Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF times LCM equals the product of the two numbers.
जब गुणनफल पूछा हो, तो अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालना जरूरी नहीं। / When the product is asked, you need not find HCF and LCM separately.
ऐसी सबसे छोटी संख्या उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3=216\) है। / \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), and \(54=2\times3^3\), so LCM \(=2^3\times3^3=216\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest exactly divisible number, find the LCM.
महत्तम समापवर्तक में केवल वे अभाज्य गुणनखंड आते हैं जो तीनों में हों। / HCF contains only the prime factors common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) का छोटा घातांक (3) और (3) का छोटा घातांक (1) है। (5) और (7) तीनों में साथ नहीं हैं। इसलिए उत्तर \(2^3\times 3\) है। / The smallest exponent of (2) is (3) and of (3) is (1). (5) and (7) are not common to all. Hence the answer is \(2^3\times 3\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में समान गुणनखंड पहचानना सबसे जरूरी है। / For three numbers, first identify prime factors common to all.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में उपस्थित समान गुणनखंड ही लें। / Use only primes common to all numbers.
लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के सबसे बड़े घातांक लिए जाते हैं। / LCM takes the greatest exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
(2) का बड़ा घातांक (4), (3) का (5), और (5) का (2) है। इसलिए उत्तर \(2^4\times 3^5\times 5^2\)। / The greatest exponent of (2) is (4), of (3) is (5), and of (5) is (2). So the answer is \(2^4\times 3^5\times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य संख्या किसी एक संख्या में भी हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में आती है। / Any prime appearing in at least one number must appear in the LCM.
A. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM (=) product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू होता है। / This direct relation is for two numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस सूत्र को तीन संख्याओं पर बिना जाँच के लागू न करें। / Do not apply this formula blindly to three numbers in exams.
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
A. (a=2) और (b=2) संभव हैं/(a=2) and (b=2) are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक में प्रत्येक समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / In HCF, the smaller power of each common prime is used.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (a=2) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For prime (2), the smaller power must be (2), so (a=2) is possible; for prime (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों वाले प्रश्न में छोटी घात की शर्त पर ध्यान दें। / In unknown power questions, focus on the minimum-power condition.
किसी सही जोड़ी में महत्तम समापवर्तक (24) और लघुत्तम समापवर्त्य (720) दोनों मिलने चाहिए। / A correct pair must give both HCF (24) and LCM (720).
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\) और \(240=2^4\times 3\times 5\)। इनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3=24\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। / \(72=2^3\times 3^2\) and \(240=2^4\times 3\times 5\). Their HCF is \(2^3\times 3=24\) and LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प जाँच में पहले अभाज्य गुणनखंडन करें। / For option checking, prime factorise first.
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before trying pairs.
