यूक्लिड विभाजन प्रमेय किस प्रकार की संख्याओं पर लागू होती है?
Euclid’s division lemma is applied to which type of numbers?
#real-numbers
#definition
#euclid-division-lemma
A दो धनात्मक पूर्णांक / Two positive integers
B दो ऋणात्मक भिन्न / Two negative fractions
C केवल दशमलव संख्याएँ / Only decimal numbers
D केवल अपरिमेय संख्याएँ / Only irrational numbers
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Correct Answer
A. दो धनात्मक पूर्णांक / Two positive integers
Step 1
Concept
यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। / This lemma is used for two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। / In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें। / While reading the question, pay attention to the type of numbers involved.
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(365) को (30) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्या होंगे?
What will be the quotient and remainder when (365) is divided by (30)?
#real-numbers
#quotient-remainder
#division
A भागफल (11), शेषफल (35) / Quotient (11), remainder (35)
B भागफल (12), शेषफल (5) / Quotient (12), remainder (5)
C भागफल (13), शेषफल (-25) / Quotient (13), remainder (-25)
D भागफल (10), शेषफल (65) / Quotient (10), remainder (65)
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Correct Answer
B. भागफल (12), शेषफल (5) / Quotient (12), remainder (5)
Step 1
Concept
\(30 \times 12=360\)। / \(30 \times 12=360\).
Step 2
Why this answer is correct
(365-360=5), इसलिए भागफल (12) और शेषफल (5) है। / (365-360=5), so the quotient is (12) and the remainder is (5).
Step 3
Exam Tip
शेषफल को भाजक से छोटा रखना उत्तर की वैधता तय करता है। / Keeping the remainder smaller than the divisor decides whether the answer is valid.
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यदि (a=5q+4), तो (a) को (5) से भाग देने पर कौन-सा शेषफल मिलेगा?
If (a=5q+4), what remainder will be obtained when (a) is divided by (5)?
#real-numbers
#remainder-identification
#euclid-form
A (0)
B (1)
C (4)
D (5)
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Step 1
Concept
(a=bq+r) से तुलना करें। / Compare it with (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
(a=5q+4) में भाजक (5) और शेषफल (4) है। / In (a=5q+4), the divisor is (5) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (4<5), यह रूप पहले से सही है। / Since (4<5), this form is already correct.
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किसी धनात्मक पूर्णांक को (2) से भाग देने पर शेषफल के आधार पर कौन-से रूप मिलते हैं?
Based on remainders, what forms are obtained when a positive integer is divided by (2)?
#real-numbers
#even-odd
#euclid-lemma
A (2q) और (2q+1) / (2q) and (2q+1)
B (2q+1) और (2q+2) / (2q+1) and (2q+2)
C (q) और (q+1) / (q) and (q+1)
D (2q-1) और (2q+2) / (2q-1) and (2q+2)
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Correct Answer
A. (2q) और (2q+1) / (2q) and (2q+1)
Step 1
Concept
(2) से भाग देने पर शेषफल केवल (0) या (1) हो सकता है। / On division by (2), the remainder can only be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संख्याएँ (2q) या (2q+1) के रूप में होंगी। / So the forms are (2q) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
यही आधार सम और विषम संख्या पहचानने में काम आता है। / This is the basis for identifying even and odd numbers.
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यदि (a=148) और (b=20), तो शेषफल (r) क्या होगा?
If (a=148) and (b=20), what is the remainder (r)?
#real-numbers
#remainder-calculation
#mcq
A (8)
B (12)
C (20)
D (28)
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Step 1
Concept
\(20 \times 7=140\)। / \(20 \times 7=140\).
Step 2
Why this answer is correct
(148-140=8), इसलिए (r=8)। / (148-140=8), so (r=8).
Step 3
Exam Tip
यदि विकल्पों में (20) या उससे बड़ा शेषफल हो, तो उसे तुरंत गलत मानें। / If an option gives a remainder equal to or greater than (20), reject it immediately.
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(a=14q+14) को (14) से भाग देने का सही शेषफल क्या होगा?
What is the correct remainder when (a=14q+14) is divided by (14)?
#real-numbers
#zero-remainder
#adjust-form
A (14)
B (0)
C (1)
D (q)
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Step 1
Concept
शेषफल (14) नहीं हो सकता क्योंकि वह भाजक के बराबर है। / The remainder cannot be (14) because it equals the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(14q+14=14(q+1)+0), इसलिए सही शेषफल (0) है। / (14q+14=14(q+1)+0), so the correct remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
भाजक के बराबर शेषफल मिलने पर भागफल एक बढ़ा दें। / If the remainder equals the divisor, increase the quotient by one.
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यदि किसी संख्या को (11) से भाग देने पर शेषफल (3) है, तो वह संख्या किस रूप में होगी?
If a number leaves remainder (3) when divided by (11), what form will it have?
#real-numbers
#general-expression
#remainder
A (11q+3)
B (3q+11)
C (11q-3)
D (q+3)
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Correct Answer
A. (11q+3)
Step 1
Concept
यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार (a=bq+r)। / According to Euclid’s division lemma, (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ भाजक (11) और शेषफल (3) है, इसलिए रूप (11q+3) होगा। / Here the divisor is (11) and the remainder is (3), so the form is (11q+3).
Step 3
Exam Tip
सामान्य रूप लिखते समय भाजक को (q) से गुणा करें। / While writing a general form, multiply the divisor by (q).
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(91) और (13) के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेय लगाने पर शेषफल क्या है?
What is the remainder when Euclid’s division lemma is applied to (91) and (13)?
#real-numbers
#exact-division
#euclid-lemma
A (0)
B (1)
C (7)
D (13)
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Step 1
Concept
\(13 \times 7=91\)। / \(13 \times 7=91\).
Step 2
Why this answer is correct
(91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। / (91-91=0), so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है। / When division is exact, the remainder is always (0).
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यदि (a=73) और (r=3), (q=7), तो (b) का मान क्या होगा?
If (a=73), (r=3), and (q=7), what is the value of (b)?
#real-numbers
#find-divisor
#algebra
A (8)
B (9)
C (10)
D (11)
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Step 1
Concept
(a=bq+r) में मान रखें: (73=7b+3)। / Substitute in (a=bq+r): (73=7b+3).
Step 2
Why this answer is correct
(70=7b), इसलिए (b=10)। / (70=7b), so (b=10).
Step 3
Exam Tip
अज्ञात भाजक निकालते समय पहले शेषफल घटाएं। / To find an unknown divisor, subtract the remainder first.
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किसी संख्या को (16) से भाग देने पर शेषफल (15) आता है। यह शेषफल कैसा है?
A number leaves remainder (15) when divided by (16). What can be said about this remainder?
#real-numbers
#remainder-validity
#concept-check
A अवैध, क्योंकि यह (16) से छोटा नहीं है / Invalid, because it is not less than (16)
B वैध, क्योंकि (15<16) / Valid, because (15<16)
C अवैध, क्योंकि शेषफल हमेशा (0) होना चाहिए / Invalid, because the remainder must always be (0)
D वैध नहीं, क्योंकि शेषफल केवल सम होना चाहिए / Not valid, because the remainder must be even only
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Correct Answer
B. वैध, क्योंकि (15<16) / Valid, because (15<16)
Step 1
Concept
शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। / The condition for the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (r=15) और (b=16), इसलिए (15<16) होने से यह वैध है। / Here (r=15) and (b=16), so it is valid because (15<16).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ा संभव शेषफल (b-1) होता है। / The greatest possible remainder is (b-1).
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