Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. हल-समुच्चय संख्या रेखा पर एक अंतराल या किरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाली रैखिक असमिका का हल सामान्यतः संख्या रेखा पर किसी अंतराल या एक दिशा में फैली किरण होता है। जैसे \(x>3\) में 3 से बड़े सभी वास्तविक अंक आते हैं। दो असंबद्ध अंतराल प्रायः द्विघात या अन्य असमिकाओं में मिलते हैं। परीक्षा टिप: खुले वृत्त का अर्थ है कि सीमा शामिल नहीं है। / A linear inequality in one variable usually gives an interval or a ray on the number line. For example, \(x>3\) contains every real number greater than 3. Two disconnected intervals are more typical of quadratic inequalities. Exam tip: an open circle means the boundary value is excluded.
‘अधिकतम 35’ का अर्थ है कि परिणाम 35 से कम या उसके बराबर होगा, इसलिए असमिका \(4x+3\leq 35\) है। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\leq 32\) और 4 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\leq\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘At most 35’ means the result is less than or equal to 35, so the inequality is \(4x+3\leq 35\). Subtracting 3 from both sides gives \(4x\leq 32\), and dividing by the positive number 4 gives \(x\leq 8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: use \(\leq\) for ‘at most’ and \(\geq\) for ‘at least’.
यदि पेन की संख्या को x मानें, तो बची हुई राशि 120-15x होगी। शर्त के अनुसार, \(120-15x\geq 30\), इसलिए \(-15x\geq -90\) और \(x\leq 6\)। पेन की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, अतः अधिकतम 6 पेन खरीदे जा सकते हैं। 7 पेन खरीदने पर केवल 15 रुपये बचेंगे, जो 30 रुपये से कम हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है। / Let the number of pens be x. The remaining money is \(120-15x\), and the saving condition gives \(120-15x\geq 30\). Thus, \(-15x\geq -90\), so \(x\leq 6\). Since the number of pens must be a whole number, the maximum is 6. Buying 7 pens would leave only 15 rupees, which is less than the required 30 rupees. Exam tip: When an inequality is divided by a negative number, its sign is reversed.
मान लीजिए कि और बैठने वाले यात्रियों की संख्या \(x\) है। बस की क्षमता के अनुसार \(x+19\leq52\), इसलिए \(x\leq33\)। अतः अधिकतम 33 और यात्री बैठ सकते हैं। विकल्प 34 गलत है, क्योंकि तब कुल यात्री 53 हो जाएंगे, जो बस की क्षमता से अधिक है। परीक्षा में “अधिकतम” या “at most” का अर्थ \(\leq\) लगाना याद रखें। / Let \(x\) be the number of additional passengers. The capacity condition is \(x+19\leq52\), so \(x\leq33\). Therefore, at most 33 more passengers can sit. Option 34 is incorrect because it would make the total 53 passengers, exceeding the capacity of the bus. In an exam, remember that “at most” translates to \(\leq\).
कोष्ठक खोलने पर \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\) मिलता है। अतः \(4x-17\geq 7\), इसलिए \(4x\geq 24\) और \(x\geq 6\)। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में 6 को शामिल करने या न करने की शर्त गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\). Thus, \(4x-17\geq 7\), so \(4x\geq 24\) and \(x\geq 6\). Option A reverses the inequality, while options C and D incorrectly include or exclude the boundary value 6. Exam tip: When dividing an inequality by a positive number, its sign does not reverse.
कोष्ठक खोलने पर \\(10-2x+3>3x-12\\), अर्थात् \\(13-2x>3x-12\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(12\\) जोड़ने पर \\(25>5x\\) और 5 से भाग देने पर \\(x<5\\) प्राप्त होता है। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B गलत दिशा दर्शाता है, जबकि C और D में बराबर होने की स्थिति अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \\(10-2x+3>3x-12\\), or \\(13-2x>3x-12\\). Adding \\(12\\) to both sides gives \\(25>5x\\); dividing by the positive number 5 yields \\(x<5\\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Option B gives the opposite direction, while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हर पद का समान हर 12 करने पर \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), अर्थात् \(\frac{5x}{12}\leq 5\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(\frac{12}{5}\) से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 12\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(x=12\) को छोड़ दिया गया है, जबकि मूल असमानता में बराबरी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Using the common denominator 12, we get \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), so \(\frac{5x}{12}\leq 5\). Multiplying both sides by the positive number \(\frac{12}{5}\) does not reverse the inequality, giving \(x\leq 12\). Hence, option B is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=12\), even though equality is included in the original inequality. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its direction unchanged.
हर का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(5x+6>2x+54\)। अतः \(3x>48\), इसलिए \(x>16\)। इसीलिए विकल्प A सही है; \(x\geq16\) गलत है क्योंकि \(x=16\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जबकि यहाँ सख्त असमानता है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The least common denominator is 6. Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+6>2x+54\). Thus, \(3x>48\), so \(x>16\). Therefore, option A is correct. The distractor \(x\geq16\) is incorrect because substituting \(x=16\) makes both sides equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: when an inequality is multiplied or divided by a negative number, its sign must be reversed.
(2) से गुणा करने पर \(-10\leq x-1<8\) मिलता है। फिर (1) जोड़कर \(-9\leq x<9\) नहीं, सही \(-9\leq x<9\) होगा। / Multiplying by (2) gives \(-10\leq x-1<8\). Adding (1) gives \(-9\leq x<9\), so check endpoints carefully.
असमानता \(-3\le x<4\) में \(-3\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\le\) का चिन्ह है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) का चिन्ह है। इसलिए \(-3\) से \(3\) तक के सभी पूर्णांक हल हैं, अर्थात विकल्प C सही है। विकल्प B में \(4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा में बंद सिरा शामिल और खुला सिरा बहिष्कृत करना याद रखें। / In the inequality \(-3\le x<4\), \(-3\) is included because the symbol is \(\le\), while \(4\) is excluded because the symbol is \(<\). Thus, all integers from \(-3\) through \(3\) are solutions, so option C is correct. Option B is incorrect because it includes \(4\). In an exam, remember that a closed endpoint is included and an open endpoint is excluded.
