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सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (46+38-16=68) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (46+38-16=68). Avoid counting the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), इसलिए बाहर (85-64=21) होगा। बाहर का भाग हमेशा (U) से संघ घटाकर मिलता है। / First (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), so outside is (85-64=21). The outside region is always found by subtracting the union from (U).
(n\(A\cap B\)=52+47-79=20) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद के लिए दोनों समुच्चयों का योग घटाएं। / (n\(A\cap B\)=52+47-79=20). When the union is given, subtract it from the sum of both sets.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=74-28-19=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=74-28-19=27). In a Venn diagram, subtracting separate regions is easy.
पहले (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), इसलिए बाहर (120-90=30) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), so outside is (120-90=30). The outside region is the complement of the union.
केवल A में आने वाले तत्वों के लिए Inclusion–Exclusion का उपयोग करें। A का कुल भागों में से A∩B और A∩C के हिस्से निकालें, परन्तु A∩B∩C को दोनों बार निकाल दिया गया होता है इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ना होगा। गणना: \(\text{केवल A} = n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=38-16-13+5=14\)। सामान्य गलतियाँ: उत्तर 9 तब मिलेगा जब A∩B∩C को फिर जोड़ना भूल जाएँ (38-16-13=9)। परीक्षा सुझाव: एक Venn आरेख पर क्षेत्र संख्या लिखें — इससे दोहराव और त्रय-ओवरलैप स्पष्ट दिखते हैं। / Use inclusion–exclusion for the regions inside A. Subtract the elements shared with B and with C, but the triple-overlap has been subtracted twice so add it back once. Calculation: \(\text{only A}=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=38-16-13+5=14\). Common mistake: 9 arises if you forget to add the triple intersection back (38-16-13=9). Exam tip: draw a three-set Venn diagram and label the seven regions — writing equations for each region avoids sign errors.
"केवल A" वे तत्व हैं जो A में हैं पर A और B के साझा भाग \(A\cap B\) में नहीं। इसलिए केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=44-19=25\)। विकल्प (A) 19 गलत है क्योंकि वह केवल साझा (intersection) की संख्या है, न कि केवल A की; विकल्प (C) 44 गलत है क्योंकि इसमें साझा भाग भी शामिल है; विकल्प (D) 63 गलत है — यह दोनों को जोड़ देने का गलत परिणाम है। परीक्षा टिप: किसी भी सेट का "केवल" भाग निकालने के लिए कुल से उसके इंटरसेक्शन को घटाएं। / "Only A" means elements in A but not in the intersection with B. So only A = \(n(A)-n(A\cap B)=44-19=25\). Option 19 is the intersection (common part) and therefore not the "only A" part; option 44 is the entire A including the overlap; option 63 is an incorrect sum. Exam tip: to find "only" elements subtract the overlap (intersection) from the set's total.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+14+21+7=60)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+14+21+7=60). Do not miss any region.
अंदर का संघ (24+13+26=63) है, इसलिए बाहर (88-63=25) है। बाहरी क्षेत्र हमेशा (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (24+13+26=63), so outside is (88-63=25). The outside region is always found by subtracting the inside part from (U).
क्योंकि (A) पूरा (B) के अंदर है, इसलिए (n(B-A)=73-28=45)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर बनता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=73-28=45). In subset cases, the smaller circle lies inside the larger circle.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (33+41=74)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य है। / Disjoint sets have common part (0), so (33+41=74). When \(A\cap B=\varnothing\), the subtracted part is zero.
"ठीक एक" समुच्चय के तत्व वे होते हैं जो केवल A में हों या केवल B में हों, लेकिन दोनों में साथ में नहीं। संघ \(n(A\cup B)\) में "ठीक एक" और "दोनों में" दोनों शामिल होते हैं। इसलिए "ठीक एक" = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=86-31=55\)। विकल्प A (117) उस मात्रा का संकेत देता है जो \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\) के बराबर होती है—यहाँ प्रश्न इसका नहीं पूछ रहा। परीक्षा टिप: दो ओवरलैपिंग सर्किल बनाकर तीन हिस्सों (A सिर्फ, B सिर्फ, दोनों) पर संख्या लिखें; फिर संघ में से अन्तर्मिलन घटा दें। / Elements in exactly one set are those in A only or B only (not in both). The union \(n(A\cup B)\) counts both the "exactly one" regions and the "both" region. Thus exactly one = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=86-31=55\). Option A (117) corresponds to \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\), which is not asked here. Exam tip: draw two overlapping circles, label the three regions (A only, B only, both) and use union minus intersection to get the "exactly one" count quickly.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (29+17=46)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (29+17=46). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (105-37=68)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (105-37=68). Here the complement of only the common part is asked.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (6,8,12) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (6,8,12) are common, so they are removed.
तीन समुच्चयों का संघ (35+32+29-12-10-9+4=69) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (35+32+29-12-10-9+4=69). Adding back the final common part is necessary.
तीन समुच्चयों के लिए दिया गया है \(n(A\cap B)=18\), \(n(B\cap C)=16\), \(n(C\cap A)=14\) तथा \(n(A\cap B\cap C)=6\)। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्वों की संख्या कितनी है?
कोर विचार: किसी भी जोड़ी (उदा. A∩B) के उन तत्वों को जो ठीक उसी दो समुच्चयों में हैं प्राप्त करने के लिए उसी जोड़ी के आंतर से तीनों का साझा भाग घटाएँ: \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)\)। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले कुल तत्व होंगे
\((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\).
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B (42) तब आ जाता है जब त्रिकोणीय साझा भाग \(6\) को केवल एक बार घटा दिया जाए (\(18+16+14-6=42\)) — यह गलत है क्योंकि वे 6 तत्व प्रत्येक जोड़ी के आंतर में गिने गए थे और हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। विकल्प C (48) तब होगा जब कोई घटाव न किया जाए (तीनों में आने वाले तत्वों को शामिल कर लिया गया है), और विकल्प D (36) किसी गलत आंशिक घटाव का परिणाम है। परीक्षात्मक सुझाव: "ठीक दो" के लिए हर जोड़ी का आंतर लें और उससे \(n(A\cap B\cap C)\) घटाएँ, फिर जोड़ों का योग करें। / Core idea: For each pair, elements that belong to exactly that pair = n(pair) - n(triple). So compute
\((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\), which is the required count.
Why other choices fail: option B (42) comes from subtracting the triple intersection only once (\(18+16+14-6\)) — incorrect because the 6 elements were counted in each pair and must be removed from each pair. Option C (48) ignores the triple overlap entirely; option D (36) is another incorrect partial subtraction. Exam tip: For "exactly two" always subtract the triple intersection from each pairwise intersection, then add the results.
यदि \(n(A)=50\), \(n(A\cap B)=21\), \(n(A\cap C)=19\) और \(n(A\cap B\cap C)=8\) हैं, तो केवल A में कितने तत्त्व हैं (अर्थात A में हैं पर B या C में नहीं)?
केवल A के तत्त्वों की संख्या निकालने के लिए शामिल‑अपवाद का सिध्दान्त लागू करें। केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ हिसाब यह है: \(50-21-19+8=18\)। कारण: जो तत्त्व A∩B और A∩C दोनों में आते हैं, उन्हें दोनों उपसर्गों से दो बार घटा दिया गया होता है, इसलिए त्रि‑इंटरसेक्शन को एक बार जोड़ना आवश्यक है। सामान्य भूल: त्रि‑इंटरसेक्शन \(+8\) जोड़ना भूल जाने पर परिणाम \(50-21-19=10\) (विकल्प A) आ जाएगा — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न पढ़ते समय Venn आरेख बनाकर हर क्षेत्र को चिह्नित करें और शामिल‑अपवाद का छोटा सूत्र याद रखें। / Use the inclusion–exclusion idea restricted to elements of A. The number only in A equals \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(50-21-19+8=18\). Explanation: elements in both A∩B and A∩C were subtracted twice, so the triple intersection must be added back once. Common mistake: forgetting the +8 yields 10 (option A). Exam tip: draw a three‑circle Venn diagram and label the three intersection regions to avoid sign errors and double counting.
केवल (A) और (B) के लिए (24-9=15) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (24-9=15). A pairwise intersection includes the common part of all three.
C. (A-B) और (B-A) का संयुक्त भाग/Combined part of (A-B) and (B-A)
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे तत्व आते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. Therefore the common part is not included.
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (64-27=37)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (64-27=37). The common part is not included.
दो समुच्चयों में "ठीक एक" तत्वों की संख्या इस प्रकार व्यक्त की जाती है: \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). यहाँ \(n(A)+n(B)=39+44=83\)। इसलिए \(83-2\,n(A\cap B)=51\)। इससे \(2\,n(A\cap B)=32\) और अतः \(n(A\cap B)=16\)। विकल्प A (12) गलत है क्योंकि यदि \(n(A\cap B)=12\) होता तो ठीक एक = \(83-2\times12=59\) होता, जो दिया गया 51 से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सूत्र: एक सरल वेन-आरेख बनाकर मध्य भाग (इंटरसेक्शन) को \(x\) मानें और बाहर के दो हिस्सों को क्रमशः \(39-x\) और \(44-x\) लिखकर कुल "ठीक एक" जोड़ लें—यह जल्दी और त्रुटि-रहित तरीका है। / For two sets the number of elements in exactly one set is given by \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). Here \(n(A)+n(B)=39+44=83\). So \(83-2\,n(A\cap B)=51\), giving \(2\,n(A\cap B)=32\) and \(n(A\cap B)=16\). Option A (12) is wrong because substituting 12 gives \(83-2\times12=59\), not 51. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the intersection as \(x\) and express the two outer regions as \(39-x\) and \(44-x\); summing the outer regions equals the "exactly one" count and avoids algebraic sign mistakes.
कम से कम एक (34+31-13=52) है, इसलिए कोई नहीं (72-52=20)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (34+31-13=52), so neither is (72-52=20). Finding the union first is the easy method.
केवल चाय वाले उन लोगों की संख्या है जो चाय पसंद करते हैं पर कॉफी नहीं। कुल चाय में से दोनों पसंद करने वालों को घटाएँ: \(45-15=30\)। इसलिए केवल चाय पसंद करने वाले 30 हैं। विकल्प (66) गलती से 'चाय या कॉफी' (यूनियन) निकालने पर मिलता है: \(45+36-15=66\), जो प्रश्न का उत्तर नहीं है। परीक्षा युक्ति: हल में एक सरल वैन-आंकड़ा बनाइए — प्रत्येक वृत्त का सिर्फ़ वह भाग लें जो दूसरे वृत्त से ओवरलैप नहीं होता। / Only-tea means tea-likers who do not like coffee. Subtract the overlap from total tea: \(45-15=30\). Thus 30 people like only tea. Option 66 is a common mistake — it equals the union (tea or coffee) computed as \(45+36-15=66\), not 'only tea'. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram and subtract the intersection from the tea circle to find 'only tea'.
क्योंकि (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), अतिरिक्त जानकारी से प्रतिच्छेद (0) नहीं निकलता बल्कि निर्धारित नहीं होता। दिए गए विकल्पों में यह प्रश्न जाल है और सही निष्कर्ष यह है कि (n\(A\cap B\)) निर्धारित नहीं किया जा सकता। / Since (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), the intersection is not found from this data. This is a trap question, and the correct conclusion should be that (n\(A\cap B\)) cannot be determined.
जब (A) पूरा (B) में होता है, तब संघ (B) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है। / When (A) is completely inside (B), the union is (B). Recognizing a subset helps answer quickly.
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (36+42=78)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (36+42=78). The common part is zero.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (70-26-19=25)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को जोड़ना या घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (70-26-19=25). In Venn diagrams, adding or subtracting separate regions is easy.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=14), केवल (B=18), केवल (C=16), केवल \(A\cap B=7\), केवल \(B\cap C=6\), केवल \(C\cap A=5\) और \(A\cap B\cap C=4\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (14+18+16+7+6+5+4=70)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (14+18+16+7+6+5+4=70). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (20+8+6+5=39)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (20+8+6+5=39). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (17+9+11+6=43) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (17+9+11+6=43). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=140), (n(A)=60), (n(B)=55), (n(C)=50), (n\(A\cap B\)=24), (n\(B\cap C\)=21), (n\(C\cap A\)=19) और (n\(A\cap B\cap C\)=8) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (60+55+50-24-21-19+8=109) है, इसलिए बाहर (140-109=31)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (60+55+50-24-21-19+8=109), so outside is (140-109=31). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (82=40+36+34-12-10-9+x) होगा, इसलिए (x=3)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (82=40+36+34-12-10-9+x), so (x=3). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=95-48=47)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=95-48=47). In complement questions, always check the universal set.
(A-B) और \(A\cap B\) मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। यह क्षेत्रीय विभाजन का अच्छा उदाहरण है। / (A-B) and \(A\cap B\) together form the whole of (A). This is a good example of region partitioning.
संघ से (A) हटाने पर केवल (B) का वह भाग बचता है जो (A) में नहीं है। इसलिए उत्तर (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves the part of (B) that is not in (A). Hence the answer is (B-A).
साझा भाग (58-22-20=16) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (58-22-20=16). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
