Topic Quiz • 120 questions • 45 seconds per question.
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A. (40)
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाएं। परीक्षा में साझा भाग को दो बार गिनने की गलती न करें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not count the common part twice.
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A. (12)
पहले (n\(A\cup B\)=95-20=75), फिर (n\(A\cap B\)=48+39-75=12)। ऐसे प्रश्नों में बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=95-20=75), then (n\(A\cap B\)=48+39-75=12). In such questions, if the outside part is given, find the union first.
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If (n(A)=35), (n(B)=30), and (n\(A\cup B\)=50), then what is (n\(A\cap B\)) in the Venn diagram?
A. (15)
(n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15)। दिए गए तीन मानों से चौथा मान सीधे निकाला जा सकता है। / (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15). The fourth value can be found directly from the three given values.
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A. (16)
पहले (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), इसलिए बाहर (80-64=16)। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र (U-\(A\cup B\)) होता है। / First (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), so outside is (80-64=16). In a Venn diagram, the outside region is (U-\(A\cup B\)).
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If (n(A)=32) and (n\(A\cap B\)=14), then how many elements are only in (A) in the Venn diagram?
A. (18)
केवल (A) का भाग (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18) है। आरेख बनाकर मध्य भाग घटाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Only (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18). Drawing the diagram and subtracting the middle part is the safest method.
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A. 24
केवल B क्षेत्र की संख्या = कुल B − A∩B = \(41-17=24\)। विकल्प C (17) केवल साझा भाग A∩B का आकार है; विकल्प D (41) पूरे सेट B का आकार है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; विकल्प B (58) गलत है क्योंकि यह कुल B से बड़ा है और अर्थहीन है। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर 'केवल A', 'केवल B' और 'A∩B' को पहले चिह्नित करके कुल में से साझा भाग घटाएं। / Elements only in B = total B − A∩B = \(41-17=24\). Option C (17) is the intersection size; option D (41) is the entire size of B including the intersection; option B (58) is incorrect because it exceeds the total of B. Exam tip: Label the regions on the Venn diagram first and subtract intersections from totals to avoid mistakes.
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A. (27)
संघ में तीन अलग-अलग क्षेत्र जुड़ते हैं, इसलिए (12+9+6=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (12+9+6=27). In Venn diagrams, add non-overlapping regions directly.
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If \(A\subseteq B\), (n(A)=18), and (n(B)=45), what is (n(B-A))?
A. (27)
जब \(A\subseteq B\), तब (A) पूरा (B) के अंदर होता है, इसलिए (45-18=27)। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर बनता है। / When \(A\subseteq B\), all of (A) lies inside (B), so (45-18=27). In a subset Venn diagram, the smaller circle is inside the larger one.
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If \(A\cap B=\varnothing\), (n(A)=26), and (n(B)=19), what is (n\(A\cup B\))?
A. (45)
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (26+19=45)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (26+19=45). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
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Which part does \(A\cap B\) show in a Venn diagram?
A. दोनों (A) और (B) में आने वाला साझा भागCommon part in both (A) and (B)
\(A\cap B\) वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में साथ-साथ होते हैं। वेन आरेख में यह ओवरलैप क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\) contains elements that are in both sets together. In a Venn diagram, it is the overlap region.
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A. (25)
(n\(A\cup B\)=52+44-21=75), इसलिए पूरक (100-75=25)। पूरक के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से घटाएं। / (n\(A\cup B\)=52+44-21=75), so the complement is (100-75=25). For complement, subtract from the universal set.
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If (n(U)=70), (n(A)=38), and (n\(A^c\)=32), which statement is correct?
A. (n(A)+n\(A^c\)=n(U))
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग (U) के बराबर होता है। वेन आरेख में वृत्त और उसके बाहर का भाग मिलकर पूरा आयत बनाते हैं। / A set and its complement together equal (U). In a Venn diagram, the circle and the outside part together form the whole rectangle.
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A. (54)
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (40+32-18=54)। ऐसे प्रश्नों में दोनों पसंद करते हैं को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (40+32-18=54). In such questions, count those who like both only once.
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A. (15)
केवल गणित (27-12=15) है। वेन आरेख में पहले बीच का भाग लिखें और फिर बचे हुए भाग निकालें। / Only Mathematics is (27-12=15). In a Venn diagram, write the middle part first and then find the remaining parts.
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If (n\(A\cup B\)=48), (n(A-B)=20), and (n(B-A)=13), what is (n\(A\cap B\))?
A. (15)
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए साझा भाग (48-20-13=15) होगा। अलग-अलग क्षेत्रों को मिलाना वेन आरेख का मुख्य नियम है। / The union has three separate parts, so the common part is (48-20-13=15). Combining separate regions is the main rule of Venn diagrams.
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For three sets, which part is \(A\cap B\cap C\) in a Venn diagram?
A. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भागCommon central part of all three circles
\(A\cap B\cap C\) में वे तत्व होते हैं जो तीनों में मौजूद हों। तीन वृत्तों में यह सबसे बीच का साझा क्षेत्र है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements present in all three sets. In three circles, it is the central common region.
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A. (62)
सूत्र (30+28+24-10-8-6+4=62) देता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ना याद रखें। / The formula gives (30+28+24-10-8-6+4=62). For three sets, remember to add back the final common part.
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In three sets, how do we get the only (A) region?
A. (n(A)-n\(A\cap B\)-n\(A\cap C\)+n\(A\cap B\cap C\))
केवल (A) निकालते समय \(A\cap B\) और \(A\cap C\) घटते हैं, लेकिन केंद्रीय भाग दो बार घट जाता है इसलिए एक बार जोड़ते हैं। यही समावेशन-बहिष्करण का प्रयोग है। / While finding only (A), subtract \(A\cap B\) and \(A\cap C\), but the central part is subtracted twice, so add it once. This is inclusion-exclusion in use.
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A. 16
केवल A के तत्व वे हैं जो A में हैं पर B या C में नहीं। A में से उन तत्वों को घटाएँ जो A∩B और A∩C में हैं, परन्तु A∩B∩C भाग को दो बार घटाया गया होगा इसलिए उसे एक बार जोड़ना आवश्यक है। इसलिए केवल A = \(42-15-18+7=16\)। आम त्रुटि: \(42-15-18=9\) तब प्राप्त होता है जब त्रि-छेत्र \(A\cap B\cap C\) को वापस नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाकर जोड़ों और त्रि-छेत्र को चिन्हित करें ताकि चिन्हों की गलती न हो। / Only-A elements are those in A but not in B or C. Subtract the counts in \(A\cap B\) and \(A\cap C\), but the triple-overlap \(A\cap B\cap C\) was subtracted twice so it must be added once. Thus Only A = \(42-15-18+7=16\). A common mistake is getting \(42-15-18=9\) by forgetting to add the triple intersection back. Exam tip: draw a three-set Venn diagram and mark pairwise and triple overlaps to avoid sign errors.
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A. (9)
केवल (A) और (B) के लिए केंद्रीय भाग घटाएं, (14-5=9)। जोड़ी वाले क्षेत्र में तीनों का साझा भाग शामिल होता है। / For only (A) and (B), subtract the central part, (14-5=9). A pairwise intersection includes the common part of all three.
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A. (14)
किसी में नहीं (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14) है। बाहर का भाग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाकर मिलता है। / None is (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14). The outside part is always found by subtracting the union from the universal set.
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If (A) and (B) are two overlapping circles in a Venn diagram, which part is (A-B)?
A. (A) का वह भाग जो (B) में नहीं हैPart of (A) that is not in (B)
(A-B) का अर्थ (A) में मौजूद लेकिन (B) में अनुपस्थित तत्व हैं। वेन आरेख में यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-B) means elements present in (A) but absent in (B). In a Venn diagram, it is the only (A) region.
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What region does \(A\triangle B\) represent in a Venn diagram?
A. (A-B) और (B-A) का संयुक्त क्षेत्रCombined region of (A-B) and (B-A)
\(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. So the common part is not included.
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If (n(A-B)=23) and (n(B-A)=31), what is (n\(A\triangle B\))?
A. (54)
सममित अंतर \(A\triangle B\) दो अलग क्षेत्रों (A-B) और (B-A) का योग है। इसलिए (23+31=54)। / The symmetric difference \(A\triangle B\) is the sum of the two separate regions (A-B) and (B-A). Hence (23+31=54).
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A. (46)
ठीक एक समुच्चय (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46) है। संघ में साझा भाग भी शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46). The union includes the common part, so remove it.
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When \(A\subseteq B\), what is \(A\cap B\) equal to?
A. (A)
जब (A) पूरी तरह (B) में है, तो साझा भाग (A) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानकर सूत्र के बिना उत्तर मिल सकता है। / When (A) is fully inside (B), the common part is (A) itself. Recognizing subset relation can give the answer without formula.
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(A) and (B) are disjoint. Which statement is correct?
A. \(A\cap B=\varnothing\)
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles are separate.
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If (n(A)=20), (n(B)=25), and \(A\cap B=\varnothing\), how many elements are in exactly one set?
A. (45)
असंबद्ध समुच्चयों में हर तत्व ठीक एक ही समुच्चय में होता है, इसलिए (20+25=45)। यहां साझा भाग शून्य है। / In disjoint sets, every element is in exactly one of the sets, so (20+25=45). Here the common part is zero.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\). What is (A-B)?
A. ({1,2,3})
(A-B) में (A) के वे तत्व होते हैं जो (B) में नहीं हैं। (4) और (5) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). (4) and (5) are common, so they are removed.
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What region does (\(A\cap B\)^c) represent in a Venn diagram?
A. \(A\cap B\) को छोड़कर (U) का बाकी भागAll of (U) except \(A\cap B\)
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ साझा भाग का पूरक है। इसलिए (U) में साझा भाग को छोड़कर सब शामिल होगा। / (\(A\cap B\)^c) means the complement of the common part. So it includes everything in (U) except the common part.
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According to De Morgan's law, what is (\(A\cup B\)^c) equal to?
A. \(A^c\cap B^c\)
संघ के पूरक में दोनों से बाहर का भाग आता है, इसलिए (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c)। वेन आरेख से यह नियम आसानी से दिखता है। / The complement of a union is the region outside both sets, so (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c). This rule is easy to see from a Venn diagram.
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According to De Morgan's law, what is (\(A\cap B\)^c) equal to?
A. \(A^c\cup B^c\)
साझा भाग के बाहर का क्षेत्र \(A^c\cup B^c\) होता है। पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / The region outside the common part is \(A^c\cup B^c\). While taking complements, union and intersection interchange.
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If (n(U)=75) and (n\(A\cap B\)=18), what is (n(\(A\cap B\)^c))?
A. (57)
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (75-18=57)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (75-18=57). Here the complement of only the common part is asked.
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A. 38
केवल एक विषय = (36−20)+(42−20) = 16+22 = 38। यह सिद्धांत वेंन आरेख और समावेशन–अपवाद (inclusion–exclusion) से आता है। विकल्प 58 गलत है क्योंकि यह n(A∪B)=36+42−20=58 है — यानी कम से कम एक विषय चुनने वाले छात्र; विकल्प 20 वे छात्र हैं जिन्होंने दोनों विषय चुने; 78 बस दोनों समूहों का कुल योग है जिसमें ओवरलैप को दो बार गिन लिया गया। परीक्षा टिप: वेंन आरेख बनाकर बीच में 20 रखें, किनारों से घटा कर केवल एक वाले हिस्से निकाले। / Exactly one = (36−20)+(42−20) = 16+22 = 38. This follows from a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea: n(exactly one)=n(A)+n(B)−2n(A∩B). Option 58 is incorrect because it equals n(A∪B)=36+42−20=58 (students who chose at least one subject). Option 20 counts those who chose both; 78 is simply 36+42, double-counting the overlap. Exam tip: draw a Venn diagram, place 20 in the intersection and subtract it from each circle to get the only-one counts.
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A. (16)
कम से कम एक (31+29-11=49) है, इसलिए कोई नहीं (65-49=16)। सर्वे प्रश्नों में पहले संघ निकालना उपयोगी है। / At least one is (31+29-11=49), so neither is (65-49=16). In survey questions, finding the union first is useful.
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(n\(A\cup B\)=72), (n(A)=46), and (n(B-A)=26). What is (n\(A\cap B\))?
A. (0)
\(A\cup B\) में पूरा (A) और (B-A) शामिल है, इसलिए (46+26=72)। अतः साझा भाग पहले से (A) में है और अतिरिक्त मान (0) निकलता है। / \(A\cup B\) contains all of (A) and (B-A), so (46+26=72). Thus the common part is already inside (A), and the extra value is (0).
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A. (60)
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+12+22+8=60)। वेन आरेख में कोई क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+12+22+8=60). In a Venn diagram, no region should be missed.
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If (n(U)=55), (n(A-B)=14), (n\(A\cap B\)=9), and (n(B-A)=17), what is the outside region?
A. (15)
संघ (14+9+17=40) है, इसलिए बाहर (55-40=15)। बाहर का क्षेत्र संघ का पूरक होता है। / The union is (14+9+17=40), so outside is (55-40=15). The outside region is the complement of the union.
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A. 23
ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्त्वों के लिये प्रत्येक जोड़ी के केवल-जोड़ी वाले हिस्से (pair-only region) निकालें। उदाहरणतः A और B में केवल वही तत्त्व होंगे जो A∩B में हैं पर तीनों में नहीं हैं, यानी \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\)। इसी तरह B और C के लिये \(13-4=9\) और C तथा A के लिये \(10-4=6\)। इन्हें जोड़ने पर कुल \(8+9+6=23\) मिलता है, इसलिए उत्तर 23 है। निकटतम भ्रांत उत्तर 31 इसलिए गलत है क्योंकि वह समहित जोड़ीगण के योग \(35\) में से केवल एक बार त्रि-आवरण भाग \(4\) घटा देता है (\(35-4=31\)) जबकि त्रि-आवरण को हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: पहले तीनों में आने वाले (केन्द्र) को लिखें और फिर प्रत्येक जोड़ी के लिए (जोड़ी का इंटरसेक्शन) − (त्रि-आवरण) निकालें ताकि डबल-काउंटिंग न हो। / Count the elements that lie in exactly two sets by computing each pair-only region: for A∩B only compute \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\); for B∩C only \(13-4=9\); for C∩A only \(10-4=6\). Summing gives \(8+9+6=23\). The common wrong answer 31 arises from subtracting the triple-overlap only once from the total pairwise sum \(12+13+10=35\), i.e. \(35-4=31\), which is incorrect because the triple-overlap is included in each pair and must be removed from each pair separately. Exam tip: mark the central (three-way) region first, then compute each pair-only region as (pair intersection) − (central) to avoid double-counting.
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A. (10)
संघ (25+22+19-7-6-5+2=50) है, इसलिए कोई नहीं (60-50=10)। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ें। / The union is (25+22+19-7-6-5+2=50), so none is (60-50=10). In three sets, add back the final common part.
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A. (51)
संघ सभी सात अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (11+13+9+5+4+6+3=51)। अलग-अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (11+13+9+5+4+6+3=51). Add each separate region only once.
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In a Venn diagram, the shaded region is \(A\cap B^c\). What is it equal to?
A. (A-B)
\(A\cap B^c\) का अर्थ (A) में और (B) के बाहर है, इसलिए यह (A-B) है। पूरक चिन्ह देखकर बाहर वाले भाग को पहचानें। / \(A\cap B^c\) means inside (A) and outside (B), so it is (A-B). Notice the complement sign to identify the outside part.
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In a Venn diagram (n(U)=90), (n(A)=46), (n(B)=38), and (n\(A\cap B\)=16). What is (n\(A\cup B\))?
B. (68)
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (46+38-16=68) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (46+38-16=68). Avoid counting the common part twice.
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A. (21)
पहले (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), इसलिए बाहर (85-64=21) होगा। बाहर का भाग हमेशा (U) से संघ घटाकर मिलता है। / First (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), so outside is (85-64=21). The outside region is always found by subtracting the union from (U).
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If (n(A)=52), (n(B)=47), and (n\(A\cup B\)=79), what is (n\(A\cap B\))?
B. (20)
(n\(A\cap B\)=52+47-79=20) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद के लिए दोनों समुच्चयों का योग घटाएं। / (n\(A\cap B\)=52+47-79=20). When the union is given, subtract it from the sum of both sets.
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If (n\(A\cup B\)=74), (n(A-B)=28), and (n(B-A)=19), what is (n\(A\cap B\))?
C. (27)
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=74-28-19=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=74-28-19=27). In a Venn diagram, subtracting separate regions is easy.
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In a survey (n(U)=120), (n(A)=61), (n(B)=54), and (n\(A\cap B\)=25). How many are in neither set?
C. (30)
पहले (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), इसलिए बाहर (120-90=30) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), so outside is (120-90=30). The outside region is the complement of the union.
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B. 14
केवल A में आने वाले तत्वों के लिए Inclusion–Exclusion का उपयोग करें। A का कुल भागों में से A∩B और A∩C के हिस्से निकालें, परन्तु A∩B∩C को दोनों बार निकाल दिया गया होता है इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ना होगा। गणना: \(\text{केवल A} = n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=38-16-13+5=14\)। सामान्य गलतियाँ: उत्तर 9 तब मिलेगा जब A∩B∩C को फिर जोड़ना भूल जाएँ (38-16-13=9)। परीक्षा सुझाव: एक Venn आरेख पर क्षेत्र संख्या लिखें — इससे दोहराव और त्रय-ओवरलैप स्पष्ट दिखते हैं। / Use inclusion–exclusion for the regions inside A. Subtract the elements shared with B and with C, but the triple-overlap has been subtracted twice so add it back once. Calculation: \(\text{only A}=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=38-16-13+5=14\). Common mistake: 9 arises if you forget to add the triple intersection back (38-16-13=9). Exam tip: draw a three-set Venn diagram and label the seven regions — writing equations for each region avoids sign errors.
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If \(n(A)=44\) and \(n(A\cap B)=19\), how many elements are only in set A in a Venn diagram?
B. 25
"केवल A" वे तत्व हैं जो A में हैं पर A और B के साझा भाग \(A\cap B\) में नहीं। इसलिए केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=44-19=25\)। विकल्प (A) 19 गलत है क्योंकि वह केवल साझा (intersection) की संख्या है, न कि केवल A की; विकल्प (C) 44 गलत है क्योंकि इसमें साझा भाग भी शामिल है; विकल्प (D) 63 गलत है — यह दोनों को जोड़ देने का गलत परिणाम है। परीक्षा टिप: किसी भी सेट का "केवल" भाग निकालने के लिए कुल से उसके इंटरसेक्शन को घटाएं। / "Only A" means elements in A but not in the intersection with B. So only A = \(n(A)-n(A\cap B)=44-19=25\). Option 19 is the intersection (common part) and therefore not the "only A" part; option 44 is the entire A including the overlap; option 63 is an incorrect sum. Exam tip: to find "only" elements subtract the overlap (intersection) from the set's total.
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C. (60)
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+14+21+7=60)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+14+21+7=60). Do not miss any region.
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A. (25)
अंदर का संघ (24+13+26=63) है, इसलिए बाहर (88-63=25) है। बाहरी क्षेत्र हमेशा (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (24+13+26=63), so outside is (88-63=25). The outside region is always found by subtracting the inside part from (U).
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If \(A\subseteq B\), (n(A)=28), and (n(B)=73), what is (n(B-A))?
B. (45)
क्योंकि (A) पूरा (B) के अंदर है, इसलिए (n(B-A)=73-28=45)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर बनता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=73-28=45). In subset cases, the smaller circle lies inside the larger circle.
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If \(A\cap B=\varnothing\), (n(A)=33), and (n(B)=41), what is (n\(A\cup B\))?
A. (74)
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (33+41=74)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य है। / Disjoint sets have common part (0), so (33+41=74). When \(A\cap B=\varnothing\), the subtracted part is zero.
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C. 55
"ठीक एक" समुच्चय के तत्व वे होते हैं जो केवल A में हों या केवल B में हों, लेकिन दोनों में साथ में नहीं। संघ \(n(A\cup B)\) में "ठीक एक" और "दोनों में" दोनों शामिल होते हैं। इसलिए "ठीक एक" = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=86-31=55\)। विकल्प A (117) उस मात्रा का संकेत देता है जो \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\) के बराबर होती है—यहाँ प्रश्न इसका नहीं पूछ रहा। परीक्षा टिप: दो ओवरलैपिंग सर्किल बनाकर तीन हिस्सों (A सिर्फ, B सिर्फ, दोनों) पर संख्या लिखें; फिर संघ में से अन्तर्मिलन घटा दें। / Elements in exactly one set are those in A only or B only (not in both). The union \(n(A\cup B)\) counts both the "exactly one" regions and the "both" region. Thus exactly one = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=86-31=55\). Option A (117) corresponds to \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\), which is not asked here. Exam tip: draw two overlapping circles, label the three regions (A only, B only, both) and use union minus intersection to get the "exactly one" count quickly.
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If (n(A-B)=29) and (n(B-A)=17), what is (n\(A\triangle B\))?
B. (46)
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (29+17=46)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (29+17=46). The common part is not included.
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If (n(U)=105) and (n\(A\cap B\)=37), what is (n(\(A\cap B\)^c))?
A. (68)
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (105-37=68)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (105-37=68). Here the complement of only the common part is asked.
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B. ({1,2,3,5,7,8,9,11})
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
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\(A=\{2,4,6,8,10,12\}\) and \(B=\{6,8,12,14\}\). What is (A-B)?
A. ({2,4,10})
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (6,8,12) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (6,8,12) are common, so they are removed.
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A. (69)
तीन समुच्चयों का संघ (35+32+29-12-10-9+4=69) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (35+32+29-12-10-9+4=69). Adding back the final common part is necessary.
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A. 30
कोर विचार: किसी भी जोड़ी (उदा. A∩B) के उन तत्वों को जो ठीक उसी दो समुच्चयों में हैं प्राप्त करने के लिए उसी जोड़ी के आंतर से तीनों का साझा भाग घटाएँ: \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)\)। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले कुल तत्व होंगे \((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\). क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B (42) तब आ जाता है जब त्रिकोणीय साझा भाग \(6\) को केवल एक बार घटा दिया जाए (\(18+16+14-6=42\)) — यह गलत है क्योंकि वे 6 तत्व प्रत्येक जोड़ी के आंतर में गिने गए थे और हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। विकल्प C (48) तब होगा जब कोई घटाव न किया जाए (तीनों में आने वाले तत्वों को शामिल कर लिया गया है), और विकल्प D (36) किसी गलत आंशिक घटाव का परिणाम है। परीक्षात्मक सुझाव: "ठीक दो" के लिए हर जोड़ी का आंतर लें और उससे \(n(A\cap B\cap C)\) घटाएँ, फिर जोड़ों का योग करें। / Core idea: For each pair, elements that belong to exactly that pair = n(pair) - n(triple). So compute \((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\), which is the required count. Why other choices fail: option B (42) comes from subtracting the triple intersection only once (\(18+16+14-6\)) — incorrect because the 6 elements were counted in each pair and must be removed from each pair. Option C (48) ignores the triple overlap entirely; option D (36) is another incorrect partial subtraction. Exam tip: For "exactly two" always subtract the triple intersection from each pairwise intersection, then add the results.
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B. 18
केवल A के तत्त्वों की संख्या निकालने के लिए शामिल‑अपवाद का सिध्दान्त लागू करें। केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ हिसाब यह है: \(50-21-19+8=18\)। कारण: जो तत्त्व A∩B और A∩C दोनों में आते हैं, उन्हें दोनों उपसर्गों से दो बार घटा दिया गया होता है, इसलिए त्रि‑इंटरसेक्शन को एक बार जोड़ना आवश्यक है। सामान्य भूल: त्रि‑इंटरसेक्शन \(+8\) जोड़ना भूल जाने पर परिणाम \(50-21-19=10\) (विकल्प A) आ जाएगा — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न पढ़ते समय Venn आरेख बनाकर हर क्षेत्र को चिह्नित करें और शामिल‑अपवाद का छोटा सूत्र याद रखें। / Use the inclusion–exclusion idea restricted to elements of A. The number only in A equals \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(50-21-19+8=18\). Explanation: elements in both A∩B and A∩C were subtracted twice, so the triple intersection must be added back once. Common mistake: forgetting the +8 yields 10 (option A). Exam tip: draw a three‑circle Venn diagram and label the three intersection regions to avoid sign errors and double counting.
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If (n\(A\cap B\)=24) and (n\(A\cap B\cap C\)=9), how many are only in (A) and (B) but not in (C)?
C. (15)
केवल (A) और (B) के लिए (24-9=15) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (24-9=15). A pairwise intersection includes the common part of all three.
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Which part does \(A\triangle B\) show in a Venn diagram?
C. (A-B) और (B-A) का संयुक्त भागCombined part of (A-B) and (B-A)
\(A\triangle B\) में वे तत्व आते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. Therefore the common part is not included.
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If (n\(A\triangle B\)=64) and (n(A-B)=27), what is (n(B-A))?
A. (37)
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (64-27=37)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (64-27=37). The common part is not included.
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B. 16
दो समुच्चयों में "ठीक एक" तत्वों की संख्या इस प्रकार व्यक्त की जाती है: \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). यहाँ \(n(A)+n(B)=39+44=83\)। इसलिए \(83-2\,n(A\cap B)=51\)। इससे \(2\,n(A\cap B)=32\) और अतः \(n(A\cap B)=16\)। विकल्प A (12) गलत है क्योंकि यदि \(n(A\cap B)=12\) होता तो ठीक एक = \(83-2\times12=59\) होता, जो दिया गया 51 से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सूत्र: एक सरल वेन-आरेख बनाकर मध्य भाग (इंटरसेक्शन) को \(x\) मानें और बाहर के दो हिस्सों को क्रमशः \(39-x\) और \(44-x\) लिखकर कुल "ठीक एक" जोड़ लें—यह जल्दी और त्रुटि-रहित तरीका है। / For two sets the number of elements in exactly one set is given by \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). Here \(n(A)+n(B)=39+44=83\). So \(83-2\,n(A\cap B)=51\), giving \(2\,n(A\cap B)=32\) and \(n(A\cap B)=16\). Option A (12) is wrong because substituting 12 gives \(83-2\times12=59\), not 51. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the intersection as \(x\) and express the two outer regions as \(39-x\) and \(44-x\); summing the outer regions equals the "exactly one" count and avoids algebraic sign mistakes.
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B. (20)
कम से कम एक (34+31-13=52) है, इसलिए कोई नहीं (72-52=20)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (34+31-13=52), so neither is (72-52=20). Finding the union first is the easy method.
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In a group, 45 people like tea, 36 like coffee, and 15 like both. How many like only tea?
B. 30
केवल चाय वाले उन लोगों की संख्या है जो चाय पसंद करते हैं पर कॉफी नहीं। कुल चाय में से दोनों पसंद करने वालों को घटाएँ: \(45-15=30\)। इसलिए केवल चाय पसंद करने वाले 30 हैं। विकल्प (66) गलती से 'चाय या कॉफी' (यूनियन) निकालने पर मिलता है: \(45+36-15=66\), जो प्रश्न का उत्तर नहीं है। परीक्षा युक्ति: हल में एक सरल वैन-आंकड़ा बनाइए — प्रत्येक वृत्त का सिर्फ़ वह भाग लें जो दूसरे वृत्त से ओवरलैप नहीं होता। / Only-tea means tea-likers who do not like coffee. Subtract the overlap from total tea: \(45-15=30\). Thus 30 people like only tea. Option 66 is a common mistake — it equals the union (tea or coffee) computed as \(45+36-15=66\), not 'only tea'. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram and subtract the intersection from the tea circle to find 'only tea'.
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If (n\(A\cup B\)=97), (n(A)=63), and (n(B-A)=34), which conclusion about (n\(A\cap B\)) is correct?
A. (n\(A\cap B\)=0)
क्योंकि (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), अतिरिक्त जानकारी से प्रतिच्छेद (0) नहीं निकलता बल्कि निर्धारित नहीं होता। दिए गए विकल्पों में यह प्रश्न जाल है और सही निष्कर्ष यह है कि (n\(A\cap B\)) निर्धारित नहीं किया जा सकता। / Since (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), the intersection is not found from this data. This is a trap question, and the correct conclusion should be that (n\(A\cap B\)) cannot be determined.
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If \(A\subseteq B\), what is \(A\cup B\) equal to in a Venn diagram?
B. (B)
जब (A) पूरा (B) में होता है, तब संघ (B) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है। / When (A) is completely inside (B), the union is (B). Recognizing a subset helps answer quickly.
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If (n(A)=36), (n(B)=42), and \(A\cap B=\varnothing\), how many elements are in exactly one set?
D. (78)
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (36+42=78)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (36+42=78). The common part is zero.
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If (n\(A\cup B\)=70), (n(A-B)=26), and (n(B-A)=19), what is (n\(A\cap B\))?
A. (25)
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (70-26-19=25)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को जोड़ना या घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (70-26-19=25). In Venn diagrams, adding or subtracting separate regions is easy.
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In three sets (n\(A\cap B\cap C\)=11). Which part of the Venn diagram does this show?
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भागCommon central part of all three circles
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
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C. (70)
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (14+18+16+7+6+5+4=70)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (14+18+16+7+6+5+4=70). Add each region only once.
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C. (39)
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (20+8+6+5=39)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (20+8+6+5=39). The total of a set is the sum of all its inside regions.
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C. (43)
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (17+9+11+6=43) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (17+9+11+6=43). Total (B) includes all regions inside (B).
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A. (31)
संघ (60+55+50-24-21-19+8=109) है, इसलिए बाहर (140-109=31)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (60+55+50-24-21-19+8=109), so outside is (140-109=31). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
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A. (3)
सूत्र में (82=40+36+34-12-10-9+x) होगा, इसलिए (x=3)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (82=40+36+34-12-10-9+x), so (x=3). Find the unknown central part by forming an equation.
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If (n\(A^c\)=48) and (n(U)=95), what is (n(A))?
A. (47)
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=95-48=47)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=95-48=47). In complement questions, always check the universal set.
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In a Venn diagram, what is ((A-B)\cup\(A\cap B\)) equal to?
A. (A)
(A-B) और \(A\cap B\) मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। यह क्षेत्रीय विभाजन का अच्छा उदाहरण है। / (A-B) and \(A\cap B\) together form the whole of (A). This is a good example of region partitioning.
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In a Venn diagram, what is (\(A\cup B\)-A) equal to?
B. (B-A)
संघ से (A) हटाने पर केवल (B) का वह भाग बचता है जो (A) में नहीं है। इसलिए उत्तर (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves the part of (B) that is not in (A). Hence the answer is (B-A).
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If (n\(A\cup B\)=58), (n(A-B)=22), and (n(B-A)=20), which statement is correct?
A. (n\(A\cap B\)=16)
साझा भाग (58-22-20=16) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (58-22-20=16). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
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In a Venn diagram (n(U)=110), (n(A)=57), (n(B)=49), and (n\(A\cap B\)=21). What is (n\(A\cup B\))?
B. (85)
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (57+49-21=85) मिलता है। साझा भाग को दो बार न गिनें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (57+49-21=85). Do not count the common part twice.
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In a survey (n(U)=150), (n(A)=70), (n(B)=62), and (n(\(A\cup B\)^c)=32). What is (n\(A\cap B\))?
B. (14)
पहले (n\(A\cup B\)=150-32=118), फिर (n\(A\cap B\)=70+62-118=14)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=150-32=118), then (n\(A\cap B\)=70+62-118=14). If the outside part is given, find the union first.
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If (n(A)=68), (n(B)=53), and (n\(A\cup B\)=91), what is (n\(A\cap B\))?
C. (30)
(n\(A\cap B\)=68+53-91=30) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद निकालने के लिए योग में से संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=68+53-91=30). When the union is given, subtract it from the sum to get the intersection.
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C. (71)
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (24+31+16=71)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts, so (24+31+16=71). In a Venn diagram, add each separate region only once.
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In a survey (n(U)=140), (n(A)=72), (n(B)=64), and (n\(A\cap B\)=28). How many are in neither set?
A. (32)
पहले (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), इसलिए बाहर (140-108=32) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), so outside is (140-108=32). The outside region is the complement of the union.
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If (n\(A\cup B\)=96), (n(A)=58), and (n(A-B)=29), what is (n(B-A))?
A. (38)
पहले (n\(A\cap B\)=58-29=29), फिर (n(B-A)=96-29-29=38)। कुल (A) से केवल (A) घटाकर साझा भाग निकालें। / First (n\(A\cap B\)=58-29=29), then (n(B-A)=96-29-29=38). Subtract only (A) from total (A) to get the common part.
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If \(n(A)=59\) and \(n(A\cap B)=24\), how many elements are only in \(A\) in the Venn diagram?
B. 35
वेन-आरेख में "केवल A" का अर्थ है A के वे तत्व जो B में नहीं आते। इसका सूत्र \(\text{केवल }A = n(A)-n(A\cap B)\) है। यहाँ \(59-24=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। निकटवर्ती विकर्षक: 24 केवल A\cap B (साझा भाग) है, इसे "केवल A" नहीं माना जा सकता; 59 A का कुल है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; 83 कोई सुसंगत गणना नहीं है। परिक्षा टिप: प्रश्न देखते ही छोटे वेन-आरेख बना लें और प्रत्येक क्षेत्र में दिए गए मान लिख दें — इससे घटाना/जोड़ना स्पष्ट हो जाता है। / "Only A" means elements in A but not in B, so compute \(\text{only }A = n(A)-n(A\cap B)\). Here \(59-24=35\), so 35 is correct. Closest distractor 24 is the intersection \(A\cap B\) (common elements), not the elements only in A; 59 is the total in A including the intersection; 83 is not a valid result from the given data. Exam tip: sketch a two-set Venn diagram and label each region — this helps avoid confusing total, intersection, and "only" counts.
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B. (61)
\(B\cup C\) में (B) या (C) के अंदर आने वाले भाग जुड़ेंगे, (23+17+8+10+6+5=69)। ध्यान दें कि केवल (A) इसमें नहीं आएगा। / \(B\cup C\) includes parts inside (B) or (C), (23+17+8+10+6+5=69). Notice that only (A) is not included.
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B. (5)
सूत्र में (91=46+40+37-14-12-11+x) होगा, इसलिए (x=5)। तीन समुच्चयों में केंद्रीय भाग अंत में जोड़ा जाता है। / In the formula (91=46+40+37-14-12-11+x), so (x=5). In three sets, the central part is added at the end.
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B. (89)
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (26+18+33+12=89)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (26+18+33+12=89). Do not miss any region.
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In a Venn diagram, which set represents all elements that belong to \(A\) but not to \(B\)?
C. \(A\setminus B\)
\(A\setminus B\) को \(A\) से \(B\) का अंतर कहते हैं। वेन आरेख में यह \(A\) का वह भाग है जो \(B\) के साथ उभयनिष्ठ नहीं है। \(A\cap B\) दोनों समुच्चयों के साझा अवयव दर्शाता है, जबकि \(B\setminus A\) में केवल \(B\) के अवयव आते हैं। परीक्षा टिप: “में है, पर ... में नहीं” वाले कथन के लिए पहले समुच्चय से दूसरे समुच्चय को हटाइए। / \(A\setminus B\) is called the difference of \(A\) and \(B\). In a Venn diagram, it is the part of \(A\) that does not overlap with \(B\). \(A\cap B\) represents common elements of both sets, while \(B\setminus A\) contains elements of \(B\) only. Exam tip: For “in the first set but not in the second,” subtract the second set from the first.
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A. (28)
अंदर का संघ (29+17+22=68) है, इसलिए बाहर (96-68=28) है। बाहरी क्षेत्र (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (29+17+22=68), so outside is (96-68=28). The outside region is found by subtracting the inside part from (U).
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If \(A\subseteq B\subseteq C\), (n(C)=95), (n(B)=61), and (n(A)=28), what is (n(C-B))?
A. (34)
(B) पूरा (C) के अंदर है, इसलिए (n(C-B)=95-61=34)। nested वेन आरेख में बड़े से अंदर वाले भाग को घटाएं। / (B) lies completely inside (C), so (n(C-B)=95-61=34). In a nested Venn diagram, subtract the inner part from the larger set.
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If \(A\subseteq B\), (n(A)=34), and (n(B)=82), what is (n(B-A))?
A. (48)
क्योंकि (A) पूरा (B) में है, इसलिए (n(B-A)=82-34=48)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=82-34=48). In a subset case, the smaller circle lies inside the larger one.
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A. 86
केवल एक खेल पसंद करने वाले = केवल क्रिकेट वाले + केवल फुटबॉल वाले। केवल क्रिकेट वाले = 80 − 29 = 51, केवल फुटबॉल वाले = 64 − 29 = 35। अतः कुल = 51 + 35 = 86। यही सूत्र समेकित रूप में लिखा जा सकता है: \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। विकल्प 115 गलत है — यह सम्मिलन (union) की संख्या है: \(80+64-29=115\)। विकल्प 144 गलत है — यह दोनों को जोड़कर किसी भी काट-छाँट के बिना मिला देना है (80+64)। विकल्प 91 निकटतम विचलन है; यह अक्सर अंकगणित की गलती (उदा. 64−29 को 40 लिख देना) से आता है। परीक्षा सुझाव: एक Venn आरेख बनाकर "केवल" वाले क्षेत्र अलग से लिखें और घटाना दो बार जाँचें। / Exactly one = (cricket only) + (football only). Cricket only = 80 − 29 = 51, Football only = 64 − 29 = 35. Therefore total = 51 + 35 = 86. In formula form: \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\). Option 115 is incorrect — it gives the union size: \(80+64-29=115\). Option 144 is incorrect — it is the raw sum without accounting for overlap (80+64). Option 91 is a common arithmetic slip (for example miscomputing 64−29 as 40). Exam tip: draw a two-set Venn diagram, label the intersection first, then compute the "only" regions by subtraction and add them.
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If \(A\cap B=\varnothing\), (n(A)=45), and (n(B)=37), what is (n\(A\cup B\))?
D. (82)
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (45+37=82)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (45+37=82). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
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If (n(U)=100), (n(A)=52), and (n(B)=47), what is the minimum possible value of (n\(A\cap B\))?
A. (0)
क्योंकि (52+47=99), जो (100) से अधिक नहीं है, इसलिए प्रतिच्छेद (0) भी हो सकता है। न्यूनतम के लिए देखें कि दोनों कुल (U) से अधिक हो रहे हैं या नहीं। / Since (52+47=99), which is not greater than (100), the intersection can be (0). For the minimum, check whether the two totals exceed (U).
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A. 56
ठीक एक समुच्चय में आने वाले तत्वों की संख्या निकालने के लिए हम जानते हैं कि \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। ठीक एक समुच्चय = \((n(A)-n(A\cap B))+(n(B)-n(A\cap B))=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। इसे संघ के संबंध में लिखें तो ठीक एक = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\)। यहाँ इसलिए \(98-42=56\)। नज़दीकी भ्रम: 98 संघ की कुल संख्या है (जिसमें साझा तत्व भी शामिल हैं), 42 केवल साझा (दोनों में आने वाले) तत्वों की संख्या है, और 140 इन दोनों को जोड़ने से बनता है जो सही अर्थ नहीं देता। परीक्षा टिप: द्वि-समुच्चय वाले प्रश्नों में "ठीक एक" के लिए फॉर्मूला याद रखें — \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\) या \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। / Use the relation \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Elements in exactly one set are \((n(A)-n(A\cap B))+(n(B)-n(A\cap B))=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\), which equals \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\). Substituting the given values: \(98-42=56\). Why other choices are wrong: 98 is the union (includes common elements), 42 is only the common part, and 140 is just adding the two given numbers and is not a correct count. Exam tip: remember both forms — \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\) and \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) — for quick answers.
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If (n(U)=90), (n(A)=58), and (n(B)=45), what is the minimum possible value of (n\(A\cap B\))?
C. (13)
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
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If (n(A-B)=38) and (n(B-A)=27), what is (n\(A\triangle B\))?
B. (65)
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (38+27=65)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (38+27=65). The common part is not included.
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If (n(U)=130) and (n\(A\cap B\)=46), what is (n(\(A\cap B\)^c))?
B. (84)
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (130-46=84)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (130-46=84). Here the complement of only the common part is asked.
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\(A=\{a,c,e,g,i\}\) and \(B=\{b,c,d,g,j\}\). What is \(A\cup B\)?
B. ({a,b,c,d,e,g,i,j})
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
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\(A=\{5,10,15,20,25,30\}\) and \(B=\{10,20,30,40\}\). What is (A-B)?
C. ({5,15,25})
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (10,20,30) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (10,20,30) are common, so they are removed.
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B. (87)
तीन समुच्चयों का संघ (42+39+35-15-13-11+5=87) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (42+39+35-15-13-11+5=87). Adding back the final common part is necessary.
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A. 35
किसी जोड़ी के समुच्चय में मौजूद तत्वों में से वे तत्व जो सभी तीनों में भी होते हैं, प्रत्येक जोड़ी की गिनती में शामिल होते हैं। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\)। सामान्य गलतियाँ: 56 = 21+19+16 (तीनों को घटाए बिना) गलत है; 49 और 42 उन गलत गणनाओं के परिणाम हैं जहाँ त्रिनेतु भाग \(7\) को एक या दो बार ही घटाया गया — पर उसे प्रत्येक जोड़ी से घटाना अनिवार्य है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाएं, केंद्र में \(7\) लिखें और फिर हर जोड़ी के भाग से इसे घटाकर शेष अंक भरें। / Each pairwise intersection includes the elements that lie in all three sets, so those must be removed from each pair to count elements in exactly two sets. Hence exactly two = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\). Common errors: 56 is just 21+19+16 without subtracting the triple overlap; 49 or 42 arise if the triple overlap 7 is subtracted only once or twice instead of from each of the three pair-counts. Exam tip: draw a Venn diagram, place 7 in the central region, then compute each pair-region by subtracting 7 from the given pairwise totals.
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B. 22
केवल \(A\) के तत्त्वों की गिनती के लिए फॉर्मूला है: केवल \(A\) = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ \(n(A)=63, n(A\cap B)=26, n(A\cap C)=24\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हैं, अतः केवल \(A\)=\(63-26-24+9=22\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) को निकालते समय \(A\cap B\cap C\) दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। विकल्प C (26) गलत है क्योंकि वह \(A\cap B\) का मान है, न कि केवल \(A\) का। परीक्षा-सुझाव: तीन वृत्तों वाला वेन आरेख बनाएं और प्रत्येक भाग पर दिए गए मान लिखकर चरण-दर-चरण घटाएँ/जोड़ें। / Use the formula for elements only in A: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting the given values gives only A = \(63-26-24+9=22\). Reason: elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) are removed from A, but the triple intersection \(A\cap B\cap C\) is subtracted twice so it must be added back once. Option C (26) is incorrect — it equals \(n(A\cap B)\), not the count of elements only in A. Exam tip: draw the 3-set Venn diagram and label overlaps; apply the formula directly to avoid sign errors.
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If (n\(A\cap B\)=29) and (n\(A\cap B\cap C\)=12), how many are only in (A) and (B) but not in (C)?
A. (17)
केवल (A) और (B) के लिए (29-12=17) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (29-12=17). A pairwise intersection includes the common part of all three.
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If (n\(A\triangle B\)=78) and (n(A-B)=34), what is (n(B-A))?
B. (44)
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (78-34=44)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (78-34=44). The common part is not included.
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B. (26)
कम से कम एक (43+39-18=64) है, इसलिए कोई नहीं (90-64=26)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (43+39-18=64), so neither is (90-64=26). Finding the union first is the easy method.
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If (n(A)=49), (n(B)=52), and \(A\cap B=\varnothing\), how many elements are in exactly one set?
D. (101)
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (49+52=101)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (49+52=101). The common part is zero.
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If (n\(A\cup B\)=88), (n(A-B)=31), and (n(B-A)=29), what is (n\(A\cap B\))?
B. (28)
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (88-31-29=28)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (88-31-29=28). In Venn diagrams, subtracting separate regions is easy.
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In three sets (n\(A\cap B\cap C\)=14). Which part of the Venn diagram does this show?
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भागCommon central part of all three circles
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
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C. (89)
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (18+22+19+9+8+7+6=89)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (18+22+19+9+8+7+6=89). Add each region only once.
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B. (57)
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (27+10+12+8=57)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (27+10+12+8=57). The total of a set is the sum of all its inside regions.
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C. (57)
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (24+11+13+9=57) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (24+11+13+9=57). Total (B) includes all regions inside (B).
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A. (44)
संघ (76+69+62-30-27-24+10=136) है, इसलिए बाहर (180-136=44)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (76+69+62-30-27-24+10=136), so outside is (180-136=44). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
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D. (11)
सूत्र में (99=48+43+41-17-14-13+x) होगा, इसलिए (x=11)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (99=48+43+41-17-14-13+x), so (x=11). Find the unknown central part by forming an equation.
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If (n\(A^c\)=58) and (n(U)=132), what is (n(A))?
B. (74)
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=132-58=74)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=132-58=74). In complement questions, always check the universal set.
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If (n\(A\cup B\)=73), (n(A-B)=28), and (n(B-A)=32), which statement is correct?
A. (n\(A\cap B\)=13)
साझा भाग (73-28-32=13) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (73-28-32=13). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
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