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Mathematics Factorial notation MCQ Questions for Class 11

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Factorial notation Practice Questions

Showing 481-490 of 594 questions.

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Question 481/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

\( \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!} \) का सरल मान क्या है?

What is the simplified value of \( \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!} \)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

B. 63

Explanation

Simple Explanation

\(7!=7\cdot6!\) तथा \(9!=9\cdot8!\) लिखने पर \[ \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63. \] अतः सही उत्तर 63 है। 72 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब क्रमागत फैक्टोरियल पदों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का प्रयोग करके फैक्टोरियल भिन्नों को तुरंत सरल करें। / Write \(7!=7\cdot6!\) and \(9!=9\cdot8!\). Then \[ \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63. \] Therefore, the correct answer is 63. A value such as 72 may result from cancelling consecutive factorial terms incorrectly. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) to simplify factorial fractions quickly.

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Question 482/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

\( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!} \) का सरल रूप क्या है?

What is the simplified form of \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!} \)?

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Correct Answer

A. \((n+3)^2\)

Explanation

Simple Explanation

\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) रखने पर \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \((n+4)^2\) में एक अतिरिक्त \(n+4\) गुणनखंड आ जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले समान छोटा फैक्टोरियल बाहर निकालें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), we get \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Hence, option A is correct. \((n+4)^2\) incorrectly retains an extra factor of \(n+4\). Exam tip: In factorial expressions, first factor out the smallest common factorial.

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Question 483/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

यदि \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!}=144 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!}=144 \), what is the value of (n)?

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Correct Answer

B. 9

Explanation

Simple Explanation

\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) है। इसलिए \((n+3)^2=144\)। चूँकि फैक्टोरियल के लिए \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, \(n+3=12\), जिससे \(n=9\) मिलता है। \(-12\) लेने पर \(n=-15\) होगा, जो यहाँ मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर पहले रद्द करें। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Hence the expression is \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Therefore, \((n+3)^2=144\). Since \(n\) must be a non-negative integer for the factorials here, \(n+3=12\), giving \(n=9\). The root \(n+3=-12\) gives \(n=-15\), which is not valid. Exam tip: In factorial questions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.

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Question 484/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

\( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!} \) का सरल रूप क्या है?

What is the simplified form of \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!} \)?

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Correct Answer

B. \(3(n+4)(n+3)\)

Explanation

Simple Explanation

\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः \((n+4)(n+3)\) उभयनिष्ठ लेने पर व्यंजक \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 3 गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में नीचे वाले फैक्टोरियल तक क्रमागत गुणनखंड लिखकर पहले काटें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\), while \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Taking \((n+4)(n+3)\) as the common factor gives \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\). Hence, option B is correct. Option D misses the factor 3. Exam tip: In factorial quotients, expand only up to the denominator factorial and cancel first.

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Question 485/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

यदि \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=396 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=396 \), what is the value of (n)?

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Correct Answer

B. 8

Explanation

Simple Explanation

\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः अंतर \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\) होगा। इसलिए \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(11\times10\) होगा, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Their difference is \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), giving \(n=8\). For option 7, the product would be \(11\times10\), not 132. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.

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Question 486/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

यदि \( \frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{11}{12} \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{11}{12} \), what is the value of (n)?

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Correct Answer

B. (11)

Explanation

Simple Explanation

सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है। \( \frac{n}{n+1}=\frac{11}{12} \) से \(n=11\) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \). From \( \frac{n}{n+1}=\frac{11}{12} \), we get \(n=11\).

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Question 487/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

\( \frac{18!}{14!\cdot4!}\div\frac{17!}{13!\cdot4!} \) का सरल मान क्या है?

What is the simplified value of \( \frac{18!}{14!\cdot4!}\div\frac{17!}{13!\cdot4!} \)?

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Correct Answer

A. \(\frac{9}{7}\)

Explanation

Simple Explanation

दिए गए व्यंजक में \(4!\) कट जाता है। फिर \(\frac{18!}{17!}=18\) और \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\) होगा। अतः मान \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\) है। \(\frac{153}{119}\) सही नहीं है, क्योंकि \(\frac{3060}{2380}\) को पूर्णतः सरल करने पर भी \(\frac{9}{7}\) मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर लगातार संख्याओं को सरल करें। / In the given expression, \(4!\) cancels out. Next, \(\frac{18!}{17!}=18\) and \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\). Hence, the value is \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\). \(\frac{153}{119}\) is not fully simplified; it also reduces to \(\frac{9}{7}\). Exam tip: In factorial divisions, cancel common factorial terms first and then simplify consecutive factors.

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Question 488/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

\( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!} \) का सरल रूप क्या है?

What is the simplified form of \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!} \)?

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Correct Answer

B. \(2n^2+2n+2\)

Explanation

Simple Explanation

\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\)। इसी प्रकार, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\)। दोनों पदों को जोड़ने पर \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\) मिलता है। विकल्प A में स्थिर पद \(2\) छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\). Also, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), so \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\). Adding gives \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\). Option A misses the constant term \(2\). Exam tip: in factorial quotients, cancel the common factorial first and then expand the remaining consecutive factors.

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Question 489/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

यदि \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!}=114 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!}=114 \), what is the value of (n)?

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Correct Answer

B. 7

Explanation

Simple Explanation

\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए समीकरण \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\) होगा। इसे सरल करने पर \(2n^2+2n+2=114\), अर्थात \(n^2+n-56=0\) मिलता है। अतः \((n+8)(n-7)=0\), जिससे \(n=7\) या \(-8\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\ge2\) होना चाहिए, इसलिए \(n=7\) सही है। \(n=8\) रखने पर बायाँ पक्ष 146 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\). Simplifying gives \(2n^2+2n+2=114\), or \(n^2+n-56=0\). Hence, \((n+8)(n-7)=0\), so \(n=7\) or \(-8\). Since the factorial expression requires \(n\ge2\), the valid value is \(n=7\). Substituting \(n=8\) gives 146 on the left-hand side, so it is a close but incorrect option. Exam tip: cancel factorials first by expanding only the required consecutive factors.

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Question 490/594 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 55

\( \frac{12!}{6!\cdot6!}-\frac{11!}{5!\cdot6!} \) का मान क्या है?

What is the value of \( \frac{12!}{6!\cdot6!}-\frac{11!}{5!\cdot6!} \)?

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Correct Answer

C. 462

Explanation

Simple Explanation

पहला पद \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\) है। दूसरा पद \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\) है। अतः आवश्यक मान \(924-462=462\) होगा। विकल्प 420 जैसा उत्तर प्रायः फैक्टोरियल पदों को अधूरा सरल करने पर मिलता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल वाले व्यंजकों को पहले \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / The first term is \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\). The second term is \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\). Therefore, the required value is \(924-462=462\). An answer such as 420 can result from incomplete simplification of the factorial terms. Exam tip: Recognise expressions of the form \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as combinations to calculate quickly.

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