\) के संभावित पूर्णांक मान \(0,1,2,3\) हैं। प्रत्येक मान प्राप्त होता है, जैसे \(x\in[0,\tfrac12)\) पर मान \(0\), \(x\in[\tfrac12,1)\) पर मान \(1\), और इसी प्रकार। \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(2x=4\) और फलन का मान \(4\) प्राप्त नहीं हो सकता। अतः सही परिसर \(\{0,1,2,3\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में इनपुट अंतराल के खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since \(x\in[0,2)\), we have \(2x\in[0,4)\). Therefore, the possible integer values of \(\lfloor 2x\rfloor\) are \(0,1,2,3\), and each of them is attained. For example, the value is \(0\) when \(x\in[0,\tfrac12)\), \(1\) when \(x\in[\tfrac12,1)\), and so on. The endpoint \(x=2\) is excluded, so \(2x=4\) and the value \(4\) cannot occur; hence option B is incorrect. Thus, the range is \(\{0,1,2,3\}\). Exam tip: For the greatest-integer function, check carefully whether the endpoints of the input interval are included.
छत फलन (x) से छोटा नहीं सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (x>-2) है, इसलिए (-2) मान नहीं आएगा। / The ceiling function gives the smallest integer not less than (x). Since (x>-2), the value (-2) will not occur.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। अब \(t=(x+2)^2\ge 0\) रखने पर \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। \(t=0\) पर अधिकतम मान \(4\) मिलता है, जबकि \(t\to\infty\) पर फलन \(1\) के निकट पहुँचता है, परन्तु \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। अतः परास \((1,4]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(1\) परास में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में वर्ग को पूर्ण करके \((x+a)^2\) रखें और सीमा-मूल्य की जाँच करें। / For every real \(x\), \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), so the domain is all real numbers. Let \(t=(x+2)^2\ge 0\). Then \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). The maximum value is \(4\), attained when \(t=0\), while the function approaches \(1\) as \(t\to\infty\) but never equals \(1\). Therefore, the range is \((1,4]\). Option B is incorrect because \(1\) is not attained. Exam tip: Complete the square and check both the attained extreme value and the limiting value.
(t=(x-1)2\ge 0) रखने पर \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। अधिकतम (4) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put (t=(x-1)2\ge 0), then \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). The maximum is (4), and (1) is only a limiting value.
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक गैर-ऋणात्मक होने चाहिए: \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\), और \(9-x\ge 0\) से \(x\le 9\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([1,9]\) है। 1 और 9 दोनों शामिल हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक radicand को \(\ge 0\) रखें और शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expressions under both square roots must be non-negative: \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), while \(9-x\ge 0\) gives \(x
e 9\). Their intersection is \([1,9]\). Both endpoints are included because one square-root term becomes 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand to \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और मध्य (x=5) पर अधिकतम (4) है। सममित वर्गमूलों में सिरों और मध्य दोनों जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at the midpoint (x=5), the maximum is (4). For symmetric radicals, check both endpoints and the midpoint.
हर वाले वर्गमूल के लिए (x-1>0) और दूसरे वर्गमूल के लिए \(4-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(1<x\le 4\)। / The denominator square root needs (x-1>0), and the second square root needs \(4-x\ge 0\). Hence \(1<x\le 4\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{4-x}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) चाहिए। संकेत जांच से \(-2<x\le 4\) मिलता है। / The square root needs \(\frac{4-x}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign check gives \(-2<x\le 4\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+5}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। संकेत सारणी से ([-5,2)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+5}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). A sign chart gives ([-5,2)).
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne 7\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([2,\infty\)\setminus{7}) है। / The square root needs \(x\ge 2\), and the denominator needs \(x\ne 7\). Hence the domain is \([2,\infty\)\setminus{7}).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(x^2-6x+5\ge 0\)। इसे \((x-1)(x-5)\ge 0\) लिखने पर, गुणनफल बाहरी अंतरालों में धनात्मक या शून्य होता है। इसलिए प्रांत \((-�infty,1]\cup[5,\infty)\) है। ध्यान रखें कि मूलों के बीच \((1,5)\) में व्यंजक ऋणात्मक होता है। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(x^2-6x+5\ge 0\). Factoring gives \((x-1)(x-5)\ge 0\), which holds on the two outer intervals, including the endpoints. Hence the domain is \((-�infty,1]\cup[5,\infty)\). Exam tip: for an upward-opening quadratic, the expression is non-negative outside its real roots.
प्रांत में अंदर का व्यंजक (0) से शुरू होकर असीम तक जाता है। इसलिए वर्गमूल का परिसर \([0,\infty\)) है। / On the domain, the inside expression starts at (0) and goes to infinity. Hence the square root range is \([0,\infty\)).
(f(x)=x+\frac{4}{x}) है। (x>0) पर मान \([4,\infty\)) और (x<0) पर (\(-\infty,-4]\) मिलता है। / Here (f(x)=x+\frac{4}{x}). For (x>0), values are \([4,\infty\)), and for (x<0), values are (\(-\infty,-4]\).
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(2\) है, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। इसलिए मान-समुच्चय \([2,\infty)\) और \(m=2\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर, यदि \(a>0\) हो, तो न्यूनतम मान \(k\) होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\). Since \((x+1)^2\geq 0\), the function has minimum value \(2\), attained at \(x=-1\). Hence its range is \([2,\\infty)\), so \(m=2\). Exam tip: For a quadratic written as \(a(x-h)^2+k\) with \(a>0\), the minimum value is \(k\). The constant term \(3\) is not the minimum value.
वर्गमूल के लिए (\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\ge 0) और (x-4>0) चाहिए। आधार \(\frac{1}{2}<1\) होने से \(0<x-4\le 1\), इसलिए प्रांत ((4,5]) है। / The square root needs (\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\ge 0) and (x-4>0). Since the base \(\frac{1}{2}<1\), \(0<x-4\le 1\), so the domain is ((4,5]).
