Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले विकल्प में 2 प्रथम अवयव के रूप में नहीं है। फलन में प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, 2 is not present as a first component. In a function every domain element must be included.
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है। / In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
ग्राफ में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या ∣A∣=3 है। / The graph has one pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is ∣A∣=3.
A रिक्त समुच्चय है, इसलिए उसमें किसी भी अवयव को B के किसी अवयव से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। अतः केवल एक रिक्त फलन बनता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) से भी यही परिणाम मिलता है। विकल्प 0 इसलिए गलत है क्योंकि फलनों की संख्या शून्य नहीं, बल्कि एक होती है। परीक्षा-युक्ति: रिक्त प्रांत से किसी भी अरिक्त या रिक्त समुच्चय में ठीक एक फलन होता है। / Since A is empty, there is no element whose image must be assigned in B. Therefore, exactly one empty function exists. This also follows from the formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\). Option 0 is incorrect because the number of functions is one, not zero. Exam tip: There is exactly one function from an empty domain to any codomain.
प्रांत में 0 है लेकिन सहप्रांत खाली है, इसलिए 0 का कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। अतः कोई फलन नहीं बनेगा। / The domain contains 0 but the codomain is empty, so 0 cannot get an image. Hence no function is possible.
विकल्प A में प्रांत के प्रत्येक अवयव 1, 2 और 3 का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। लेकिन 1 और 2 दोनों का प्रतिबिंब a है, इसलिए अलग-अलग प्रांत अवयवों के समान प्रतिबिंब हो सकते हैं और फलन एक-एक नहीं है। विकल्प C एक-एक फलन है, जबकि B और D में किसी एक प्रांत अवयव के दो प्रतिबिंब हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन के लिए प्रत्येक input का केवल एक output होना चाहिए; एक-एक होने के लिए अलग-अलग inputs के outputs भी अलग होने चाहिए। / In option A, each domain element 1, 2, and 3 has exactly one image, so it is a function. However, 1 and 2 both have the image a; hence different inputs have the same output, so the function is not one-one. Option C is one-one, whereas B and D assign two images to the same input and therefore are not functions. Exam tip: for a function, every input must have exactly one output; for a one-one function, distinct inputs must also have distinct outputs.
पहले संबंध में \(A\) के प्रत्येक तत्व 1, 2 और 3 का ठीक एक प्रतिबिंब \(B\) में है, इसलिए यह फलन है। B और D में एक ही इनपुट के दो आउटपुट हैं, जबकि C में 3 का आउटपुट नहीं है। परीक्षा टिप: हर इनपुट को एक बार जाँचें। / In the first relation, each element of \(A\)—1, 2, and 3—has exactly one image in \(B\), so it is a function. In B and D, one input has two outputs; C leaves 3 unmapped. Exam tip: check every domain element exactly once.
नियम \\(f(x)=2x\\) में \(x=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(2,4,6\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह दिए गए सभी क्रमित युग्मों से मेल खाता है। \(x+2\) केवल \(x=2\) पर सही मान देता है, जबकि \(3x\) और \(x/2\) अन्य मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का नियम पहचानने के लिए प्रत्येक दिए गए क्रमित युग्म में \(y=f(x)\) जाँचें। / Using the rule \\(f(x)=2x\\), the inputs \(x=1,2,3\) give the outputs \(2,4,6\), respectively, so it matches every ordered pair. The rule \(x+2\) matches only when \(x=2\), while \(3x\) and \(x/2\) produce different outputs. Exam tip: verify a proposed rule with every given ordered pair, not just one pair.
प्रत्येक क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का वर्ग है: \(2^2=4\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\)। इसलिए सही नियम \(f(x)=x^2\) है। विकल्प B में \(f(2)=4\) तो मिलता है, लेकिन \(f(3)=6\), इसलिए वह सभी युग्मों के लिए सही नहीं है। परीक्षा में नियम की जाँच करने के लिए दिए गए प्रत्येक इनपुट पर उसे लागू करें। / In every ordered pair, the second component is the square of the first: \(2^2=4\), \(3^2=9\), and \(5^2=25\). Therefore, the correct rule is \(f(x)=x^2\). Option B gives \(f(2)=4\), but \(f(3)=6\), so it does not fit all the pairs. In an exam, test the proposed rule with each given input.
\(f(x)=x+7\) में \(x=a\) रखने पर \(f(a)=a+7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(a+7=12\), अर्थात \(a=5\)। विकल्प 12, \(f(a)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा में पहले दिए गए फलन में \(x\) के स्थान पर \(a\) रखकर समीकरण बनाएँ। / Substituting \(x=a\) in \(f(x)=x+7\) gives \(f(a)=a+7\). Thus, \(a+7=12\), so \(a=5\). The value 12 is \(f(a)\), not \(a\). Exam tip: replace \(x\) with the given input variable before solving the equation.
