Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), and \(770=2\times5\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2\times11=22\) and \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), so \(L\div H=105\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first check common primes and then all distinct primes. चरण 1: \(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), \(770=2\times5\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2\times11=22\) और \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), इसलिए \(L\div H=105\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी भिन्न अभाज्य देखें।
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1248\div96=13\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, first test this necessary condition. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(1248\div96=13\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
LCM takes the highest power of every prime present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^5\), \(3^5\), \(5^2\), (7), and (13).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number must also be included. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर उपस्थित अभाज्य की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\), \(3^5\), \(5^2\), (7) और (13) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी शामिल करना जरूरी है।
The other number is \(\frac{45\times3465}{315}=495\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(315=45\times7\) to calculate quickly. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{45\times3465}{315}=495\) है। चरण 3: \(315=45\times7\) देखकर गणना जल्दी करें।
HCF is \(2^4\times3^2\times5\), and LCM is \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
In ratios, subtract exponents of the same base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\) होगा। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\) मिलता है। चरण 3: अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ।
Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
Do not count reversed order as a new pair. चरण 1: संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें।
In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM of (45), (75), and (90) is (450), so the number is (450-7=443).
Step 3
Exam Tip
Spot the common difference and subtract it from the LCM. चरण 1: हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। चरण 2: (45), (75) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (450) है, इसलिए संख्या (450-7=443) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ।
The smaller power of (2) must be (6), so (a=6) is possible; the smaller power of (3) must be (4), so (b=4) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check each base condition separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6) संभव है; (3) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें।
यदि \(m=2^5\times3^a\times5^2\) और \(n=2^3\times3^4\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^7\times5^3\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
The highest power of (3) must be (7), so (a=7); the highest power of (5) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
Identify the maximum powers in LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की सबसे बड़ी घात (7) चाहिए, इसलिए (a=7); (5) की सबसे बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें।
