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किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों की संख्या सामान्यतः \(2^{n(A)}\) से दी जाती है, जहाँ \(n(A)\) A के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n(A)=3\), अतः \(2^3=8\)। इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में 8 तत्व होंगे। विकल्प A (6) गलत है क्योंकि यह सही फार्मूला द्वारा नहीं आता; C (9) गलत है — 9 का कोई सम्बन्ध \(2^{n}\) नियम से नहीं बनता; D (12) भी गलत है क्योंकि यह 2^{3} से बड़ा अवैध मान है। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) गिनें और फिर \(2^{n(A)}\) लागू करें। / The number of subsets of a set A is given by \(2^{n(A)}\), where \(n(A)\) is the number of elements in A. Here \(n(A)=3\), so \(2^3=8\). Thus \(\mathcal{P}(A)\) has 8 elements. Option A (6) is incorrect because it does not follow the \(2^{n}\) rule; C (9) is incorrect — 9 is not equal to \(2^{3}\); D (12) is also incorrect as it exceeds the correct count. Exam tip: count the elements first, then use \(2^{n}\) to find the size of the power set.
यदि समुच्चय में (n) तत्व हों, तो घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहां \(2^4=16\), इसलिए यह नियम याद रखें। / If a set has (n) elements, its power set has \(2^n\) elements. Here \(2^4=16\), so remember this rule.
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, always check the universal set before finding a complement.
(\mathcal{P}(A)) के तत्व हमेशा (A) के उपसमुच्चय होते हैं। (a) स्वयं तत्व है उपसमुच्चय नहीं। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). The symbol (a) is an element not a subset.
घात समुच्चय का हर तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({a,{c}}) के दोनों तत्व (A) में हैं, इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. Both elements of ({a,{c}}) are in (A), so it is correct.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। (U) बदले तो पूरक भी बदल सकता है। / The complement contains elements of (U) that are not in (A). If (U) changes the complement may change.
\(2^n=32\) से (n=5), इसलिए कुल उपसमुच्चय (32) हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए संख्या (31) होगी। / From \(2^n=32\), we get (n=5), so total subsets are (32). A proper subset excludes (A) itself, so the number is (31).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और उचित उपसमुच्चय में (A) स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए संख्या (15) है। / Total subsets are \(2^4=16\) and a proper subset excludes (A) itself. Therefore the number is (15).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में कुल 50 विद्यार्थी हैं। यदि \(n(A)=18\), \(n(B)=22\) और \(n(A\cap B)=7\) है, तो \(A\cup B\) के बाहर कितने विद्यार्थी होंगे?
संघ के लिए समावेशन-अपवाद सूत्र लागू करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+22-7=33\). इसलिए \(A\cup B\) के बाहर के विद्यार्थी = कुल − \(A\cup B\) = \(50-33=17\). 13 गलत है — यह तब आता है जब अभ्यर्थी संघ की गिनती में त्रुटि करे (उदाहरण के लिए आवरण में अंतर का गलत मान या दुगुना-गिनती से भ्रम)। परिक्षा टिप: हमेशा एक सरल वैन डाया그램 बनाकर पहले \(n(A\cup B)\) निकालें, फिर कुल से घटाएँ। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+22-7=33\). So students outside \(A\cup B\) = total − \(n(A\cup B)\) = \(50-33=17\). Option 13 is incorrect — it typically results from an arithmetic or counting error when handling the intersection (for example using the wrong intersection value or miscounting overlaps). Exam tip: sketch a Venn diagram and compute \(n(A\cup B)\) first, then subtract from the total.
घातसमुच्चय की संख्या मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) के अनुसार \(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=32\) है, और \(32=2^5\) होने से \(n=5\) आता है। अतः A में 5 तत्व हैं। निकटवर्ती गलत विकल्पों की व्याख्या: यदि कोई कहे कि उत्तर 4 है तो वह \(2^4=16\) को भूल रहा है; यदि 6 चुना जाए तो \(2^6=64\) होगा। विकल्प 16 यह भ्रम प्रदर्शित करता है कि प्रश्न में दिए गए 32 को सीधे ही उत्तर मान लिया गया — पर 32 घातसमुच्चय की संख्या है न कि मूल समुच्चय का। परीक्षा-सूत्र: घातसमुच्चय के लिए हमेशा नियम याद रखें — यदि मूल समुच्चय में \(n\) तत्व हैं तो घातसमुच्चय में \(2^n\) तत्व होंगे। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^n\). Given \(2^n=32\) and since \(32=2^5\), we get \(n=5\). So A has 5 elements. Why other options are wrong: 4 would correspond to \(2^4=16\), 6 would give \(2^6=64\), and 16 confuses the power set size with the original set size. Exam tip: remember the formula |\(\mathcal{P}(A)\)| = \(2^{|A|}\) and match powers of two quickly (16, 32, 64...).
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय होता है, वह स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में एक तत्व होता है। / The empty set has only one subset, the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has one element.
यहाँ \(A=\{\emptyset\}\) है, अर्थात् सेट A का एक ही तत्व है और वह तत्व खाली समुच्चय \(\emptyset\) है। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या नियमतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। इसलिए \(n=1\) होने पर उपसमुच्चय होंगे \(2^1=2\)। उन दो उपसमुच्चयों को लिखें: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) — यही \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। अक्सर छात्रों की सामान्य भूल यह है कि वे \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) को एक ही समझ लेते हैं; यदि सेट खुद खाली होता (यानी \(A=\emptyset\)) तब उपसमुच्चय केवल एक (\(2^0=1\)) होते — यही वजह से विकल्प A गलत है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में दिए गए सेट को ध्यान से पढ़ें — यह खाली सेट नहीं बल्कि खाली सेट को घटक के रूप में रखता है। / Here \(A=\{\emptyset\}\), so A has exactly one element, namely the empty set \(\emptyset\). The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). With \(n=1\) we get \(2^1=2\) subsets. Explicitly the subsets are \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\), which are the two elements of \(\mathcal{P}(A)\). A common mistake is to confuse \(\emptyset\) (the empty set) with \(\{\emptyset\}\) (a set containing the empty set); if A were \(\emptyset\) then there would be \(2^0=1\) subset, so option A would be correct only in that different case. Exam tip: always check whether the empty set is an element of the set or the set itself is empty.
(A') खाली होने का अर्थ है कि (U) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं है। इसलिए (A) और (U) समान हैं। / (A') being empty means there is no element of (U) outside (A). Hence (A) and (U) are equal.
B. यह संदर्भ के सभी विचाराधीन तत्वों को रखता है/It contains all elements under consideration
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय संदर्भ के अनुसार सभी विचाराधीन तत्वों का समुच्चय होता है। इसे हमेशा प्रश्न के संदर्भ से पहचानें। / A universal set contains all elements under discussion in the given context. Always identify it from the question context.
अंक (digits) का सार्वभौमिक समुच्चय 0 से 9 तक के अंक हैं: \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) में जो अंक हैं वे \(U\) के सदस्य हैं; इसलिए पूरक \(A'\) में वे सभी अंक आएँगे जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। अतः \(A'=\{0,1,3,5,7,9\}\). नज़दीकी विचलन (option B) से फर्क: B में 0 गायब है, इसलिए यह गलत है। परीक्षा टिप: यदि सार्वभौमिक समुच्चय सीमित और स्पष्ट हो (यहाँ 0–9), तो पहले उसे लिखकर किसी समुच्चय के पूरक के लिए निकाल लें। / The digits (universal set) are \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Since \(A=\{2,4,6,8\}\), the complement \(A'\) contains all elements of \(U\) that are not in \(A\), i.e. \(A'=\{0,1,3,5,7,9\}\). Closest distractor (option B) omits 0, so it is incorrect. Exam tip: when U is finite and explicit (like digits 0–9), list U and subtract A to find the complement quickly.
दोनों (A) के उपसमुच्चय हैं इसलिए दोनों (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। घात समुच्चय में पूरा (A) भी शामिल होता है। / Both are subsets of (A), so both are elements of (\mathcal{P}(A)). The power set also contains (A) itself.
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। एकल तत्व और एकल समुच्चय में अंतर रखें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Keep a single element and a singleton set distinct.
घात समुच्चय (power set) का मूल सिद्धांत यह है कि यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों तो उसका घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ \(A\) में तीन अलग-अलग तत्व हैं इसलिए \(n(A)=3\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{3}=8\)। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह किसी सामान्य गणितीय नियम (जैसे permutations या combinations) से गलत तरीके से जोड़ा जा सकता है — पर घात समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) ही प्रयोग होगा। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) पहचानें फिर तुरंत \(2^{n(A)}\) लगाएँ। / The power set of a set with \(n\) elements contains \(2^n\) subsets. Here the set \(A\) has three distinct elements, so \(n(A)=3\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^{3}=8\). Option 6 is a plausible distractor but incorrect — it might arise from confusing with permutations/combinations, but the correct formula for a power set is \(2^n\). Exam tip: always compute \(n(A)\) first and then apply \(2^{n(A)}\).
पूरक \(A'\) का अर्थ है सभी वे तत्व जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व हैं \{1,2,3,4,5,6\} और \(A\) के तत्व \{1,3,5\} हैं, अतः \(A' = \{2,4,6\}\) और इसका क्रम 3 है। फार्मूला भी देख सकते हैं: \(n(A')=n(U)-n(A)=6-3=3\)。 नज़दीकी भ्रांति (option C = 4) तब होती है जब कोई गलती से किसी तत्व को दो बार गिन ले या सार्वभौमिक सेट में बाहरी तत्व जोड़ दे। परीक्षा टिप: पूरक लेते समय केवल दिए गए \(U\) के भीतर के तत्वों को ही गिनें और यदि संभव हो तो \(n(A')=n(U)-n(A)\) सूत्र का प्रयोग करें। / The complement \(A'\) means elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,3,5\}\), so \(A'=\{2,4,6\}\) which has 3 elements. Using the formula: \(n(A')=n(U)-n(A)=6-3=3\). The closest wrong option (4) would result from miscounting or including an element not in \(U\). Exam tip: always count only elements of the given universal set and use the complement formula to avoid simple counting errors.
यहाँ A के तत्व दो हैं: संख्या 1 और एक एकल सदस्य जिसका चेहरा \(\{2\}\) है। ध्यान दें कि \(2\) और \(\{2\}\) अलग-अलग चीज़ें हैं; \(\{2\}\) एक तत्व के रूप में गिना गया है, न कि 2 का वैयक्तिक तत्व। यदि किसी सेट में \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चय की संख्या \(2^2=4\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 3 है — यह तब होगा जब कोई गलती से भीतरी संख्या \(2\) को अलग तत्व मान ले, जो गलत है। परीक्षा संकेत: हर सदस्य को यह जांचकर गिनें कि वह सामान्य तत्व है या एक ही तत्व वाला उपसमुच्चय। / Set A has two elements: the number 1 and the single element set \(\{2\}\). Note that 2 and \(\{2\}\) are different — \(\{2\}\) is counted as one element, not as the element 2 separately. For a set with \(n\) elements there are \(2^n\) subsets. Here \(n=2\), so the number of subsets is \(2^2=4\). The closest distractor 3 arises if someone mistakenly treats both 2 and \(\{2\}\) as separate elements; that is incorrect. Exam tip: always check whether an item is an element or a subset before counting elements.
\(A'=U\setminus A=\{b,c\}\) जिसमें दो तत्व हैं। किसी भी संचय S के लिए शक्ति समूह का कार्दिनालिटी नियम \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) है। इसलिए \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\)। निकटवर्ती विचलन: विकल्प A (2) केवल \(A'\) के तत्वों की संख्या है, शक्ति समूह की संख्या नहीं। परीक्षा युक्ति: किसी भी सेट के पावर सेट की संख्या तुरंत \(2^{\text{(तत्वों की संख्या)}}\) से निकालें। / Here \(A'=U\setminus A=\{b,c\}\), which has 2 elements. The cardinality of a power set follows \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\). Thus \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\). Closest distractor: option A (2) mistakes the number of elements of \(A'\) for the number of subsets. Exam tip: Always apply \(2^{\text{number of elements}}\) to get the size of a power set quickly.
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है इसलिए यह उसके घात समुच्चय का तत्व है। यह बहुत सामान्य परीक्षा भ्रम है। / \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is an element of its power set. This is a common exam confusion.
रिक्त समुच्चय में (U) का कोई तत्व नहीं है इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। पूरक हमेशा संदर्भ पर निर्भर है। / The empty set contains no element of (U), so its complement is the whole (U). Complement always depends on the context.
एकल उपसमुच्चय प्रत्येक एक तत्व से बनता है इसलिए उनकी संख्या (n(A)) के बराबर होती है। यहां संख्या (5) है। / Each singleton subset is formed from one element, so their number equals (n(A)). Here the number is (5).
दो तत्वों वाले उपसमुच्चय चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। निश्चित आकार के उपसमुच्चयों में संयोजन का प्रयोग करें। / The number of two-element subsets is \({}^4C_2=6\). Use combinations for subsets of fixed size.
तीन तत्वों वाला एक ही उपसमुच्चय (A) स्वयं है। पूरा समुच्चय भी घात समुच्चय का तत्व होता है। / There is only one three-element subset which is (A) itself. The whole set is also an element of the power set.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय होते हैं, जिसमें हमेशा खाली समुच्चय \(\emptyset\) और स्वयं \(A\) शामिल रहते हैं। दिया गया \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) केवल दो सदस्य दिखाता है, इसलिए A का केवल एक तत्व है और वह नॉन-खाली उपसमुच्चय \(\{x\}\) के रूप में मौजूद है। अतः \(A=\{x\}\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{\emptyset\}\) इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(A=\{\emptyset\}\) होता तो \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) मिलता, जो दिया हुआ नहीं है। परीक्षा सुझाव: पहले \(|\mathcal{P}(A)|\) से \(|A|\) का अनुमान लगाएँ — अगर \(\mathcal{P}(A)\) में 2 तत्व हैं तो \(|A|=1\)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists of all subsets of \(A\), always including \(\emptyset\) and \(A\) itself. Here \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) has exactly two elements, so \(A\) must have one element, and the non-empty subset shown is \(\{x\}\). Therefore \(A=\{x\}\). The closest distractor \(\{\emptyset\}\) is wrong because if \(A=\{\emptyset\}\) then \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\), not the given set. Exam tip: use |P(A)|=2^{|A|} — two elements in the power set means |A|=1.
समूह \(A\) में 2 तत्व हैं। शक्ति समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) के तत्वों की संख्या के लिए सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(B)=2^{2}=4\). विकल्प '2' गलत है क्योंकि वह केवल मूल समूह के तत्वों की संख्या है, न कि उसके उपसमुच्चयों की संख्या; विकल्प '8' तब मिलता अगर \(A\) में 3 तत्व होते (\(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: छोटी सेटों पर उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध करके जल्दी सत्यापित कर लें और सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) याद रखें। / Set \(A\) has 2 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(B)=2^{2}=4\). Option '2' is incorrect because it gives the number of elements of A, not the number of subsets; option '8' would occur only if A had 3 elements (\(2^3=8\)). Exam tip: memorize \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) and for small sets verify by listing subsets.
पूर्णत: सेट \(A'\) का अर्थ है वे तत्व जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) होता है, इसलिए \(5\) \(A'\) में है। विकल्पों में से \(4\) और \(8\) \(A\) के तत्व हैं इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी कॉम्प्लीमेंट का निर्धारण करने के लिए पहले \(U\) से \(A\) के सभी तत्व निकाल दें और बची सूची देख लें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so 5 is in \(A'\). Options like 4 and 8 are in \(A\), so they are not in the complement. Exam tip: compute \(U\setminus A\) explicitly by removing all elements of \(A\) from \(U\).
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय चार उपसमुच्चयों से बनता है। तत्वों को उपसमुच्चय की तरह लिखना जरूरी है। / The power set of a two-element set has four subsets. The elements must be written as subsets.
({0,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय है। अतः यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / All elements of ({0,2}) are in (A), so it is a subset of (A). Hence it is an element of (\mathcal{P}(A)).
तीन तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \({}^5C_3=10\) है। निश्चित आकार की गिनती में क्रम नहीं माना जाता। / The number of three-element subsets is \({}^5C_3=10\). Order is not considered in fixed-size subset counting.
\(U\) में 1 से 10 तक के प्राकृतिक संख्याएँ हैं। अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, अतः A = \{2,3,5,7\}\;। A का परिशिष्ट \(A'\) वह सभी तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर A में नहीं — अर्थात् \{1,4,6,8,9,10\}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A (अभाज्य) को ही देता है; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि इसमें 1 और 9 गायब हैं। परीक्षा टिप: याद रखें कि 1 न तो अभाज्य है न ही समघातक (composite), इसलिए परिशिष्ट में आएगा। / U contains natural numbers 1 to 10. The primes up to 10 are \(2,3,5,7\), so A = {2,3,5,7}. The complement A' (relative to U) consists of elements of U not in A, i.e. {1,4,6,8,9,10}. Option B lists the primes (A) itself, option C incorrectly keeps primes in the complement, and option D omits 1 and 9. Exam tip: remember 1 is neither prime nor composite, so it belongs to the complement when A is the set of primes in U.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चय \(A\) के सभी उपसमुच्चय आते हैं। चूँकि \(A\) के चार तत्व हैं, इसलिए स्वयं \(A\)=\(\{a,b,c,d\}\) ही एकमात्र चार-तत्वीय उपसमुच्चय है। विकल्प C में तीन तत्व हैं, B में दो और A विकल्प शून्य-तत्वीय है, अतः वे सभी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प की तत्व-गणना करके सीधे यह जाँच लें कि उसकी कार्डिनैलिटी मांगी गई संख्या से मिलती है या नहीं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Since \(A\) has four elements, \(A\) itself (\(\{a,b,c,d\}\)) is the only subset with four elements. Option C has three elements, B has two and A is the empty set, so they are incorrect. Exam tip: count the elements in each subset to quickly verify the required cardinality.
पूरक परिभाषा के अनुसार, A′ = U \ A यानी वे तत्व जो U में हैं पर A में नहीं हैं। U में से A के तत्व {0,2,4} हटाने पर बचे तत्व {1,3,5} मिलते हैं, जो सेट B के समान हैं। इसलिए A′ = {1,3,5} = B। विकल्प C (U) गलत है क्योंकि U में सभी तत्व होते हैं; विकल्प A गलत है क्योंकि A में वही तत्व हैं जिन्हें हटाया जाता है; विकल्प D (∅) गलत है क्योंकि A का पूरक खाली सेट तभी होगा जब A = U। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट का पूरक निकालते समय U के सभी तत्वों को लिखकर A के तत्व हटा दें — यह सरल और तेज तरीका है। / By definition the complement A′ = U \ A, i.e. the elements in U that are not in A. Removing A = {0,2,4} from U gives {1,3,5}, which equals B. Hence A′ = {1,3,5} = B. Option C (U) is wrong because U contains all elements; option A is wrong because A contains the elements being removed; option D (∅) is wrong because the complement is empty only if A = U. Exam tip: list elements of U and cross out those in A to find A′ quickly and reliably.
घात समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या का सूत्र \(2^{n}\) है जहाँ \(n=n(A)\)। हमें \(2^{n}=16\) चाहिए। \(2^{4}=16\) होने पर \(n=4\)। इसलिए विकल्प C सही है। निकटभ्रामक विकल्पों की जाँच: \(n(A)=3\) के लिए \(2^{3}=8\) और \(n(A)=8\) के लिए \(2^{8}=256\) — ये 16 नहीं देते; \(n(A)=2\) पर \(2^{2}=4\)। परीक्षा टिप: सीधे समीकरण \(2^{n}=16\) लिखकर या 16 को द्विघातों के रूप में पहचानकर \(n\) निकालें। / The cardinality of a power set is given by \(2^{n}\), where \(n=n(A)\). We need \(2^{n}=16\). Since \(2^{4}=16\), \(n=4\), so option C is correct. Checking distractors: for \(n=3\), \(2^{3}=8\); for \(n=8\), \(2^{8}=256\); for \(n=2\), \(2^{2}=4\) — none equal 16. Exam tip: Solve \(2^{n}=16\) directly or recognise 16 as a power of 2 to find \(n\).
छह तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^6=64\) होते हैं। हर तत्व के लिए शामिल या न शामिल दो विकल्प होते हैं। / A six-element set has \(2^6=64\) subsets. Each element has two choices included or not included.
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक उसी संदर्भ में रिक्त होता है। (U) के बाहर कोई विचाराधीन तत्व नहीं माना जाता। / The complement of the universal set is empty in that context. No considered element lies outside (U).
(\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) होता है इसलिए उसका सदस्य \(\emptyset\) है। \({\emptyset}\) पूरा घात समुच्चय है सदस्य नहीं। / (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}), so its member is \(\emptyset\). \({\emptyset}\) is the whole power set not its member.
A. \(A\subseteq U\) नहीं है/\(A\subseteq U\) is not true
Explanation
Simple Explanation
पूरक सामान्यतः तब लिया जाता है जब \(A\subseteq U\) हो। यहां (d), (U) में नहीं है इसलिए समस्या है। / Complement is normally taken when \(A\subseteq U\). Here (d) is not in (U), so there is a problem.
सेट \(A\) के विषम तत्व 1 और 3 हैं। इसलिए विषम एकल उपसमुच्चय \(\{1\}\) और \(\{3\}\) होंगे — कुल 2। निकटतम भ्रामक विकल्प C (3) गलत है क्योंकि वह किसी अतिरिक्त तत्व को गिनता है जो सेट में मौजूद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी गुण (जैसे 'विषम') के आधार पर एकल उपसमुच्चयों की संख्या सीधे उस गुण वाले तत्त्वों की संख्या के बराबर होती है। / The odd elements of \(A\) are 1 and 3, so the singleton subsets are \(\{1\}\) and \(\{3\}\), giving a total of 2. The closest distractor C (3) is incorrect because it counts an extra element not present in the set. Exam tip: The number of singleton subsets with a given property equals the number of elements in the set that satisfy that property.
यदि \(x\) को रखना निश्चित है तो बचे हुए दो तत्त्व \(y\) और \(z\) के लिए प्रत्येक के पास दो‑दो विकल्प हैं: शामिल या नहीं। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) है। विकल्प (8) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है, न कि केवल वे जिनमें \(x\) है। विकल्प (3) तब गलत होगा जब कोई \(x\), \(x,y\), \(x,z\) को मात्र गिन लें और \(x,y,z\) को भूल जाएँ। परीक्षा सुझाव: सामान्य सूत्र याद रखें — किसी n तत्त्वों वाले समुच्चय में किसी निश्चित तत्त्व को रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Fixing \(x\) means each of the remaining elements \(y\) and \(z\) can either be present or absent, so there are \(2^2=4\) subsets containing \(x\). Option (8) is the total number of subsets of \(A\) (\(2^3=8\)) and thus not restricted to those that contain \(x\). Option (3) misses the case where both \(y\) and \(z\) are included. Exam tip: use the formula — for a set of size \(n\), the number of subsets that contain a given element is \(2^{n-1}\).
A' का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्वों को निकालना, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A\subseteq U\), तो \(n(A')=n(U)-n(A)\). यहाँ \(n(U)=6\) और \(n(A)=2\) इसलिए \(n(A')=6-2=4\). विकल्प B (3) गलत है क्योंकि उसमें एक और तत्व कम गिना गया है; विकल्प D (6) भी गलत है क्योंकि वह गणना में \(A\) को नहीं घटा रहा। परीक्षा टिप: कॉम्प्लीमेंट के लिए हमेशा पहले जाँचे कि दिया गया सेट यूनिवर्सल सेट का वास्तविक सबसेट है, फिर \(n(A')=n(U)-n(A)\) लागू करें। / A' means the complement of A in the universal set U, i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A\subseteq U\), then \(n(A')=n(U)-n(A)\). Here \(n(U)=6\) and \(n(A)=2\), so \(n(A')=6-2=4\). Option B (3) is incorrect because it undercounts the remaining elements; option D (6) is wrong because it ignores removal of A's elements. Exam tip: verify A is a subset of U and use \(n(A')=n(U)-n(A)\) to avoid manual miscounts.
किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या सामान्यतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=3\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। इनमें से एक उपसमुच्चय खाली (empty) है, अत: खाली नहीं उपसमुच्चय = \(8-1=7\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह खाली उपसमुच्चय को भी गिनता है; विकल्प A (6) एक उपसमुच्चय कम गिन रहा है; विकल्प D (9) असंभव है क्योंकि यह \(2^n\) से बड़ा है। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के गैर-खाली उपसमुच्चयों के लिए हमेशा \(2^n-1\) प्रयोग करें। / The number of subsets of an n-element set is given by \(2^n\). Here \(n=3\), so total subsets are \(2^3=8\). One of these is the empty subset, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Choice C (8) is incorrect because it includes the empty set; A (6) undercounts by one; D (9) exceeds the total possible subsets. Exam tip: use the formula \(\text{non-empty subsets}=2^n-1\).
ऐसे उपसमुच्चय जिनमें a नहीं है, वे सब {b, c} के उपसमुच्चय होते हैं। प्रत्येक तत्व (b और c) के लिए दो विकल्प हैं — शामिल करना या न करना — इसलिए कुल संख्या \(2^2=4\) है। अक्सर त्रुटि यह होती है कि केवल खाली समुच्चय और एकल तत्व गिने जाते हैं (जिससे 2 आता है) — यह गलत है क्योंकि {b,c} (दो तत्वों वाला) भी एक वैध उपसमुच्चय है। परीक्शा सुझाव: किसी तत्व को बाहर मानकर बाकी तत्वों के लिए शामिल/न-शामिल विकल्पों को गुणा करें। / Subsets that do not contain a are exactly the subsets of {b,c}. Each of b and c has two choices (include or exclude), so the total is \(2^2=4\). A common mistake is to count only the empty set and one singleton (giving 2), but the two-element subset {b,c} must also be counted. Exam tip: fix excluded elements first, then use the 2-choice rule for each remaining element and multiply.
समुप्रतिबिंब (complement) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) से सेट \(A\) के सदस्यों को हटाना। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,6\}\)। इनमें सबसे छोटी संख्या 1 है। निकटतम विकर्षक 2 सही है कि वह \(A'\) में है, पर वह 1 से बड़ा है। विकल्प 3 और 5 गलत हैं क्योंकि वे पहले से ही \(A\) के सदस्य हैं और अतः समुप्रतिबिंब में नहीं आते। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(U\) में से \(A\) घटाकर \(A'\) लिख लें, फिर क्रम में सबसे छोटा तत्व चुनें। / The complement means remove the elements of \(A\) from the universal set \(U\). So \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,6\}\). The smallest element of this set is 1. The closest distractor 2 is also in \(A'\) but is larger than 1. Options 3 and 5 are incorrect because they belong to \(A\), not to its complement. Exam tip: first compute \(A'=U\setminus A\), then pick the smallest element.
कम से कम तीन तत्व वाले उपसमुच्चय में या तो तीन तत्व होते हैं या चार। तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है और चार-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या \(\binom{4}{4}=1\) है। अतः कुल = \(4+1=5\)। विकल्प A (4) केवल तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती है और चार-तत्व वाले उपसमुच्चय को शामिल नहीं करता — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: "कम से कम k" मतलब सम करें \(\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\)। / Subsets with at least three elements can have either three or four elements. Number of 3-element subsets is \(\binom{4}{3}=4\) and number of 4-element subsets is \(\binom{4}{4}=1\). Therefore total = \(4+1=5\). Option A (4) counts only the 3-element subsets and misses the single 4-element subset, so it is incorrect. Exam tip: For "at least k" choose sums, use \(\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में किसी सेट \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या होती है और यह \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) = \(|A|\)। दिए अनुसार \(2^n=8\) से \(n=3\)। कुल उपसमुच्चय 8 हैं; इनमें से खाली उपसमुच्चय एक ही होता है, अतः खाली नहीं उपसमुच्चयों की संख्या \(8-1=7\) है। निकटवर्ती विकल्पों का भेद: विकल्प A (3) केवल सेट के तत्वों की संख्या बताता है, विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, और विकल्प B (6) गलत घटाव पर आधारित है। परीक्षा सुझाव: तुरंत सोचें \(2^n\) से \(n\) निकालें और खाली उपसमुच्चय एक घटाएँ। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements where \(n=|A|\). Given \(2^n=8\), so \(n=3\). Thus there are 8 total subsets and exactly one of them is the empty set, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Why other choices are wrong: option A (3) confuses the number of elements of \(A\) with the number of non-empty subsets; option D (8) is the total number of subsets including the empty set; option B (6) has no correct basis here. Exam tip: use \(2^n\) to find \(n\) and then subtract 1 to exclude the empty set.
पूरक समुच्चय \(A'\) के सदस्यों की संख्या = कुल सदस्यों की संख्या − \(|A|\). सप्ताह में \(|U|=7\) दिन हैं और \(|A|=3\)। अतः \(|A'|=7-3=4\)। विकल्प A (3) ग़लत है क्योंकि वह \(|A|\) का मान है न कि पूरक का। विकल्प C (5) और D (7) भी उस घटाव से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: पूरक का कार्य हमेशा कुल में से दिए गए समुच्चय की संख्या घटाकर निकाले। / The number of elements in the complement \(A'\) equals total elements minus \(|A|\). Here \(|U|=7\) and \(|A|=3\), so \(|A'|=7-3=4\). Option A (3) is incorrect because it gives the size of \(A\), not its complement; options C (5) and D (7) do not follow the subtraction rule. Exam tip: For complements use |A'| = |U| − |A| to avoid counting errors.
पहला कदम पूरक निकालना है: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). उसके बाद पावर सेट में \(A'\) के सभी सबसेट आते हैं। \(\mathcal{P}(A')\) में खाली समुच्चय और \(A'\) स्वयं सबसेट के रूप में होंगे, अर्थात् \(\{\emptyset,\{3\}\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसमें \(3\) को एक तत्व के रूप में दिखाया गया है जबकि पावर सेट में उस तत्व का सबसेट \(\{3\}\) होना चाहिए। विकल्प C वास्तव में \(\mathcal{P}(A)\) का हिस्सा है, और विकल्प D यूनिवर्सल सेट है — ये दोनों गलत निदेशित उत्तर हैं। परीक्षा टिप: पहले पूरक निकालें, फिर पावर सेट लें; पावर सेट के तत्व स्वयं सबसेट होते हैं (नाम मात्र के तत्व नहीं)। / First compute the complement: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). The power set contains all subsets of \(A'\), so \(\mathcal{P}(A')\) is the set of subsets of \(\{3\}\), namely \(\{\emptyset,\{3\}\}\). Option B is incorrect because it lists \(3\) instead of the subset \(\{3\}\). Option C lists \(\{\{1\},\{2\}\}\), which corresponds to subsets of \(A\) (not \(A'\)), and option D is the universal set \(U\). Exam tip: always form the complement first, then list its subsets — remember elements of a power set are subsets, so use \(\{3\}\) not \(3\).
