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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Medium Level 15

तीन समुच्चयों A, B, C के लिए \,\(n(A\cap B)=21\), \(n(B\cap C)=19\), \(n(C\cap A)=16\) और \(n(A\cap B\cap C)=7\) दिया गया है। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?

For three sets A, B, C we have \(n(A\cap B)=21\), \(n(B\cap C)=19\), \(n(C\cap A)=16\) and \(n(A\cap B\cap C)=7\). How many elements belong to exactly two of the sets?

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A. 35

Explanation

Simple Explanation

किसी जोड़ी के समुच्चय में मौजूद तत्वों में से वे तत्व जो सभी तीनों में भी होते हैं, प्रत्येक जोड़ी की गिनती में शामिल होते हैं। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\)। सामान्य गलतियाँ: 56 = 21+19+16 (तीनों को घटाए बिना) गलत है; 49 और 42 उन गलत गणनाओं के परिणाम हैं जहाँ त्रिनेतु भाग \(7\) को एक या दो बार ही घटाया गया — पर उसे प्रत्येक जोड़ी से घटाना अनिवार्य है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाएं, केंद्र में \(7\) लिखें और फिर हर जोड़ी के भाग से इसे घटाकर शेष अंक भरें। / Each pairwise intersection includes the elements that lie in all three sets, so those must be removed from each pair to count elements in exactly two sets. Hence exactly two = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\). Common errors: 56 is just 21+19+16 without subtracting the triple overlap; 49 or 42 arise if the triple overlap 7 is subtracted only once or twice instead of from each of the three pair-counts. Exam tip: draw a Venn diagram, place 7 in the central region, then compute each pair-region by subtracting 7 from the given pairwise totals.

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तीन समुच्चयों A, B, C के लिए \,\(n(A\cap B)=21\), \(n(B\cap C)=19\), \(n(C\cap A)=16\) और \(n(A\cap B\cap C)=7\) दिया गया है। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं? / For three sets A, B, C we have \(n(A\cap B)=21\), \(n(B\cap C)=19\), \(n(C\cap A)=16\) and \(n(A\cap B\cap C)=7\). How many elements belong to exactly two of the sets?

Correct Answer: A. 35. Explanation: किसी जोड़ी के समुच्चय में मौजूद तत्वों में से वे तत्व जो सभी तीनों में भी होते हैं, प्रत्येक जोड़ी की गिनती में शामिल होते हैं। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\)। सामान्य गलतियाँ: 56 = 21+19+16 (तीनों को घटाए बिना) गलत है; 49 और 42 उन गलत गणनाओं के परिणाम हैं जहाँ त्रिनेतु भाग \(7\) को एक या दो बार ही घटाया गया — पर उसे प्रत्येक जोड़ी से घटाना अनिवार्य है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाएं, केंद्र में \(7\) लिखें और फिर हर जोड़ी के भाग से इसे घटाकर शेष अंक भरें। / Each pairwise intersection includes the elements that lie in all three sets, so those must be removed from each pair to count elements in exactly two sets. Hence exactly two = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\). Common errors: 56 is just 21+19+16 without subtracting the triple overlap; 49 or 42 arise if the triple overlap 7 is subtracted only once or twice instead of from each of the three pair-counts. Exam tip: draw a Venn diagram, place 7 in the central region, then compute each pair-region by subtracting 7 from the given pairwise totals.