एक पासवर्ड में पहले दो स्थानों पर भिन्न बड़े अंग्रेजी अक्षर और अगले तीन स्थानों पर भिन्न अंक रखे जाते हैं। यदि अंक (0) पहले अंक-स्थान पर नहीं हो सकता तो कुल पासवर्ड कितने होंगे?
The letters have (26) and (25) choices. The first digit-place has (9) choices and then (9,8) choices remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(26 \times 25 \times 9 \times 9 \times 8\). The letters have (26) and (25) choices. The first digit-place has (9) choices and then (9,8) choices remain.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं। पहले अंक-स्थान पर (9) और फिर (9,8) विकल्प मिलते हैं।
The thousands digit is from (3) to (8) and the units digit is odd. Split cases according to whether the thousands digit is odd or even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (570). The thousands digit is from (3) to (8) and the units digit is odd. Split cases according to whether the thousands digit is odd or even.
Step 3
Exam Tip
हजारों का अंक (3) से (8) तक होगा और इकाई अंक विषम होगा। हजारों के अंक के विषम या सम होने के अनुसार मामले बाँटें।
एक परीक्षा कोड में (3) अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षर दोहराए जा सकते हैं लेकिन अंक नहीं दोहरेंगे। यदि कोड में कम से कम एक अक्षर स्वर होना चाहिए तो कितने कोड बनेंगे?
Total letter arrangements are \(26^3\) and no-vowel arrangements are \(21^3\). Multiply the difference by \(10 \times 9\) digit choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (421200). Total letter arrangements are \(26^3\) and no-vowel arrangements are \(21^3\). Multiply the difference by \(10 \times 9\) digit choices.
Step 3
Exam Tip
कुल अक्षर-व्यवस्थाएँ \(26^3\) और बिना स्वर \(21^3\) हैं। अंतर को \(10 \times 9\) अंक-विकल्पों से गुणा करें।
Add selections from exactly two categories and all three categories. This gives (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (154). Add selections from exactly two categories and all three categories. This gives (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)).
Step 3
Exam Tip
दो श्रेणियों और तीनों श्रेणियों के चयन जोड़ें। (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)) मिलता है।
एक छात्र को (4) गणित पुस्तकों, (3) विज्ञान पुस्तकों और (5) भाषा पुस्तकों में से एक पुस्तक चुननी है। वह गणित या विज्ञान से चुन सकता है, पर भाषा तभी चुनेगा जब साथ में एक शब्दकोश भी चुनेगा। शब्दकोश (2) प्रकार के हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
एक वाहन संख्या में पहले दो स्थानों पर भिन्न अक्षर और अगले चार स्थानों पर अंक हैं। अंक दोहरा सकते हैं, पर सभी चार अंक समान नहीं हो सकते। कुल वाहन संख्याएँ कितनी होंगी?
एक समिति के पदनाम के लिए पहले रंग, फिर आकार, फिर प्रतीक चुना जाता है। (7) रंग, (4) आकार और (6) प्रतीक हैं। यदि लाल रंग के साथ वृत्त आकार नहीं हो सकता, तो कितने पदनाम बनेंगे?
Subtract the forbidden \(1 \times 1 \times 6\) from total \(7 \times 4 \times 6\). Identifying the forbidden case is the quick exam method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (162). Subtract the forbidden \(1 \times 1 \times 6\) from total \(7 \times 4 \times 6\). Identifying the forbidden case is the quick exam method.
Step 3
Exam Tip
कुल \(7 \times 4 \times 6\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 6\) घटाएँ। निषिद्ध स्थिति पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है।
एक लॉकर कोड में चार अंक हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और ठीक दो अंक समान होने चाहिए, जबकि बाकी दो अंक अलग-अलग और उनसे भी अलग हों। कुल कोड कितने होंगे?
Divisibility by (4) depends on the last two digits. Count valid ending pairs while separating cases where (0) remains for the first place.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (760). Divisibility by (4) depends on the last two digits. Count valid ending pairs while separating cases where (0) remains for the first place.
Step 3
Exam Tip
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता तय होगी। वैध अंतिम-जोड़ों में पहले अंक के (0) होने की स्थिति अलग गिनें।
एक ऑनलाइन प्रपत्र में (5) वैकल्पिक खंड हैं। प्रत्येक खंड भरा या खाली छोड़ा जा सकता है, पर कम से कम एक खंड भरना अनिवार्य है। यदि पहला और दूसरा खंड साथ-साथ नहीं भरे जा सकते, तो कुल तरीके कितने हैं?
एक संकेत में (3) झंडे एक के ऊपर एक लगाए जाते हैं। (6) अलग झंडों में से चुने जाते हैं और नीला झंडा चुना जाए तो वह सबसे ऊपर नहीं हो सकता। कुल संकेत कितने बनेंगे?
Subtract arrangements with blue on top, \(5 \times 4\), from total \(6 \times 5 \times 4\). Subtracting forbidden cases is simpler.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (100). Subtract arrangements with blue on top, \(5 \times 4\), from total \(6 \times 5 \times 4\). Subtracting forbidden cases is simpler.
Step 3
Exam Tip
कुल व्यवस्थाओं \(6 \times 5 \times 4\) में से नीला ऊपर होने वाली \(5 \times 4\) व्यवस्थाएँ घटाएँ। प्रतिबंधित स्थिति घटाना सरल है।
एक प्रश्नपत्र में भाग (A) से (2) में से एक प्रश्न, भाग (B) से (4) में से दो प्रश्न और भाग (C) से (3) में से एक प्रश्न करना है। भाग (B) के पहले दो प्रश्न साथ-साथ नहीं चुने जा सकते। कुल चयन कितने हैं?
एक ऐप पहचान संख्या में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहरा सकते हैं, अंक दोहरा सकते हैं, पर अंतिम अंक सम होना चाहिए और दोनों अक्षर समान नहीं होने चाहिए। कुल पहचान संख्याएँ कितनी होंगी?
The letters have \(26 \times 25\) choices. For the three digits, the last has (5) choices and the other two have (10,10) choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (325000). The letters have \(26 \times 25\) choices. For the three digits, the last has (5) choices and the other two have (10,10) choices.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए \(26 \times 25\) विकल्प हैं। तीन अंकों में अंतिम के लिए (5) और बाकी दो के लिए (10,10) विकल्प हैं।
एक पुस्तकालय कार्ड में (4) स्थान हैं। प्रत्येक स्थान पर (A,B,C,D,E) में से एक अक्षर आता है। यदि (A) कम से कम एक बार और (E) बिल्कुल नहीं आना चाहिए, तो कितने कार्ड बनेंगे?
Subtract the cases containing three consecutive (1)'s from total \(2^6\) by organized counting. For short strings, position-based counting is reliable.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (44). Subtract the cases containing three consecutive (1)'s from total \(2^6\) by organized counting. For short strings, position-based counting is reliable.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^6\) से लगातार तीन (1) वाले मामलों को व्यवस्थित गिनकर घटाएँ। छोटे अनुक्रमों में स्थिति आधारित गिनती सुरक्षित रहती है।
The units digit is fixed as (9). The thousands digit is from (2,4,6,8), and the middle two places use the remaining (4) digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (48). The units digit is fixed as (9). The thousands digit is from (2,4,6,8), and the middle two places use the remaining (4) digits.
Step 3
Exam Tip
इकाई अंक निश्चित (9) है। हजारों स्थान (2,4,6,8) में से होगा और बीच के दो स्थान शेष (4) अंकों से भरेंगे।
एक ड्रेस कोड में (5) शर्ट, (4) पैंट और (3) जैकेट हैं। जैकेट वैकल्पिक है, पर नीली शर्ट के साथ काली पैंट नहीं पहनी जा सकती। यदि हर बार शर्ट और पैंट अनिवार्य हैं, तो कुल पोशाकें कितनी होंगी?
There are (4) jacket choices because wearing none is also a choice. Subtract forbidden \(1 \times 1 \times 4\) from total \(5 \times 4 \times 4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (76). There are (4) jacket choices because wearing none is also a choice. Subtract forbidden \(1 \times 1 \times 4\) from total \(5 \times 4 \times 4\).
Step 3
Exam Tip
जैकेट के लिए (4) विकल्प हैं क्योंकि न पहनना भी विकल्प है। कुल \(5 \times 4 \times 4\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 4\) घटाएँ।
एक यूआरएल कोड में (3) छोटे अक्षर और (2) प्रतीक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जाएँगे और प्रतीक (4) उपलब्ध प्रतीकों में से दो अलग-अलग स्थानों पर रखे जाएँगे। कुल कोड कितने होंगे?
एक भवन में भूतल से (5)वीं मंजिल तक जाने के लिए लिफ्ट या सीढ़ी चुनी जा सकती है। प्रत्येक मंजिल के बीच (2) विकल्प हैं, पर लगातार दो बार सीढ़ी नहीं चुनी जा सकती। कुल तरीकों की संख्या क्या है?
एक सर्वे में (4) प्रश्न हैं और हर प्रश्न के (3) उत्तर विकल्प हैं। यदि पहले दो प्रश्नों के उत्तर समान नहीं हो सकते और अंतिम दो प्रश्नों के उत्तर समान होने चाहिए, तो कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
The first question has (3) choices, the second has (2), the third has (3), and the fourth matches the third. Thus \(3 \times 2 \times 3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (18). The first question has (3) choices, the second has (2), the third has (3), and the fourth matches the third. Thus \(3 \times 2 \times 3\).
Step 3
Exam Tip
पहले प्रश्न के (3), दूसरे के (2), तीसरे के (3) और चौथा तीसरे जैसा होगा। इसलिए \(3 \times 2 \times 3\) मिलता है।
एक खेल टीम की जर्सी में (8) रंग और (5) नंबर-शैलियाँ हैं। यदि सुनहरा रंग केवल विषम नंबर-शैली के साथ और चाँदी रंग केवल सम नंबर-शैली के साथ चुना जा सकता है, तो कुल जर्सियाँ कितनी होंगी?
The number must be even and the digit sum divisible by (3). Count choices for hundreds and tens according to the final even digit.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (92). The number must be even and the digit sum divisible by (3). Count choices for hundreds and tens according to the final even digit.
Step 3
Exam Tip
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। अंतिम सम अंक के अनुसार सैकड़ों और दहाइयों के विकल्प गिनें।
एक प्रवेश टिकट में (2) अक्षर, (1) रंग और (2) अंक हैं। अक्षर भिन्न हैं, अंक भिन्न हैं, और यदि रंग लाल है तो पहला अंक (0) नहीं हो सकता। (3) रंग उपलब्ध हैं। कुल टिकट कितने होंगे?
Letters have \(26 \times 25\) choices. Red gives \(9 \times 9\) digit choices, and the other two colors give \(10 \times 9\) choices each.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (175500). Letters have \(26 \times 25\) choices. Red gives \(9 \times 9\) digit choices, and the other two colors give \(10 \times 9\) choices each.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के \(26 \times 25\) विकल्प हैं। लाल के लिए \(9 \times 9\) और बाकी दो रंगों के लिए \(10 \times 9\) अंक-विकल्प हैं।
एक मोबाइल अनलॉक पैटर्न में (4) अलग बिंदु चुने जाते हैं। पहले बिंदु के लिए कोने के (4) बिंदु नहीं चुने जा सकते। कुल पैटर्न कितने होंगे यदि कुल (9) बिंदु हैं?
एक कोड में (4) अक्षर हैं। (26) अक्षरों में से केवल व्यंजन इस्तेमाल होंगे और कोई अक्षर दोहराया नहीं जाएगा। यदि पहला अक्षर (B) नहीं हो सकता, तो कुल कोड कितने होंगे?
एक भोजन पैकेज में (1) पेय, (1) स्नैक और (1) मिठाई चुनी जाती है। (5) पेय, (6) स्नैक और (4) मिठाइयाँ हैं। यदि चॉकलेट मिठाई के साथ कॉफी पेय नहीं लिया जा सकता, तो कुल पैकेज कितने हैं?
Total packages are \(5 \times 6 \times 4\). Subtract (6) snack choices paired with the forbidden coffee-chocolate combination.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (114). Total packages are \(5 \times 6 \times 4\). Subtract (6) snack choices paired with the forbidden coffee-chocolate combination.
Step 3
Exam Tip
कुल \(5 \times 6 \times 4\) पैकेज हैं। निषिद्ध कॉफी-चॉकलेट के साथ (6) स्नैक विकल्प घटाएँ।
Total arrangements are \(7 \times 6 \times 5 \times 4\). For the thousands and units positions, exactly half have the thousands digit larger.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (420). Total arrangements are \(7 \times 6 \times 5 \times 4\). For the thousands and units positions, exactly half have the thousands digit larger.
Step 3
Exam Tip
चार स्थानों की कुल व्यवस्थाएँ \(7 \times 6 \times 5 \times 4\) हैं। हजारों और इकाई में आधी व्यवस्थाओं में हजारों अंक बड़ा होगा।
एक पहचान टैग में (2) रंग और (2) आकार क्रम से चुने जाते हैं। रंग अलग-अलग होने चाहिए और आकार दोहरा सकते हैं। (6) रंग और (3) आकार हैं। यदि पहला रंग लाल है तो दोनों आकार समान नहीं हो सकते। कुल टैग कितने होंगे?
If the special photo is not used, arrangements are \(6 \times 5 \times 4 \times 3\). If used, it has (2) end choices and the rest have \(6 \times 5 \times 4\) choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (840). If the special photo is not used, arrangements are \(6 \times 5 \times 4 \times 3\). If used, it has (2) end choices and the rest have \(6 \times 5 \times 4\) choices.
Step 3
Exam Tip
विशेष फोटो न लगे तो \(6 \times 5 \times 4 \times 3\) व्यवस्थाएँ हैं। लगे तो उसके (2) किनारे और बाकी \(6 \times 5 \times 4\) विकल्प हैं।
एक स्कूल आईडी में (3) अंकों के बाद (2) अक्षर हैं। अंक दोहराए जा सकते हैं, अक्षर भिन्न हैं। यदि तीनों अंक समान नहीं होने चाहिए और पहला अक्षर स्वर होना चाहिए, तो कुल आईडी कितनी होंगी?
The digit part has \(10^3-10\) choices. For letters, the first has (5) vowel choices and the second has (25) choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (128260). The digit part has \(10^3-10\) choices. For letters, the first has (5) vowel choices and the second has (25) choices.
Step 3
Exam Tip
अंकों के लिए \(10^3-10\) विकल्प हैं। अक्षरों में पहले स्वर के (5) और दूसरे के (25) विकल्प हैं।
एक परीक्षा सीट कोड में पंक्ति (1) से (12), स्तंभ (1) से (8), और खंड (A,B,C) है। यदि खंड (C) में केवल सम पंक्ति संख्या मान्य है, तो कुल सीट कोड कितने होंगे?
The first digit has (5) odd choices and the last has (5) even choices. The middle four positions are filled from the remaining (8) digits in order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (67200). The first digit has (5) odd choices and the last has (5) even choices. The middle four positions are filled from the remaining (8) digits in order.
Step 3
Exam Tip
पहले अंक के (5) विषम विकल्प और अंतिम के (5) सम विकल्प हैं। बीच के चार स्थान शेष (8) अंकों से क्रम में भरते हैं।
एक प्रश्न बैंक में (5) बीजगणित, (4) ज्यामिति और (3) गणना प्रश्न हैं। ठीक (3) प्रश्नों का सेट बनाना है जिसमें कम से कम एक बीजगणित और कम से कम एक ज्यामिति प्रश्न हो। कुल सेट कितने हैं?
Count type distributions ((1,1,1)), ((2,1,0)), and ((1,2,0)). Their sum is \(5 \times 4 \times 3+\binom{5}{2} \times 4+5 \times \binom{4}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (115). Count type distributions ((1,1,1)), ((2,1,0)), and ((1,2,0)). Their sum is \(5 \times 4 \times 3+\binom{5}{2} \times 4+5 \times \binom{4}{2}\).
Step 3
Exam Tip
प्रकार-वितरण ((1,1,1)), ((2,1,0)), और ((1,2,0)) गिनें। इनका योग \(5 \times 4 \times 3+\binom{5}{2} \times 4+5 \times \binom{4}{2}\) है।
There are two subject patterns for the first and last positions. The count is (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (460800). There are two subject patterns for the first and last positions. The count is (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!).
Step 3
Exam Tip
पहली-आखिरी विषय व्यवस्था दो प्रकार की है। गिनती (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!) होगी।
एक शब्दकोश क्रमांक में (3) स्थान हैं। हर स्थान पर (7) अक्षरों में से कोई भी आ सकता है। यदि कम से कम दो स्थानों पर एक ही अक्षर होना चाहिए, तो कुल क्रमांक कितने होंगे?
एक दुकान में (4) प्रकार के पेन, (5) प्रकार की कॉपी और (3) प्रकार के कवर हैं। छात्र कम से कम एक वस्तु और अधिकतम एक वस्तु हर प्रकार से चुनता है। यदि पेन चुना गया तो कवर भी चुनना जरूरी है, तो कुल चयन कितने होंगे?
Notebook has (6) choices and cover has (4) choices including none. Add valid cases separately for no pen and for choosing a pen.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (83). Notebook has (6) choices and cover has (4) choices including none. Add valid cases separately for no pen and for choosing a pen.
Step 3
Exam Tip
कॉपी के लिए (6) विकल्प हैं और कवर के लिए (4) विकल्प हैं। पेन न चुनने और पेन चुनने के वैध मामलों को अलग जोड़ें।
एक ऑनलाइन टेस्ट में (6) सही-गलत प्रश्न हैं। उत्तर-पत्र में ठीक (4) उत्तर सही होने चाहिए और पहले प्रश्न का उत्तर सही होना चाहिए। कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
The thousands digit is from (1,2,3), and the units digit is odd from (1,3,5). Separate cases according to whether the thousands digit is odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (180). The thousands digit is from (1,2,3), and the units digit is odd from (1,3,5). Separate cases according to whether the thousands digit is odd.
Step 3
Exam Tip
हजारों स्थान (1,2,3) में से होगा और इकाई स्थान (1,3,5) में से विषम होगा। हजारों अंक विषम होने और न होने के मामले अलग करें।
एक बैग कोड में (2) रंग और (1) आकार है। (5) रंगों में से रंग क्रम सहित चुने जाते हैं और दोहराए नहीं जाते। (4) आकार हैं। यदि हरा रंग चुना गया तो आकार गोल नहीं हो सकता। कुल कोड कितने होंगे?
एक प्रतियोगिता में (8) छात्रों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय पुरस्कार दिए जाते हैं। दो विशेष छात्र दोनों पुरस्कार-सूची में साथ नहीं आ सकते। कुल पुरस्कार-वितरण कितने होंगे?
Total assignments are \(8 \times 7 \times 6\). If both special students appear, choose the third from (6) students and arrange the (3) winners.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (324). Total assignments are \(8 \times 7 \times 6\). If both special students appear, choose the third from (6) students and arrange the (3) winners.
Step 3
Exam Tip
कुल \(8 \times 7 \times 6\) वितरण हैं। दोनों विशेष छात्र आने पर तीसरा स्थान (6) छात्रों में से और क्रम (3!) होगा।
एक डिब्बे में (4) लाल, (3) नीली और (2) हरी गेंदें अलग-अलग हैं। क्रम सहित (3) गेंदें निकाली जाती हैं। पहली गेंद लाल नहीं और तीसरी गेंद हरी होनी चाहिए। बिना वापसी के कुल तरीके कितने हैं?
Fix the third ball as green and count first-place validity separately. The middle choices differ when the first ball is green or blue.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (72). Fix the third ball as green and count first-place validity separately. The middle choices differ when the first ball is green or blue.
Step 3
Exam Tip
तीसरी गेंद के हरे होने को तय करके पहले स्थान की वैधता अलग देखें। पहली हरी या नीली होने पर बीच के विकल्प अलग होते हैं।
एक सुरक्षा प्रश्न में (5) संकेत-चित्रों में से (3) क्रम से चुने जाते हैं। कोई चित्र दोहराया नहीं जाता और तारा चित्र चुना जाए तो वह दूसरे स्थान पर होना चाहिए। कुल उत्तर कितने होंगे?
If star is not chosen, there are \(4 \times 3 \times 2\) answers. If star is chosen, the second position is fixed and the other two positions have \(4 \times 3\) choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (36). If star is not chosen, there are \(4 \times 3 \times 2\) answers. If star is chosen, the second position is fixed and the other two positions have \(4 \times 3\) choices.
Step 3
Exam Tip
तारा न चुने जाने पर \(4 \times 3 \times 2\) उत्तर हैं। तारा चुने जाने पर दूसरा स्थान निश्चित और बाकी \(4 \times 3\) विकल्प हैं।
