Level 61 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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A. (120)
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (10) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{10}{3}=120\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (10). Hence \(\binom{10}{3}=120\).
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B. (126)
विशेष विद्यार्थी को हटाने पर (9) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके होंगे। / After excluding the special student (9) students remain. So the number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
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C. 840
ठीक 2 लड़कियाँ चुनने के बाद शेष 3 स्थान लड़कों से भरने होंगे। 6 लड़कियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके और 8 लड़कों में से 3 चुनने के \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=15\times56=840\) हैं। \(\binom{14}{5}\) लेने पर लड़कियों की संख्या ठीक 2 होने की शर्त पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: “ठीक” दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / After selecting exactly 2 girls, the remaining 3 students must be boys. The number of ways to choose 2 of the 6 girls is \(\binom{6}{2}=15\), and the number of ways to choose 3 of the 8 boys is \(\binom{8}{3}=56\). Hence, the total number of selections is \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=15\times56=840\). Using \(\binom{14}{5}\) would not enforce the condition of exactly 2 girls. Exam tip: When “exactly” is specified, choose the required number from each group separately and multiply.
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D. (460)
कुल चयन \(\binom{12}{4}=495\) हैं और केवल पुरुष \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (495-35=460) तरीके हैं। / Total selections are \(\binom{12}{4}=495\) and all-men selections are \(\binom{7}{4}=35\). Hence (495-35=460).
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B. (275)
मामले (2), (3) और (4) लाल गेंदों के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\) है। / The cases are (2), (3), and (4) red balls. The total is \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\).
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C. (119)
कुल चयन \(\binom{9}{5}=126\) हैं और पहले (2) में से कोई न हो तो \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) नहीं बल्कि सही शर्त के अनुसार (105) है। / Total selections are \(\binom{9}{5}=126\) and selections with none of the first (2) are \(\binom{7}{5}=21\). Thus the valid selections are (105).
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C. (285)
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{2}=36\) तरीके हैं। इसलिए (330-36=294) नहीं बल्कि सही गणना (294) है। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\) and ways with both special books are \(\binom{9}{2}=36\). Hence the correct count is (294).
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B. (56)
दो विशेष खिलाड़ी पहले से चुने गए हैं। बाकी (3) खिलाड़ी (8) में से \(\binom{8}{3}=56\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special players are already selected. The remaining (3) players are chosen from (8) in \(\binom{8}{3}=56\) ways.
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A. (96)
कुल \(\binom{15}{2}=105\) जोड़ियां हैं लेकिन (5) समरेखीय बिंदु \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (105-10+1=96) है। / Total pairs are \(\binom{15}{2}=105\) but (5) collinear points give (1) line instead of \(\binom{5}{2}\). Hence (105-10+1=96).
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B. (216)
कुल \(\binom{12}{3}=220\) त्रिक हैं और (4) समरेखीय बिंदुओं से \(\binom{4}{3}=4\) त्रिभुज नहीं बनते। इसलिए (220-4=216) है। / Total triples are \(\binom{12}{3}=220\) and \(\binom{4}{3}=4\) triples from collinear points do not form triangles. Hence (220-4=216).
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B. 72
9 टीमों में से किसी भी 2 टीमों की एक जोड़ी बनेगी, इसलिए जोड़ियों की संख्या \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\) है। प्रत्येक जोड़ी के बीच 2 मैच खेले जाते हैं, अतः कुल मैच \(36\times2=72\) होंगे। 36 केवल टीमों की जोड़ियों की संख्या है, कुल मैचों की नहीं। परीक्षा टिप: ऐसी लीग में कुल मैच = \(\binom{n}{2}\times\) प्रत्येक जोड़ी के मैच। / A match-up is formed by choosing any 2 teams from 9, so the number of pairs is \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\). Since each pair plays 2 matches, the total number of matches is \(36\times2=72\). Note that 36 counts only the pairs of teams, not the total matches. Exam tip: use \(\binom{n}{2}\times\) matches per pair for such league questions.
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C. (48)
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो तीसरा व्यक्ति (6) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (56-6=50) नहीं बल्कि सही उत्तर (50) है। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\) and if both special persons are together the third person is chosen in (6) ways. Hence the valid count is (50).
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D. (595)
मामले (2), (3) और (4) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\) है। / The cases are (2), (3), and (4) mathematics books. The total is \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\).
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B. (185)
कुल \(\binom{12}{3}=220\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{5}{3}=10\) और केवल हिंदी \(\binom{7}{3}=35\) हटाने पर (175) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{12}{3}=220\). Removing only English \(\binom{5}{3}=10\) and only Hindi \(\binom{7}{3}=35\) gives (175) ways.
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B. (105)
मामले (3) डॉक्टर (1) नर्स और (4) डॉक्टर हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\) है। / The cases are (3) doctors (1) nurse and (4) doctors. The total is \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\).
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In how many ways can at least (2) and at most (4) gifts be selected from (10) different gifts?
C. (385)
चयन (2), (3) या (4) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\) है। / The selection can be of (2), (3), or (4) gifts. The total is \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\).
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A. (15)
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (2) रंग (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (2) colors from (6). The ways are \(\binom{6}{2}=15\).
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B. (45)
(3) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (2) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\) हैं। / Choose (2) from (3) special students and (2) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\).
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A. (736)
कुल \(\binom{12}{5}=792\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (792-56=736) है। / Total ways are \(\binom{12}{5}=792\) and ways with no special student are \(\binom{8}{5}=56\). Hence (792-56=736).
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B. 525
समिति में ठीक 3 पुरुष होने पर शेष 2 सदस्य महिलाएँ होंगी। 7 पुरुषों में से 3 चुनने के \(\binom{7}{3}=35\) तरीके और 6 महिलाओं में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=35\times15=525\) हैं। \(\binom{13}{5}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें पुरुषों की संख्या ठीक 3 होने की शर्त लागू नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसी समिति-चयन समस्याओं में प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / With exactly 3 men, the remaining 2 committee members must be women. The number of ways to choose 3 of the 7 men is \(\binom{7}{3}=35\), and the number of ways to choose 2 of the 6 women is \(\binom{6}{2}=15\). Hence, the total number of committees is \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=35\times15=525\). Using \(\binom{13}{5}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 3 men. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the respective combinations.
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C. (305)
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। केवल पेन \(\binom{6}{4}=15\) और केवल पेंसिल \(\binom{5}{4}=5\) हटाने पर (310) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing only pens \(\binom{6}{4}=15\) and only pencils \(\binom{5}{4}=5\) gives (310) ways.
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If \(\binom{n}{2}=66\), what is the value of (n)?
C. 12
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=66\) से \(n(n-1)=132\) मिलता है। \(12\times 11=132\), इसलिए \(n=12\) है। विकल्प 11 के लिए \(\binom{11}{2}=55\) होता है, 66 नहीं। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर क्रमागत संख्याओं का गुणनफल जाँचें। / \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n-1)}{2}=66\) gives \(n(n-1)=132\). Since \(12\times 11=132\), \(n=12\). For option 11, \(\binom{11}{2}=55\), not 66. Exam tip: In such combination questions, first use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) and look for consecutive integers whose product matches the result.
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If \(\binom{n}{3}=\binom{n}{5}\), what will be the value of (n)?
C. \(8\)
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{3}=\binom{n}{5}\) है और \(3\ne5\), इसलिए \(5=n-3\)। अतः \(n=8\)। विकल्प \(7\) में \(\binom{7}{3}=35\), जबकि \(\binom{7}{5}=21\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब \(\binom{n}{r}\) और \(\binom{n}{s}\) बराबर हों तथा \(r\ne s\), तो पहले \(r+s=n\) जाँचें। / Use the symmetry property of combinations: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Here \(\binom{n}{3}=\binom{n}{5}\) and \(3\ne5\), so \(5=n-3\). Therefore, \(n=8\). For example, for \(n=7\), \(\binom{7}{3}=35\) but \(\binom{7}{5}=21\), so it is not correct. Exam tip: when \(\binom{n}{r}\) and \(\binom{n}{s}\) are equal with \(r\ne s\), first check whether \(r+s=n\).
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For fixed \(n\) and \(0\le r\le n\), which pair always represents the same number of combinations?
A. \(\binom{n}{r}\) और \(\binom{n}{n-r}\)
\(n\) वस्तुओं में से \(r\) चुनना, छोड़ी गई \(n-r\) वस्तुओं को चुनने के समतुल्य है। इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प B सामान्यतः बराबर नहीं होता। परीक्षा में इसे संयोजनों की सममिति गुणधर्म के रूप में याद रखें। / Choosing \(r\) objects from \(n\) is equivalent to identifying the \(n-r\) objects left out. Hence \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option B is not equal in general. Exam tip: remember this as the symmetry property of combinations.
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Using Pascal's identity \(\binom{8}{3}+\binom{8}{4}\) is equal to which expression?
A. \(\binom{9}{4}\)
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{9}{4}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{9}{4}\).
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What is the value of \(\binom{10}{4}-\binom{9}{4}\)?
A. 84
पास्कल के सर्वसमिका \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\) के अनुसार, \(\binom{10}{4}-\binom{9}{4}=\binom{9}{3}=84\)। अतः सही उत्तर 84 है। \(126\), \(\binom{9}{4}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे घटाव में पहले पास्कल सर्वसमिका पहचानने से लंबी गणना बचती है। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\), we get \(\binom{10}{4}-\binom{9}{4}=\binom{9}{3}=84\). Hence, the correct answer is 84. The value 126 is \(\binom{9}{4}\), not the required difference. Exam tip: Recognising Pascal’s identity avoids lengthy calculation in such questions.
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How many (3)-element subsets can be formed from \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) that contain (1)?
C. (15)
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (2) तत्व (6) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (2) elements are chosen from (6). The number of ways is \(\binom{6}{2}=15\).
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How many (4)-element subsets of \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) do not contain both (2) and (3) together?
B. (55)
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total subsets are \(\binom{8}{4}=70\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{6}{2}=15\). Hence (70-15=55).
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C. 20
1 से 12 तक सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10 और 12 हैं, अर्थात कुल 6 संख्याएँ। इनमें से 3 संख्याएँ चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। इसलिए सही उत्तर 20 है। 24 जैसी संख्या क्रमचय गिनने पर आ सकती है, लेकिन यहाँ केवल चयन करना है, क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: चयन के प्रश्नों में, जब क्रम का उल्लेख न हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / The even numbers from 1 to 12 are 2, 4, 6, 8, 10 and 12, so there are 6 eligible numbers. The number of ways to choose 3 of them is \(\binom{6}{3}=20\). Therefore, the correct answer is 20. A value such as 24 may result from counting arrangements, but here only selection is required and order does not matter. Exam tip: when a question asks for selection without considering order, use combinations \(\binom{n}{r}\).
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From numbers (1) to (15), how many ways are there to choose (2) odd and (1) even number?
A. 196
1 से 15 तक 8 विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; तथा 7 सम संख्याएँ हैं। 8 विषम संख्याओं में से 2 चुनने के तरीके \(\binom{8}{2}=28\) हैं और 7 सम संख्याओं में से 1 चुनने के तरीके \(\binom{7}{1}=7\) हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=28\times7=196\) हैं। 224 प्राप्त करना गलत गिनती का परिणाम हो सकता है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से स्वतंत्र चयन हों, तो उनके संयोजनों को गुणा करें। / From 1 to 15, there are 8 odd numbers: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, and 7 even numbers. The number of ways to choose 2 of the 8 odd numbers is \(\binom{8}{2}=28\), and the number of ways to choose 1 of the 7 even numbers is \(\binom{7}{1}=7\). Therefore, the total number of ways is \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=28\times7=196\). The value 224 can result from an incorrect count. Exam tip: multiply combinations when selections are made independently from separate groups.
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A. (252)
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (10) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) तरीके हैं। / After removing (3) special students (10) students remain. Hence there are \(\binom{10}{5}=252\) ways.
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B. (1554)
कुल \(\binom{14}{5}=2002\) हैं। (0) शिक्षक \(\binom{8}{5}=56\) और (1) शिक्षक \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\) हटाएं। उत्तर (1526) है। / Total ways are \(\binom{14}{5}=2002\). Remove (0) teacher \(\binom{8}{5}=56\) and (1) teacher \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\). The answer is (1526).
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D. (320)
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। सभी सफेद \(\binom{5}{4}=5\) और सभी काली \(\binom{6}{4}=15\) हटाने पर (310) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing all-white \(\binom{5}{4}=5\) and all-black \(\binom{6}{4}=15\) gives (310).
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A. 120
पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 3 उम्मीदवारों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\)। इसलिए सही उत्तर 120 है। \(360\) क्रमचय-आधारित गिनती से जुड़ा भ्रामक विकल्प है, लेकिन समान पुरस्कारों में क्रम नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: “समान” वस्तुएँ या पुरस्कार हों तो सामान्यतः संयोजन सोचें। / Since the prizes are identical, the order of the 3 selected candidates does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\). Hence, the correct answer is 120. The option \(360\) is a permutation-based distractor, but order is not counted when prizes are identical. Exam tip: For identical prizes or objects, usually think of combinations.
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B. (55)
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{6}{4}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special friends do not go then \(\binom{6}{4}=15\). Hence (70-15=55).
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B. (60)
विशेष फलों में से (1) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\) हैं। / Choose (1) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\).
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C. 120
लाल गेंद चुनने के 4, नीली गेंद चुनने के 5 और हरी गेंद चुनने के 6 विकल्प हैं। गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=4\times5\times6=120\) होंगे। 60 केवल दो रंगों के विकल्पों का गुणन करने पर प्राप्त हो सकता है, इसलिए वह पूर्ण चयन को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: जब अलग-अलग समूहों से एक-एक वस्तु चुननी हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / There are 4 choices for the red ball, 5 for the blue ball, and 6 for the green ball. By the multiplication principle, the total number of ways is \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=4\times5\times6=120\). The value 60 can result from multiplying choices for only two colours, so it does not represent the complete selection. Exam tip: When one item is chosen from each independent group, multiply the numbers of choices.
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B. (10)
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (2) अक्षर (5) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (2) letters from (5). The ways are \(\binom{5}{2}=10\).
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C. (16)
कुल \(\binom{6}{3}=20\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो तीसरा विषय (4) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (20-4=16) है। / Total ways are \(\binom{6}{3}=20\) and if both special subjects are included the third subject is chosen in (4) ways. Hence (20-4=16).
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B. (28)
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (2) संख्याएं (8) में से \(\binom{8}{2}=28\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (2) numbers are chosen from (8) in \(\binom{8}{2}=28\) ways.
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B. \(\binom{5}{3}\)
असफल त्रिभुज के लिए (5) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{5}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (5) collinear points. So the number is \(\binom{5}{3}\).
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A. (5)
(2) खराब कुर्सियां हटाने पर (5) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (4) चुनने के तरीके \(\binom{5}{4}=5\) हैं। / After removing (2) broken chairs (5) good chairs remain. The ways to choose (4) are \(\binom{5}{4}=5\).
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C. (70)
दोनों शामिल हों तो \(\binom{7}{2}=21\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। कुल (21+35=56) है। / If both are included there are \(\binom{7}{2}=21\) ways and if both are excluded there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The total is (56).
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B. (31)
मामले अंतिम (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the last (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\).
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D. (350)
वरिष्ठों की संख्या (0) या (1) हो सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\) है। / The number of seniors can be (0) or (1). The total is \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\).
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A. (112)
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (8) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (8). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
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In how many ways can an even number of coins be selected from (6) different coins?
B. (32)
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6) सिक्कों का होगा। कुल \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\) है। / An even selection means (0), (2), (4), or (6) coins. The total is \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\).
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In how many ways can an odd number of toys be selected from (7) different toys?
C. 64
7 अलग-अलग खिलौनों में से विषम संख्या में चयन करने के तरीके हैं: \(\binom71+\binom73+\binom75+\binom77=7+35+21+1=64\)। सामान्यतः \(n\) वस्तुओं के लिए सम संख्या और विषम संख्या के चयन बराबर होते हैं, प्रत्येक \(2^{n-1}\) के बराबर। विकल्प 127 सभी गैर-रिक्त चयनों की संख्या \(2^7-1\) है, केवल विषम चयनों की नहीं। परीक्षा टिप: सम/विषम चयन के प्रश्न में सीधे \(2^{n-1}\) का उपयोग करें। / The selections with an odd number of toys are \(\binom71+\binom73+\binom75+\binom77=7+35+21+1=64\). In general, for \(n\) distinct objects, the numbers of even-sized and odd-sized selections are equal, each being \(2^{n-1}\). Option 127 is \(2^7-1\), the number of all non-empty selections, not only odd-sized selections. Exam tip: For even/odd selection questions, use \(2^{n-1}\) directly.
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A. 35
कप्तान पहले से तय है और उसे चयन में शामिल नहीं करना है, इसलिए 8 में से केवल 7 खिलाड़ी उपलब्ध हैं। इन 7 खिलाड़ियों में से 3 का चयन करने के तरीके \(\binom{7}{3}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\) हैं। इसलिए सही उत्तर 35 है। \(\binom{8}{3}=56\) तब होता, जब कप्तान को भी चयन के लिए उपलब्ध माना जाता। परीक्षा टिप: जिन व्यक्तियों को चयन से बाहर रखा गया हो, उन्हें पहले कुल संख्या से घटाएँ। / Since the captain is already fixed and must not be included in the selection, only 7 players are available. The number of ways to choose 3 from these 7 players is \(\binom{7}{3}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\). Therefore, the correct answer is 35. \(\binom{8}{3}=56\) would apply only if the captain were also available for selection. Exam tip: First subtract anyone who is excluded from the selection.
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A. (336)
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\).
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