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सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (57+49-21=85) मिलता है। साझा भाग को दो बार न गिनें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (57+49-21=85). Do not count the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=150-32=118), फिर (n\(A\cap B\)=70+62-118=14)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=150-32=118), then (n\(A\cap B\)=70+62-118=14). If the outside part is given, find the union first.
(n\(A\cap B\)=68+53-91=30) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद निकालने के लिए योग में से संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=68+53-91=30). When the union is given, subtract it from the sum to get the intersection.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (24+31+16=71)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts, so (24+31+16=71). In a Venn diagram, add each separate region only once.
पहले (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), इसलिए बाहर (140-108=32) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), so outside is (140-108=32). The outside region is the complement of the union.
पहले (n\(A\cap B\)=58-29=29), फिर (n(B-A)=96-29-29=38)। कुल (A) से केवल (A) घटाकर साझा भाग निकालें। / First (n\(A\cap B\)=58-29=29), then (n(B-A)=96-29-29=38). Subtract only (A) from total (A) to get the common part.
वेन-आरेख में "केवल A" का अर्थ है A के वे तत्व जो B में नहीं आते। इसका सूत्र \(\text{केवल }A = n(A)-n(A\cap B)\) है। यहाँ \(59-24=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। निकटवर्ती विकर्षक: 24 केवल A\cap B (साझा भाग) है, इसे "केवल A" नहीं माना जा सकता; 59 A का कुल है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; 83 कोई सुसंगत गणना नहीं है। परिक्षा टिप: प्रश्न देखते ही छोटे वेन-आरेख बना लें और प्रत्येक क्षेत्र में दिए गए मान लिख दें — इससे घटाना/जोड़ना स्पष्ट हो जाता है। / "Only A" means elements in A but not in B, so compute \(\text{only }A = n(A)-n(A\cap B)\). Here \(59-24=35\), so 35 is correct. Closest distractor 24 is the intersection \(A\cap B\) (common elements), not the elements only in A; 59 is the total in A including the intersection; 83 is not a valid result from the given data. Exam tip: sketch a two-set Venn diagram and label each region — this helps avoid confusing total, intersection, and "only" counts.
तीन समुच्चयों में केवल (A=19), केवल (B=23), केवल (C=17), केवल \(A\cap B=8\), केवल \(B\cap C=10\), केवल \(C\cap A=6\) और \(A\cap B\cap C=5\) हैं। (n\(B\cup C\)) कितना होगा?
\(B\cup C\) में (B) या (C) के अंदर आने वाले भाग जुड़ेंगे, (23+17+8+10+6+5=69)। ध्यान दें कि केवल (A) इसमें नहीं आएगा। / \(B\cup C\) includes parts inside (B) or (C), (23+17+8+10+6+5=69). Notice that only (A) is not included.
सूत्र में (91=46+40+37-14-12-11+x) होगा, इसलिए (x=5)। तीन समुच्चयों में केंद्रीय भाग अंत में जोड़ा जाता है। / In the formula (91=46+40+37-14-12-11+x), so (x=5). In three sets, the central part is added at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (26+18+33+12=89)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (26+18+33+12=89). Do not miss any region.
\(A\setminus B\) को \(A\) से \(B\) का अंतर कहते हैं। वेन आरेख में यह \(A\) का वह भाग है जो \(B\) के साथ उभयनिष्ठ नहीं है। \(A\cap B\) दोनों समुच्चयों के साझा अवयव दर्शाता है, जबकि \(B\setminus A\) में केवल \(B\) के अवयव आते हैं। परीक्षा टिप: “में है, पर ... में नहीं” वाले कथन के लिए पहले समुच्चय से दूसरे समुच्चय को हटाइए। / \(A\setminus B\) is called the difference of \(A\) and \(B\). In a Venn diagram, it is the part of \(A\) that does not overlap with \(B\). \(A\cap B\) represents common elements of both sets, while \(B\setminus A\) contains elements of \(B\) only. Exam tip: For “in the first set but not in the second,” subtract the second set from the first.
अंदर का संघ (29+17+22=68) है, इसलिए बाहर (96-68=28) है। बाहरी क्षेत्र (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (29+17+22=68), so outside is (96-68=28). The outside region is found by subtracting the inside part from (U).
(B) पूरा (C) के अंदर है, इसलिए (n(C-B)=95-61=34)। nested वेन आरेख में बड़े से अंदर वाले भाग को घटाएं। / (B) lies completely inside (C), so (n(C-B)=95-61=34). In a nested Venn diagram, subtract the inner part from the larger set.
क्योंकि (A) पूरा (B) में है, इसलिए (n(B-A)=82-34=48)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=82-34=48). In a subset case, the smaller circle lies inside the larger one.
एक खेल सर्वे में 80 लोगों ने क्रिकेट पसंद किया, 64 लोगों ने फुटबॉल पसंद किया और 29 लोगों ने दोनों खेल पसंद बताये। केवल एक खेल पसंद करने वाले कितने हैं?
केवल एक खेल पसंद करने वाले = केवल क्रिकेट वाले + केवल फुटबॉल वाले। केवल क्रिकेट वाले = 80 − 29 = 51, केवल फुटबॉल वाले = 64 − 29 = 35। अतः कुल = 51 + 35 = 86। यही सूत्र समेकित रूप में लिखा जा सकता है: \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। विकल्प 115 गलत है — यह सम्मिलन (union) की संख्या है: \(80+64-29=115\)। विकल्प 144 गलत है — यह दोनों को जोड़कर किसी भी काट-छाँट के बिना मिला देना है (80+64)। विकल्प 91 निकटतम विचलन है; यह अक्सर अंकगणित की गलती (उदा. 64−29 को 40 लिख देना) से आता है। परीक्षा सुझाव: एक Venn आरेख बनाकर "केवल" वाले क्षेत्र अलग से लिखें और घटाना दो बार जाँचें। / Exactly one = (cricket only) + (football only). Cricket only = 80 − 29 = 51, Football only = 64 − 29 = 35. Therefore total = 51 + 35 = 86. In formula form: \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\). Option 115 is incorrect — it gives the union size: \(80+64-29=115\). Option 144 is incorrect — it is the raw sum without accounting for overlap (80+64). Option 91 is a common arithmetic slip (for example miscomputing 64−29 as 40). Exam tip: draw a two-set Venn diagram, label the intersection first, then compute the "only" regions by subtraction and add them.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (45+37=82)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (45+37=82). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
क्योंकि (52+47=99), जो (100) से अधिक नहीं है, इसलिए प्रतिच्छेद (0) भी हो सकता है। न्यूनतम के लिए देखें कि दोनों कुल (U) से अधिक हो रहे हैं या नहीं। / Since (52+47=99), which is not greater than (100), the intersection can be (0). For the minimum, check whether the two totals exceed (U).
ठीक एक समुच्चय में आने वाले तत्वों की संख्या निकालने के लिए हम जानते हैं कि \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। ठीक एक समुच्चय = \((n(A)-n(A\cap B))+(n(B)-n(A\cap B))=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। इसे संघ के संबंध में लिखें तो ठीक एक = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\)। यहाँ इसलिए \(98-42=56\)। नज़दीकी भ्रम: 98 संघ की कुल संख्या है (जिसमें साझा तत्व भी शामिल हैं), 42 केवल साझा (दोनों में आने वाले) तत्वों की संख्या है, और 140 इन दोनों को जोड़ने से बनता है जो सही अर्थ नहीं देता। परीक्षा टिप: द्वि-समुच्चय वाले प्रश्नों में "ठीक एक" के लिए फॉर्मूला याद रखें — \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\) या \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। / Use the relation \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Elements in exactly one set are \((n(A)-n(A\cap B))+(n(B)-n(A\cap B))=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\), which equals \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\). Substituting the given values: \(98-42=56\). Why other choices are wrong: 98 is the union (includes common elements), 42 is only the common part, and 140 is just adding the two given numbers and is not a correct count. Exam tip: remember both forms — \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\) and \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) — for quick answers.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (38+27=65)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (38+27=65). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (130-46=84)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (130-46=84). Here the complement of only the common part is asked.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (10,20,30) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (10,20,30) are common, so they are removed.
तीन समुच्चयों का संघ (42+39+35-15-13-11+5=87) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (42+39+35-15-13-11+5=87). Adding back the final common part is necessary.
तीन समुच्चयों A, B, C के लिए \,\(n(A\cap B)=21\), \(n(B\cap C)=19\), \(n(C\cap A)=16\) और \(n(A\cap B\cap C)=7\) दिया गया है। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
किसी जोड़ी के समुच्चय में मौजूद तत्वों में से वे तत्व जो सभी तीनों में भी होते हैं, प्रत्येक जोड़ी की गिनती में शामिल होते हैं। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\)। सामान्य गलतियाँ: 56 = 21+19+16 (तीनों को घटाए बिना) गलत है; 49 और 42 उन गलत गणनाओं के परिणाम हैं जहाँ त्रिनेतु भाग \(7\) को एक या दो बार ही घटाया गया — पर उसे प्रत्येक जोड़ी से घटाना अनिवार्य है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाएं, केंद्र में \(7\) लिखें और फिर हर जोड़ी के भाग से इसे घटाकर शेष अंक भरें। / Each pairwise intersection includes the elements that lie in all three sets, so those must be removed from each pair to count elements in exactly two sets. Hence exactly two = \((21-7)+(19-7)+(16-7)=35\). Common errors: 56 is just 21+19+16 without subtracting the triple overlap; 49 or 42 arise if the triple overlap 7 is subtracted only once or twice instead of from each of the three pair-counts. Exam tip: draw a Venn diagram, place 7 in the central region, then compute each pair-region by subtracting 7 from the given pairwise totals.
केवल \(A\) के तत्त्वों की गिनती के लिए फॉर्मूला है: केवल \(A\) = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ \(n(A)=63, n(A\cap B)=26, n(A\cap C)=24\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हैं, अतः केवल \(A\)=\(63-26-24+9=22\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) को निकालते समय \(A\cap B\cap C\) दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। विकल्प C (26) गलत है क्योंकि वह \(A\cap B\) का मान है, न कि केवल \(A\) का। परीक्षा-सुझाव: तीन वृत्तों वाला वेन आरेख बनाएं और प्रत्येक भाग पर दिए गए मान लिखकर चरण-दर-चरण घटाएँ/जोड़ें। / Use the formula for elements only in A: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting the given values gives only A = \(63-26-24+9=22\). Reason: elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) are removed from A, but the triple intersection \(A\cap B\cap C\) is subtracted twice so it must be added back once. Option C (26) is incorrect — it equals \(n(A\cap B)\), not the count of elements only in A. Exam tip: draw the 3-set Venn diagram and label overlaps; apply the formula directly to avoid sign errors.
केवल (A) और (B) के लिए (29-12=17) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (29-12=17). A pairwise intersection includes the common part of all three.
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (78-34=44)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (78-34=44). The common part is not included.
कम से कम एक (43+39-18=64) है, इसलिए कोई नहीं (90-64=26)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (43+39-18=64), so neither is (90-64=26). Finding the union first is the easy method.
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (49+52=101)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (49+52=101). The common part is zero.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (88-31-29=28)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (88-31-29=28). In Venn diagrams, subtracting separate regions is easy.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=18), केवल (B=22), केवल (C=19), केवल \(A\cap B=9\), केवल \(B\cap C=8\), केवल \(C\cap A=7\) और \(A\cap B\cap C=6\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (18+22+19+9+8+7+6=89)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (18+22+19+9+8+7+6=89). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (27+10+12+8=57)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (27+10+12+8=57). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (24+11+13+9=57) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (24+11+13+9=57). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=180), (n(A)=76), (n(B)=69), (n(C)=62), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=27), (n\(C\cap A\)=24) और (n\(A\cap B\cap C\)=10) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (76+69+62-30-27-24+10=136) है, इसलिए बाहर (180-136=44)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (76+69+62-30-27-24+10=136), so outside is (180-136=44). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (99=48+43+41-17-14-13+x) होगा, इसलिए (x=11)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (99=48+43+41-17-14-13+x), so (x=11). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=132-58=74)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=132-58=74). In complement questions, always check the universal set.
साझा भाग (73-28-32=13) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (73-28-32=13). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
