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ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। यह माध्यम स्तर की सबसे सामान्य गलती है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. This is the most common medium-level mistake.
पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें इसलिए (x<4) मिलता है। चिन्ह तभी उलटेगा जब भाग ऋणात्मक संख्या से हो। / Subtract (5) first and then divide by (2) so (x<4). The sign reverses only when division is by a negative number.
(7) घटाने पर \(-4x\le 12\) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\ge -3\) होगा। ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / After subtracting (7) we get \(-4x\le 12\) and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\ge -3\). Pay special attention to negative coefficients.
(x=2) रखने पर (5-2=3) और \(3\ge 3\) सत्य है। विकल्प जाँचते समय बराबरी वाले चिन्ह को न भूलें। / Putting (x=2) gives (5-2=3) and \(3\ge 3\) is true. While checking options do not ignore equality signs.
A. (5) पर भरा बिंदु और बाईं ओर छाया/closed dot at (5) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (5) पर भरा बिंदु बनेगा। छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। / The symbol \(\le\) includes equality so a closed dot is placed at (5). Smaller numbers lie to the left.
(3) शामिल है इसलिए ([ \ ) लगेगा और (8) शामिल नहीं है इसलिए (\ )) लगेगा। सीमा बिंदुओं पर बराबरी जाँचें। / The value (3) is included so use ([ \ ) and (8) is not included so use (\ )). Check equality at endpoints.
\(x=4\) रखने पर \(4>-2\) सत्य है और \(4\le 4\) भी सत्य है, क्योंकि \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। \(x=-2\) पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता, क्योंकि वहाँ \(x>-2\) है, \(x\ge -2\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: संयुक्त असमानता में प्रत्येक विकल्प को दोनों शर्तों में अलग-अलग जाँचें। / For \(x=4\), both \(4>-2\) and \(4\le 4\) are true; equality is allowed in \(\le\). The value \(x=-2\) fails the first inequality because it requires \(x>-2\), not \(x\ge -2\). Exam tip: test each option against both conditions separately.
दोनों पक्षों से (3) घटाने पर \(x\ge 7\) मिलता है। समान संख्या घटाने से चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (3) from both sides gives \(x\ge 7\). Subtracting the same number does not change the sign.
(2) जोड़ने पर \(\frac{x}{3}>3\) और (3) से गुणा करने पर (x>9) मिलता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है। / Adding (2) gives \(\frac{x}{3}>3\) and multiplying by (3) gives (x>9). Multiplication by a positive number keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों से समान संख्या घटाने पर असमानता का प्रकार वही रहता है। \(\le\) में बराबरी की संभावना बनी रहती है। / Subtracting the same number from both sides keeps the inequality type unchanged. The symbol \(\le\) still allows equality.
विकल्प A में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(x+4<10\) से \(x<6\) प्राप्त होता है। विकल्प B और D को सरल करने पर \(x>6\) मिलता है। विकल्प C में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(-x<-6\) से \(x>6\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / In option A, subtracting 4 from both sides of \(x+4<10\) gives \(x<6\). Options B and D simplify to \(x>6\). In option C, dividing by the negative number \(-1\) reverses the inequality, so \(-x<-6\) also gives \(x>6\). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
हल \(2x\ge 8\) यानी \(x\ge 4\) है इसलिए न्यूनतम पूर्णांक (4) है। पहले वास्तविक हल निकालें फिर पूर्णांक चुनें। / The solution is \(2x\ge 8\) so \(x\ge 4\) and the least integer is (4). First find the real solution and then choose the integer.
(7-2x>1) से (-2x>-6) मिलता है और (-2) से भाग देने पर (x<3) होगा। ऋणात्मक भाग में चिन्ह पलटता है। / From (7-2x>1) we get (-2x>-6) and dividing by (-2) gives (x<3). The sign reverses during negative division.
\(x\ge -1\) में (-1) शामिल है और उससे बड़ी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए अंतराल \([-1,\infty\)) है। / In \(x\ge -1\), the value (-1) and all greater numbers are included. Therefore the interval is \([-1,\infty\)).
(5) धनात्मक है इसलिए (5) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह बनाए रखें। / Since (5) is positive, dividing by (5) does not change the sign and gives \(x\le 4\). Keep the equality part of the sign.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। इसलिए (ac>bc) सही है। / Multiplying by a positive number does not change the direction of inequality. Therefore (ac>bc) is correct.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x-3<9\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3\) जोड़ने पर \(2x<12\), और धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B गलत है क्योंकि यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से भाग नहीं दिया गया, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(2x-3<9\). Adding \(3\) to both sides gives \(2x<12\), and dividing by the positive number \(2\) gives \(x<6\). Therefore, option A is correct. Option B is wrong because no division by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(x) घटाने और (2) घटाने पर \(2x\ge 8\) इसलिए \(x\ge 4\) है। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (x) and (2) gives \(2x\ge 8\) so \(x\ge 4\). Dividing by positive (2) does not change the sign.
सभी भागों से (1) घटाने पर \(-6\le 2x<8\) और (2) से भाग देने पर \(-3\le x<4\) मिलता है। संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-6\le 2x<8\), and dividing by (2) gives \(-3\le x<4\). Change both bounds together in a compound inequality.
A. (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/open dot at (2) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
(x<2) में (2) शामिल नहीं होता और (2) से छोटी संख्याएँ बाईं तरफ होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और बाईं छाया सही है। / In (x<2), the value (2) is not included and numbers smaller than (2) lie to the left. Hence an open dot with left shading is correct.
कथन में जोड़ने और कम होने की बात है इसलिए (x+8<20) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रिया पहचानें। / The statement says add and less than, so it becomes (x+8<20). While translating words to symbols, identify the operation carefully.
अधिक नहीं का अर्थ \(\le\) होता है इसलिए \(3y\le 15\)। भाषा आधारित प्रश्नों में ऐसे वाक्यांश याद रखें। / Not more than means \(\le\), so \(3y\le 15\). Remember such phrases in language-based questions.
(6) घटाने पर \(-3x\le 6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक विभाजन में चिन्ह उलटें। / Subtracting (6) gives \(-3x\le 6\), and dividing by (-3) gives \(x\ge -2\). Reverse the sign in negative division.
(x=0) रखने पर (-0+2=2) और \(2\ge 2\) सत्य है। बराबरी वाली असमानता में समान मान भी मान्य है। / Putting (x=0) gives (-0+2=2) and \(2\ge 2\) is true. Equality is allowed in inequalities with equality signs.
असमानता से (2x<8) यानी (x<4) मिलता है इसलिए (x=3) हल है। लेकिन (x=4) चाहिए था इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं? / The inequality gives (2x<8), so (x<4). Among the given values (0,2,3,-1), all satisfy it, so no listed value is not a solution.
(3) से गुणा करने पर \(2x-1\le 15\) और फिर \(2x\le 16\) इसलिए \(x\le 8\)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives \(2x-1\le 15\), then \(2x\le 16\), so \(x\le 8\). Multiplication by a positive denominator does not change the sign.
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(5-x>6\) मिलता है, इसलिए \(-x>1\)। अब दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता की दिशा बदल जाती है और \(x<-1\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 2 gives \(5-x>6\), so \(-x>1\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमिका \(x\ge 1\) के दोनों पक्षों में समान संख्या 2 जोड़ने पर \(x+2\ge 3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A प्रत्येक \(x\ge 1\) के लिए सत्य है। विकल्प B, C और D हमेशा सत्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए \(x=1\) रखने पर B और D असत्य हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमिका की दिशा नहीं बदलती। / Adding the same number, 2, to both sides of the given inequality \(x\ge 1\) gives \(x+2\ge 3\). Hence, option A is true for every value of \(x\ge 1\). Options B, C, and D are not always true; for example, when \(x=1\), B and D are false. Exam tip: Adding or subtracting the same number on both sides of an inequality does not reverse its sign.
D. (x) (12) से अधिक या बराबर है/(x) is greater than or equal to (12)
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) का अर्थ अधिक या बराबर होता है। प्रतीक पढ़ने की शुद्धता शब्द आधारित प्रश्नों में जरूरी है। / The symbol \(\ge\) means greater than or equal to. Accurate reading of symbols is essential in word-based questions.
असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या 4 जोड़ने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। इसलिए \(x<y\) से \(x+4<y+4\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि जोड़ने से बड़ा-छोटा संबंध उलटता नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Adding the same number, 4, to both sides of an inequality does not change its direction. Therefore, \(x<y\) implies \(x+4<y+4\). Option B is incorrect because adding a number does not reverse the order. Exam tip: adding or subtracting the same quantity on both sides preserves the inequality sign.
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(x-3>4\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(x>7\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर B है। विकल्प C में असमानता का चिह्न गलत दिशा में बदल दिया गया है; चिह्न तभी उलटता है जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Dividing both sides by 2 gives \(x-3>4\). Adding 3 to both sides yields \(x>7\), so option B is correct. In option C, the inequality sign has been incorrectly reversed; the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: division by a positive number does not change the inequality sign.
कोष्ठक खोलने पर \(3x+6\le 2x+11\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(x+6\le 11\), अतः \(x\le 5\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया है, इसलिए चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: पहले कोष्ठक खोलें और चर वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Expanding the bracket gives \(3x+6\le 2x+11\). Subtracting \(2x\) from both sides yields \(x+6\le 11\), so \(x\le 5\). Option B reverses the inequality incorrectly; the sign does not change because we have not multiplied or divided by a negative number. Exam tip: expand brackets first and collect variable terms on one side.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता इसलिए \(x^2\ge 0\) हमेशा सत्य है। यह असमानता का मूल विचार समझाता है। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge 0\) is always true. This shows a basic idea of inequalities.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए (x=5) मान्य है। सख्त चिन्हों (<) और (>) में सीमा शामिल नहीं होती। / The symbol \(\le\) includes equality, so (x=5) is allowed. Strict signs (<) and (>) do not include the boundary.
असमानता \(x-7\ge -2\) में दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(x\ge -2+7=5\) प्राप्त होता है। इसलिए सही हल \(x\ge 5\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदल दी गई है; केवल जोड़ने या घटाने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: असमानता की दिशा तभी बदलती है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / For the inequality \(x-7\ge -2\), add 7 to both sides: \(x\ge -2+7=5\). Therefore, the solution is \(x\ge 5\). Option B is incorrect because adding a number does not reverse the inequality sign. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
(10) घटाने पर (-2x<-6) और (-2) से भाग देने पर (x>3) होता है। ऋणात्मक भाग चिन्ह पलट देता है। / Subtracting (10) gives (-2x<-6), and dividing by (-2) gives (x>3). Negative division reverses the sign.
दिए गए असमिका में \\(x>1\\) का अर्थ है कि \\(x\\), 1 से बड़ा होना चाहिए; इसलिए \\(x=1\\) स्वीकार्य नहीं है। दूसरी ओर, \\(x\\le 6\\) के कारण \\(x=6\\) मान्य है, और 2 तथा 5 भी 1 और 6 के बीच आते हैं। परीक्षा-युक्ति: खुले चिह्न \\(>\\) या \\(<\\) पर सीमा शामिल नहीं होती, जबकि \\(\\le\\) या \\(\\ge\\) पर सीमा शामिल होती है। / The inequality \\(x>1\\) requires \\(x\\) to be strictly greater than 1, so \\(x=1\\) is not allowed. The value \\(x=6\\) is allowed because the condition is \\(x\\le 6\\), and 2 and 5 also lie within the permitted range. Exam tip: An open inequality sign, \\(>\\) or \\(<\\), excludes the boundary, whereas \\(\\le\\) or \\(\\ge\\) includes it.
(\(- \infty,2]\) में (2) शामिल है और उससे छोटी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए \(x\le 2\) सही है। / The interval (\(- \infty,2]\) includes (2) and all smaller numbers. Hence \(x\le 2\) is correct.
(-2) से भाग देने पर असमानता उलटती है इसलिए \(x\le -5\)। नकारात्मक गुणांक वाले प्रश्न में चिन्ह बदलना अनिवार्य है। / Dividing by (-2) reverses the inequality, so \(x\le -5\). In questions with a negative coefficient, changing the sign is essential.
यह असमानता का संचरण गुण है इसलिए \(a\le c\) निष्कर्ष निकलेगा। श्रृंखला असमानताओं में क्रम को ध्यान से पढ़ें। / This is the transitive property of inequalities, so \(a\le c\) follows. Read the order carefully in chain inequalities.
कम से कम का अर्थ (9) या उससे अधिक होता है इसलिए \(x\ge 9\) है। शब्दों वाले प्रश्नों में कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least means (9) or more, so the inequality is \(x\ge 9\). In word problems connect at least with \(\ge\).
(4) घटाने पर \(-5x\ge -15\) मिलता है और (-5) से भाग देने पर \(x\le 3\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह उलटें। / Subtracting (4) gives \(-5x\ge -15\), and dividing by (-5) gives \(x\le 3\). Reverse the sign when dividing by a negative number.
संभव मान (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) पूर्णांक हैं। बंद और खुली सीमा को अलग-अलग जाँचें। / The possible values are (2,3,4,5,6), so there are (5) integers. Check closed and open endpoints separately.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए खुला ब्रैकेट और (1) शामिल है इसलिए बंद ब्रैकेट लगेगा। अंतराल लिखते समय सीमा चिन्ह ध्यान से पढ़ें। / The value (-4) is not included so use an open bracket, and (1) is included so use a closed bracket. Read endpoint symbols carefully while writing intervals.
(2x) घटाने और (4) घटाने पर (3x>-12) मिलता है इसलिए (x>-4)। चर वाले पदों को पहले एक तरफ लाएँ। / Subtracting (2x) and (4) gives (3x>-12), so (x>-4). Bring variable terms to one side first.
वाक्य में (t) से (6) घटाने और \(\le\) की बात है इसलिए \(t-6\le 14\) बनेगा। शब्दों को प्रतीकों में बदलते समय क्रम न बदलें। / The statement says subtract (6) from (t) and use \(\le\), so it becomes \(t-6\le 14\). Do not change the order while translating words into symbols.
सभी भागों को धनात्मक (3) से भाग देने पर \(-2\le x<4\) मिलता है। धनात्मक भाग में असमानता के चिन्ह नहीं बदलते। / Dividing all parts by positive (3) gives \(-2\le x<4\). Inequality signs do not change when dividing by a positive number.
(r<s) को (-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर (-2r>-2s) होता है फिर (7) जोड़ने से दिशा वही रहती है। मिश्रित रूपांतरण में हर चरण का चिन्ह जाँचें। / Multiplying (r<s) by (-2) reverses the sign to (-2r>-2s), and adding (7) keeps the direction. Check the sign at every step in mixed transformations.
(4) से गुणा करने पर \(x+5\ge 8\) और फिर \(x\ge 3\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (4) gives \(x+5\ge 8\), then \(x\ge 3\). Removing a positive denominator does not change the sign.
हल \(3-4x<-9\Rightarrow -4x<-12\Rightarrow x>3\) नहीं बल्कि (x>3) में (x=3) शामिल नहीं होता। सही जाँच में कोई दिया मान हल नहीं है। / The solution is \(3-4x<-9\Rightarrow -4x<-12\Rightarrow x>3\), so (x=3) is not included. None of the listed values satisfies the inequality.
