Level 56 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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If (n=4), what is the value of (\frac{(n+2)!}{n!})?
C. (30)
(n=4) रखने पर \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। पहले चर का मान रखकर फैक्टोरियल अनुपात सरल करें। / Putting (n=4), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Substitute the variable first and simplify the factorial ratio.
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What is the value of \(\frac{8!-7!}{6!}\)?
D. 49
\(8!=8\times7!\) लिखने पर, \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\) प्राप्त होता है। अब \(7!=7\times6!\), इसलिए \(\frac{7\times7!}{6!}=\frac{7\times7\times6!}{6!}=49\)। अतः सही उत्तर 49 है। 56 तब मिलता है जब \(7!\) को \(7\times6!\) के रूप में सही ढंग से प्रतिस्थापित नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में निकालें। / Writing \(8!=8\times7!\), we get \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7\times7!}{6!}=\frac{7\times7\times6!}{6!}=49\). Therefore, 49 is correct. The value 56 may result from failing to express \(7!\) correctly as \(7\times6!\). Exam tip: in factorial expressions, first factor out the smaller factorial common to the terms.
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If \(\frac{n!}{(n-2)!}=56\), what is the value of (n)?
B. \(8\)
फैक्टोरियल की परिभाषा से \(n!=n(n-1)(n-2)!\)। इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\)। अब \(8\times7=56\), अतः \(n=8\) है। \(n=7\) निकट विकल्प है, लेकिन तब \(7\times6=42\) मिलेगा। फैक्टोरियल में \(n\) को धनात्मक पूर्णांक माना जाता है, इसलिए ऋणात्मक हल मान्य नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाइए। / Using the factorial definition, \(n!=n(n-1)(n-2)!\). Therefore, \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\). Since \(8\times7=56\), \(n=8\). The close distractor \(7\) gives \(7\times6=42\), not 56. In factorial notation, \(n\) is taken as a positive integer, so a negative algebraic root is not valid. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
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What is the value of \(\frac{6!+5!}{4!}\)?
D. 35
\(6!=6\times5\times4!\) और \(5!=5\times4!\)। अतः \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 30 केवल \(6!\) वाले पद से मिलता है; \(5!\) वाला पद भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे समान फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\) and \(5!=5\times4!\), \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\). Hence, 35 is correct. The value 30 comes from considering only the \(6!\) term; the \(5!\) term must also be included. Exam tip: Rewrite larger factorials as multiples of a common smaller factorial before simplifying.
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What is the value of \(\frac{9!}{6!}-\frac{7!}{5!}\)?
A. (462)
\(\frac{9!}{6!}=504\) और \(\frac{7!}{5!}=42\), इसलिए अंतर (462) है। दोनों अनुपात अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{9!}{6!}=504\) and \(\frac{7!}{5!}=42\), so the difference is (462). Simplify both ratios separately.
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What is the simplified form of (\frac{(n+3)!}{(n+1)!}+\frac{(n+2)!}{n!})?
B. (2(n+2)2)
पहला पद ((n+3)(n+2)) और दूसरा ((n+2)(n+1)) है। समान ((n+2)) लेने पर (2(n+2)2) मिलता है। / The first term is ((n+3)(n+2)) and the second is ((n+2)(n+1)). Taking common ((n+2)) gives (2(n+2)2).
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If \(\frac{(n+2)!}{n!}=42\), what is the value of (n)?
C. \(5\)
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होने से \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=42\)। क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल \(42\) देने वाली जोड़ी \(6\) और \(7\) है, इसलिए \(n+1=6\) तथा \(n=5\)। \(n=4\) लेने पर गुणनफल \(5\times6=30\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) को काटने से पहले बड़े फैक्टोरियल को विस्तार से लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=42\). The consecutive positive integers whose product is \(42\) are \(6\) and \(7\), so \(n+1=6\) and \(n=5\). If \(n=4\), the product would be \(5\times6=30\), so it is not correct. Exam tip: Before cancelling a factorial in a fraction, expand the larger factorial up to the common factorial term.
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What is the value of \(\frac{12!}{10!,2!}+\frac{8!}{6!,2!}\)?
D. 94
यहाँ प्रत्येक हर में अल्पविराम का अर्थ गुणन है। अतः \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) और \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\)। इसलिए योग \(66+28=94\) है। विकल्प 90 तब मिल सकता है जब गुणनफल या जोड़ में गलती हो। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को पहले सामान्य पदों तक काटकर सरल करें। / Here, the comma in each denominator indicates multiplication. Thus, \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) and \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\). Therefore, the sum is \(66+28=94\). Option 90 can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: Cancel common factorial terms first to simplify quickly.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}\)?
A. \(n^2\)
\((n+1)!=(n+1)n!\) लिखने पर अंश \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=n\cdot n!\) हो जाता है। अब \(n!=n(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n\cdot n=n^2\)। अतः सही उत्तर \(n^2\) है। \(n(n+1)\) तब मिलता यदि \(n!\) घटाने की क्रिया को गलत ढंग से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=n\cdot n!\). Since \(n!=n(n-1)!\), \(\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n\cdot n=n^2\). Hence, the correct answer is \(n^2\). The expression \(n(n+1)\) would result from incorrectly ignoring the subtraction of \(n!\). Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial in terms of the smaller one.
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What is the value of \(\frac{7!}{4!,3!}\times3!\)?
C. 210
यहाँ हर में \(4!\) और \(3!\) का गुणन अभिप्रेत है। अतः \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। इसलिए सही विकल्प \(210\) है। \(140\) जैसा उत्तर \(3!\) को सही ढंग से निरस्त न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड ऊपर और नीचे हों, तो पहले उन्हें निरस्त करके गणना सरल बनाइए। / Here, the denominator is intended to mean the product \(4!\,3!\). Thus, \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Therefore, \(210\) is the correct option. An answer such as \(140\) may result from not cancelling \(3!\) correctly. Exam tip: Cancel common factors in the numerator and denominator before expanding factorials.
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If \(x=\frac{8!}{6!}\) and \(y=\frac{5!}{3!}\), what is the value of (x+y)?
C. 76
\(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\) और \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\)। अतः \(x+y=56+20=76\)। 72 एक निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(8!\) को सही प्रकार से \(6!\) से सरल न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर केवल शेष गुणनखंडों का गुणन करें। / \(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\), and \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\). Hence, \(x+y=56+20=76\). 72 may seem close, but it can result from simplifying \(8!\) incorrectly against \(6!\). Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term first and multiply only the remaining factors.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}\)?
A. \((n+5)(n+4)\)
फैक्टोरियल का विस्तार करें: \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)!\)। अब अंश और हर में उपस्थित \((n+3)!\) कट जाता है, इसलिए \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\)। विकल्प B में \(n+4\) के स्थान पर गलत रूप से \(n+3\) लिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Expand the larger factorial up to the smaller one: \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)!\). The common factor \((n+3)!\) cancels from the numerator and denominator, giving \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Option B incorrectly uses \(n+3\) in place of \(n+4\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only until the smaller factorial appears, then cancel common factors.
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What is the value of \(\frac{11!-10!}{9!}\)?
C. 100
क्योंकि \(11!=11\times10!\), इसलिए \(11!-10!=11\times10!-10!=10!(11-1)=10\times10!\)। अब \(10!=10\times9!\), अतः \(\frac{10\times10!}{9!}=10\times10=100\)। इसलिए सही उत्तर 100 है। \(110\) तब मिलता है जब \(11!\) में से \(10!\) घटाने को सही ढंग से सरल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common लेकर पहले गुणनखंड निकालें। / Since \(11!=11\times10!\), we get \(11!-10!=11\times10!-10!=10!(11-1)=10\times10!\). Also, \(10!=10\times9!\), so \(\frac{10\times10!}{9!}=10\times10=100\). Hence, 100 is the correct answer. The value 110 can result from not simplifying the subtraction involving \(11!\) and \(10!\) correctly. Exam tip: When factorial terms are subtracted, first factor out the smaller factorial.
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What is the value of \(\frac{9!}{7!}\div\frac{6!}{5!}\)?
B. 12
\(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\) तथा \(\frac{6!}{5!}=6\) है। अतः दिया गया मान \(72\div6=12\) होगा। \(18\) तब मिल सकता है जब भाज्य या भाजक में गुणनखंडों को गलत ढंग से रद्द किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में समान फैक्टोरियल पदों को पहले रद्द करके शेष गुणनखंड लिखें। / \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\), and \(\frac{6!}{5!}=6\). Therefore, the given value is \(72\div6=12\). A value such as \(18\) can result from cancelling factorial factors incorrectly. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first and then multiply the remaining factors.
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If \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=72\), what is the value of (n)?
C. 8
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\) होने पर \((n-1)!\) कट जाता है और दिया गया व्यंजक \(n(n+1)\) बनता है। अतः \(n(n+1)=72\)। लगातार पूर्णांकों में \(8\times9=72\), इसलिए \(n=8\) है। \(n=7\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(7\times8=56\), 72 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान पदों को काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\), the factor \((n-1)!\) cancels, so the given expression becomes \(n(n+1)\). Thus, \(n(n+1)=72\). The consecutive integers whose product is 72 are 8 and 9; hence, \(n=8\). The closest option, 7, gives \(7\times8=56\), not 72. Exam tip: expand the larger factorial up to the smaller factorial and then cancel common factors.
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What is the value of \(\frac{5!,3!}{2!,4!}\)?
C. 15
दिए गए व्यंजक में अल्पविराम को गुणन के अर्थ में लेते हुए, \(\frac{5!\times3!}{2!\times4!}=\frac{5!}{4!}\times\frac{3!}{2!}=5\times3=15\)। इसलिए सही उत्तर 15 है। विकल्प 20 तब आ सकता है जब भाज्य पदों का गलत निरस्तीकरण किया जाए। परीक्षा टिप: समान भाज्य पदों को \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) नियम से तुरंत सरल करें। / Taking the commas in the given expression to indicate multiplication, \(\frac{5!\times3!}{2!\times4!}=\frac{5!}{4!}\times\frac{3!}{2!}=5\times3=15\). Therefore, the correct answer is 15. Option 20 can result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: simplify matching factorials quickly using \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
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What is the value of \(\frac{8!}{5!}+\frac{6!}{4!}-4!\)?
D. 342
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\) और \(4!=24\)। अतः दिया गया मान \(336+30-24=342\) है। \(336\) चुनना गलत होगा, क्योंकि उसमें दूसरे पद और \(4!\) का प्रभाव नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels out. Similarly, \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), and \(4!=24\). Therefore, the value is \(336+30-24=342\). Choosing \(336\) would ignore the effect of the second term and \(4!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
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How many consecutive factors remain in \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}\)?
B. 3
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), इसलिए \((n+2)!\) कटने पर \((n+5)(n+4)(n+3)\) बचता है। अतः 3 क्रमागत गुणक बचते हैं। 4 गुणक तभी बचते जब हर में \((n+1)!\) होता। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) गुणक बचते हैं। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), cancelling \((n+2)!\) leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Hence, 3 consecutive factors remain. Four factors would remain if the denominator were \((n+1)!\). Exam tip: in \(\frac{(n+r)!}{n!}\), usually \(r\) factors remain after cancellation.
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If \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=90\), what is the value of (n)?
B. \(7\)
\((n+3)!\) में से \((n+1)!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। अतः \((n+3)(n+2)=90\)। क्रमागत संख्याएँ \(9\) और \(10\) हैं, इसलिए \(n+2=9\) तथा \(n=7\)। \(n=8\) लेने पर गुणनफल \(10\times11=110\) होगा, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान अंतिम फैक्टोरियल पदों को पहले काटें। / Cancelling \((n+1)!\) from \((n+3)!\) gives \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Thus, \((n+3)(n+2)=90\). The consecutive factors are \(9\) and \(10\), so \(n+2=9\) and \(n=7\). If \(n=8\), the product would be \(10\times11=110\), not \(90\). Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common ending factorial terms.
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What is the value of \(\frac{13!}{11!,2!}-\frac{6!}{4!,2!}\)?
C. 63
\(\frac{13!}{11!\,2!}=\frac{13\times12}{2}=78\) और \(\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\times5}{2}=15\) है। अतः आवश्यक मान \(78-15=63\) है। विकल्प 60 तब मिलता यदि गुणनखंडों को सही ढंग से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-2)!\,2!}=\frac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करके ऐसे पद जल्दी हल करें। / \(\frac{13!}{11!\,2!}=\frac{13\times12}{2}=78\), while \(\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\times5}{2}=15\). Therefore, the required value is \(78-15=63\). The option 60 can result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-2)!\,2!}=\frac{n(n-1)}{2}\) to evaluate such terms quickly.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+2)!-n!}{n!}\)?
B. \(n^2+3n+1\)
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!-n!}{n!}=(n+2)(n+1)-1\)। अतः यह \(n^2+3n+2-1=n^2+3n+1\) होगा। विकल्प \(n^2+3n\) में \(-1\) घटाने के बाद का स्थिर पद शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!-n!}{n!}=(n+2)(n+1)-1\). Thus, it becomes \(n^2+3n+2-1=n^2+3n+1\). Option \(n^2+3n\) misses the constant term remaining after subtracting 1. Exam tip: In factorial fractions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
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What is the value of \(\frac{10!}{8!}+\frac{7!}{6!}+0!\)?
C. 98
\(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=90\) तथा \(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\)। साथ ही, परिभाषा के अनुसार \(0!=1\)। अतः मान \(90+7+1=98\) है। \(97\) तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनखंड लिखें। / \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=90\) and \(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\). Also, by definition, \(0!=1\). Therefore, the value is \(90+7+1=98\). One may get \(97\) by incorrectly taking \(0!\) as 0. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the common factorial terms cancel.
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What is the simplified form of \(\frac{n!}{(n-1)!}\times\frac{(n+1)!}{n!}\)?
C. \(n(n+1)\)
फैक्टोरियल के अनुसार \(n!=n(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \(n\times(n+1)=n(n+1)\) है। \(n^2\) तब मिलता जब दोनों गुणनखंड \(n\) होते। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर काटें। / Using factorial notation, \(n!=n(n-1)!\), so \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\). Likewise, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Hence the full expression is \(n\times(n+1)=n(n+1)\). \(n^2\) would result only if both factors were \(n\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial just enough to cancel the smaller one.
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If \(\frac{n!}{(n-3)!}=210\), what is the value of (n)?
B. 7
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=210\)। \(7\times6\times5=210\), इसलिए \(n=7\) है। \(n=8\) लेने पर गुणनफल \(8\times7\times6=336\) होता है, जो 210 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भाग में हर वाले फैक्टोरियल तक पदों को काटकर लगातार गुणनफल लिखें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Thus, \(n(n-1)(n-2)=210\). As \(7\times6\times5=210\), \(n=7\). For example, if \(n=8\), the product is \(8\times7\times6=336\), not 210. Exam tip: In factorial quotients, cancel the denominator factorial and write the remaining consecutive factors.
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What is the value of \(\frac{9!+8!}{7!}\)?
B. 80
\(9!=9\times 8!\) लिखने पर अंश \(9\times 8!+8!=8!(9+1)=10\times 8!\) हो जाता है। अतः \(\frac{10\times 8!}{7!}=10\times 8=80\), क्योंकि \(8!=8\times 7!\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 72 केवल \(9!\) को \(7!\) से भाग देने पर मिलता है; इसमें \(8!\) वाला पद छूट जाता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल पद को बाहर निकालकर पहले सरल करें। / Using \(9!=9\times 8!\), the numerator becomes \(9\times 8!+8!=8!(9+1)=10\times 8!\). Therefore, \(\frac{10\times 8!}{7!}=10\times 8=80\), since \(8!=8\times 7!\). Hence, 80 is correct. The value 72 results from dividing only \(9!\) by \(7!\) and incorrectly omitting the \(8!\) term. Exam tip: factor out the common factorial before simplifying.
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What is the value of \(\frac{6!}{3!,3!}+\frac{7!}{5!,2!}\)?
C. 41
\(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\) तथा \(\frac{7!}{5!\,2!}=\frac{5040}{120\times2}=21\)। अतः कुल मान \(20+21=41\) है। \(39\) जैसा विकल्प गलत सरलीकरण या जोड़ में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल पदों को काटने के बाद शेष गुणनफल को ध्यान से लिखें। / \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\), and \(\frac{7!}{5!\,2!}=\frac{5040}{120\times2}=21\). Therefore, the total is \(20+21=41\). An option such as \(39\) may result from an error in simplification or addition. Exam tip: Cancel factorial terms first and write the remaining products carefully.
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What is the simplified form of \(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}\)?
B. \((n+4)(n+3)\)
दिए गए व्यंजक में \(n!\) वाले पद कट जाते हैं: \(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+4)!}{(n+2)!}\). अब \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) रखने पर \((n+2)!\) कट जाता है और परिणाम \((n+4)(n+3)\) मिलता है। विकल्प C में \((n+2)!\) तक के गुणनखंड सही ढंग से नहीं काटे गए हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / The \(n!\) factors cancel in the given complex fraction: \(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+4)!}{(n+2)!}\). Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\), the factor \((n+2)!\) cancels, leaving \((n+4)(n+3)\). Option C does not result from cancelling the factorials correctly. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
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Which of the following statements about factorial notation is correct?
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए, \(n!=n(n-1)!\)For every positive integer \(n\), \(n!=n(n-1)!\)
फैक्टोरियल का पुनरावर्ती गुण \(n!=n(n-1)!\) है, जहाँ \(n\) धनात्मक पूर्णांक है। \(0!=1\), इसलिए विकल्प B गलत है; फैक्टोरियल ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित नहीं है। परीक्षा में इसे पदों के गुणन के रूप में याद रखें। / The recursive factorial property is \(n!=n(n-1)!\) for a positive integer \(n\). Also, \(0!=1\), so option B is false, and factorial is not defined for negative integers. Exam tip: remember factorial as a product, not a sum.
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If \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=60\), what is the value of (n)?
B. \(4\)
\((n+1)!\) में से \((n-2)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। अतः \((n+1)n(n-1)=60\)। \(n=4\) रखने पर \(5\times4\times3=60\), इसलिए सही मान \(\boxed{4}\) है। निकट विकल्प \(n=3\) पर गुणनफल \(4\times3\times2=24\) होता है, जो 60 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / On cancelling \((n-2)!\) from \((n+1)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Hence, \((n+1)n(n-1)=60\). For \(n=4\), \(5\times4\times3=60\), so the correct value is \(\boxed{4}\). The nearby option \(n=3\) gives \(4\times3\times2=24\), not 60. Exam tip: In factorial fractions, expand the numerator factorial up to the denominator factorial and cancel common factors.
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A. \(n!=n(n-1)!\)
फैक्टोरियल में \(n!\) का अर्थ \(n\times(n-1)\times\cdots\times1\) है, इसलिए \(n!=n(n-1)!\)। विकल्प B में \(n\) से भाग दिया गया है, जो संबंध को उल्टा कर देता है। परीक्षा में फैक्टोरियल घटाने पर \(n\) गुणक अवश्य जाँचें। / Since \(n!\) means \(n\times(n-1)\times\cdots\times1\), it follows that \(n!=n(n-1)!\). Option B incorrectly divides by \(n\), reversing the relation. Exam tip: when reducing a factorial by one, check that the factor \(n\) is multiplied.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!+(n+2)!}{(n+2)!}\)?
C. \(n+4\)
क्योंकि \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), इसलिए अंश \((n+2)![(n+3)+1]\) होगा। \((n+2)!\) से भाग देने पर परिणाम \(n+4\) मिलता है। \(n+3\) चुनना गलत है, क्योंकि उसमें अंश के दूसरे पद \((n+2)!\) का योगदान नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)+1]\). Dividing by \((n+2)!\) gives \(n+4\). Choosing \(n+3\) would ignore the contribution of the second term, \((n+2)!\), in the numerator. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller one.
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What is the value of \(\frac{10!-8!}{8!}\)?
B. 89
क्योंकि \(10!=10\times9\times8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\)। अतः \(\frac{10!-8!}{8!}=\frac{10!}{8!}-\frac{8!}{8!}=90-1=89\)। \(90\) निकटतम विकल्प है, लेकिन वह \(8!\) वाले पद को घटाना भूलने पर मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(10!=10\times9\times8!\), \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\). Therefore, \(\frac{10!-8!}{8!}=\frac{10!}{8!}-\frac{8!}{8!}=90-1=89\). The close option \(90\) results from forgetting to subtract the \(8!\) term. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first.
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What is the value of \(4!\times\frac{6!}{5!}-3!\)?
C. 138
\(4!=24\) और \(3!=6\) होता है। साथ ही, \(\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\)। अतः दिया गया व्यंजक \(24\times6-6=144-6=138\) है। विकल्प D में 144 प्राप्त होता है, यदि अंत में \(3!\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को पहले छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर काटें। / \(4!=24\) and \(3!=6\). Also, \(\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\). Therefore, the expression becomes \(24\times6-6=144-6=138\). Option D, 144, results if \(3!\) is not subtracted at the end. Exam tip: For a quotient of consecutive factorials, write the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
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What is the value of \(\frac{11!}{8!,3!}-\frac{9!}{7!,2!}\)?
C. 129
\(\frac{11!}{8!\,3!}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\) तथा \(\frac{9!}{7!\,2!}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\)। अतः आवश्यक मान \(165-36=129\) है। \(126\) जैसा विकल्प केवल पहला पद गलत सरल करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को पहले समान पदों तक काटें, फिर शेष गुणन करें। / \(\frac{11!}{8!\,3!}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\), and \(\frac{9!}{7!\,2!}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\). Therefore, the required value is \(165-36=129\). A value such as \(126\) can result from simplifying the first term incorrectly. Exam tip: cancel common factorial parts first, then multiply the remaining factors.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}\)?
B. \((n+5)(n+4)(n+3)\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\) होता है। अतः \((n+2)!\) कटने पर \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+3)\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को हर में दिए गए क्रमगुणित तक फैलाइए, फिर समान क्रमगुणित को काट दीजिए। / Expanding the numerator gives \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\). Cancelling \((n+2)!\) therefore leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Option A misses the factor \((n+3)\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the factorial in the denominator, then cancel the common factor.
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If \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=132\), what is the value of (n)?
B. \(8\)
\((n+4)!\) और \((n+2)!\) में सामान्य गुणनखंड कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)=132\)। 132 के क्रमागत गुणनखंड \(11\) और \(12\) हैं, इसलिए \(n+3=11\) तथा \(n=8\)। \(n=7\) लेने पर गुणनफल \(11\times10=110\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132\). The consecutive factors of 132 are \(11\) and \(12\), so \(n+3=11\) and therefore \(n=8\). If \(n=7\), the product is \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial fraction, expand only up to the smaller factorial and cancel common terms.
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What is the value of \(\frac{7!}{5!}+\frac{5!}{2!,3!}+1!\)?
C. 53
\(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। साथ ही, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\) और \(1!=1\)। अतः कुल मान \(42+10+1=53\) है। \(52\) तब मिल सकता है जब \(1!\) को गलती से 0 मान लिया जाए, जबकि \(1!=1\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर गणना सरल करें। / \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), since \(5!\) cancels out. Also, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\), and \(1!=1\). Therefore, the total is \(42+10+1=53\). One may get \(52\) by incorrectly taking \(1!\) as 0, but \(1!=1\). Exam tip: simplify factorial fractions by cancelling common factorial terms before calculating.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}\times\frac{(n+1)!}{n!}\)?
B. \((n+2)(n+1)\)
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)(n+1)\) है। विकल्प \(n+2\) केवल पहले अनुपात को दर्शाता है और दूसरे गुणनखंड \(n+1\) को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Therefore, the complete expression is \((n+2)(n+1)\). The option \(n+2\) represents only the first ratio and misses the factor \(n+1\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
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What is the value of \(\frac{8!,3!}{6!,2!}\)?
C. 168
दिए गए व्यंजक में factorial पदों का गुणन लिया गया है: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\)। अब \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) तथा \(\frac{3!}{2!}=3\) होगा। अतः मान \(56\times3=168\) है। विकल्प 196 तब मिलता यदि factorial को सही प्रकार से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: समान factorial वाले अंश और हर में छोटे पदों तक काटकर पहले सरल करें। / The factorial terms in the given expression are multiplied: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\). Now, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) and \(\frac{3!}{2!}=3\). Hence, the value is \(56\times3=168\). A value such as 196 results from not simplifying the factorials correctly. Exam tip: Cancel common factorial parts first and then multiply the remaining factors.
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What is the value of \(\frac{9!-7!}{7!}\)?
C. 71
क्योंकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\)। अतः \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\)। विकल्प 72 केवल \(\frac{9!}{7!}\) का मान है; उसमें \(\frac{7!}{7!}=1\) घटाना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\). Therefore, \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\). Option 72 is only the value of \(\frac{9!}{7!}\); subtracting \(\frac{7!}{7!}=1\) is still required. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling common factors.
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What is the simplified form of \(\frac{n!+(n-1)!}{(n-1)!}\)?
B. \(n+1\)
क्योंकि \(n!=n(n-1)!\), इसलिए अंश \(n(n-1)!+(n-1)!=(n-1)!(n+1)\) होगा। अब \((n-1)!\) से भाग देने पर \(n+1\) प्राप्त होता है। \(n\) विकल्प तब मिलता है जब दूसरे पद \((n-1)!\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में सभी पदों में सामान्य \((n-1)!\) पहले बाहर निकालें। / Using \(n!=n(n-1)!\), the numerator becomes \(n(n-1)!+(n-1)!=(n-1)!(n+1)\). Dividing by \((n-1)!\) gives \(n+1\). Option \(n\) would result from incorrectly ignoring the second term \((n-1)!\). Exam tip: first factor out the common \((n-1)!\) in factorial expressions.
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If (n=5), what is the value of (\frac{(n+3)!}{(n+1)!}-\frac{(n+1)!}{n!})?
C. (50)
(n=5) पर पहला पद \(\frac{8!}{6!}=56\) और दूसरा \(\frac{6!}{5!}=6\) है। अंतर (50) है। / For (n=5), the first term is \(\frac{8!}{6!}=56\) and the second is \(\frac{6!}{5!}=6\). The difference is (50).
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What is the value of \(\frac{6!}{2!,4!}\times\frac{4!}{3!}\)?
D. 60
\(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\) और \(\frac{4!}{3!}=4\) है। अतः दिया गया व्यंजक \(15\times4=60\) होगा। \(4!\) को दोनों भिन्नों में देखकर बिना नियम के काटना गलत है, क्योंकि वह एक भिन्न के हर और दूसरी भिन्न के अंश में है; पूरे गुणन को लिखकर ही सरलीकरण करें। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल में समान पदों को काटने से पहले अंश और हर को स्पष्ट रूप से एक ही भिन्न में लिखें। / \(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\), and \(\frac{4!}{3!}=4\). Therefore, the given expression is \(15\times4=60\). Do not cancel \(4!\) casually just because it appears in both fractions; first combine the product into a single numerator and denominator. Exam tip: While simplifying factorials, write the full product clearly before cancelling common factors.
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What is the value of \(\frac{14!}{12!}-\frac{13!}{11!}\)?
B. (26)
\(\frac{14!}{12!}=14\times13=182\) और \(\frac{13!}{11!}=13\times12=156\)। अंतर (26) है। / \(\frac{14!}{12!}=14\times13=182\) and \(\frac{13!}{11!}=13\times12=156\). The difference is (26).
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If \(\frac{(n+2)!-(n+1)!}{n!}=36\), what is the value of (n)?
B. 5
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) लिखने पर अंश \((n+1)!\big[(n+2)-1\big]=(n+1)!(n+1)\) हो जाता है। अब \((n+1)!=(n+1)n!\) होने से दिया गया व्यंजक \((n+1)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+1)^2=36\), अतः \(n+1=6\) और \(n=5\)। \(n=-7\) स्वीकार्य नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक का फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में सभी पदों को सबसे छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर सरल करें। / Write \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\). The numerator becomes \((n+1)!\big[(n+2)-1\big]=(n+1)!(n+1)\). Since \((n+1)!=(n+1)n!\), the given expression simplifies to \((n+1)^2\). Thus, \((n+1)^2=36\), giving \(n+1=6\) and \(n=5\). The other algebraic value, \(n=-7\), is not valid because factorials of negative integers are undefined. Exam tip: Express factorial terms in terms of the smallest factorial before cancelling.
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What is the simplified form of \(\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}\)?
C. \(n+3\)
जटिल भिन्न में दोनों आंतरिक भिन्नों के हर में \(n!\) है, इसलिए \(n!\) कट जाता है: \(\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\)। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), अतः \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\)। इसलिए सही उत्तर \(n+3\) है। \(\frac{n+3}{n+2}\) प्राप्त करना \((n+2)!\) को केवल \(n+2\) मानने की गलती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर काटें। / The \(n!\) in the denominators of the two inner fractions cancels, giving \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), this becomes \(n+3\). Therefore, the correct answer is \(n+3\). The expression \(\frac{n+3}{n+2}\) results from the incorrect assumption that \((n+2)!\) equals \(n+2\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel.
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What is the value of \(\frac{10!}{6!,4!}+\frac{10!}{7!,3!}\)?
D. 330
\(\frac{10!}{6!\,4!}=\binom{10}{4}=210\) तथा \(\frac{10!}{7!\,3!}=\binom{10}{3}=120\) है। अतः योग \(210+120=330\) होगा। इसलिए सही विकल्प D है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{10!}{6!\,4!}=\binom{10}{4}=210\) and \(\frac{10!}{7!\,3!}=\binom{10}{3}=120\). Therefore, their sum is \(210+120=330\), so option D is correct. Exam tip: Recognising expressions of the form \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as combinations makes calculation quicker.
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What is the value of \(\frac{15!-12!}{12!}\)?
B. (2729)
\(\frac{15!}{12!}=15\times14\times13=2730\) और \(\frac{12!}{12!}=1\)। इसलिए मान (2730-1=2729) है। / \(\frac{15!}{12!}=15\times14\times13=2730\) and \(\frac{12!}{12!}=1\). Therefore the value is (2730-1=2729).
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If \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=504\), what is the value of (n)?
B. 5
\((n+4)!\) और \((n+1)!\) में \((n+1)!\) कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)(n+2)=504\)। लगातार तीन संख्याओं \(7,8,9\) का गुणनफल \(504\) है, इसलिए \(n+2=7\) और \(n=5\)। \(n=4\) रखने पर गुणनफल \(6\times7\times8=336\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Cancelling \((n+1)!\) after expanding \((n+4)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Hence, \((n+4)(n+3)(n+2)=504\). Since \(7\times8\times9=504\), we get \(n+2=7\), so \(n=5\). For example, \(n=4\) gives \(6\times7\times8=336\), not \(504\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}-\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\)?
A. \(2(n+3)\)
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः व्यंजक \((n+3)[(n+4)-(n+2)] = 2(n+3)\) होगा। \(2n+4\) गलत है, क्योंकि सही गुणनखंड \(2(n+3)=2n+6\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Therefore, the expression becomes \((n+3)[(n+4)-(n+2)] = 2(n+3)\). \(2n+4\) is incorrect because \(2(n+3)=2n+6\). Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
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